不等式的字母取值范围的确定方法.pdf

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1、不等式不等式(组组)的字母取值范围的确定方法的字母取值范围的确定方法一、根据不等式一、根据不等式(组组)的解集确定字母取值范围的解集确定字母取值范围例例 l l、如果关于、如果关于 x x 的不等式的不等式(a+1)x2a+2(a+1)x2a+2的解集为的解集为 x2x2，则，则 a a 的取值范围是的取值范围是()A Aa0a0B BaalalD Daa一一 l l解：解：将原不等式与其解集进行比较，将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3 3，因此有因此有 a+l0a+l0，得得 aa一一 1 1，故选，故选

2、 B B1 x 5例例 2 2、已知不等式组、已知不等式组的解集为的解集为 ax5ax5。则。则 a a 的范围是的范围是a x a31 1 a a 5 5 a a解：借助于数轴，如图解：借助于数轴，如图 1 1，可知：，可知：1 1a5a5 并且并且a+3a+35 5所以，所以，2 2a5a5 图图二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围2x 3(x3)1例例 3 3、关于、关于 x x 的不等式组的不等式组3x2有四个整数解，则有四个整数解，则 a a 的取值范围是的取值范围是 xa4分析：由题意，可得原不等式组的解为分析：由题意，可得原

3、不等式组的解为 8x28x24a4a，又因为不等式组有四个整数解，所以，又因为不等式组有四个整数解，所以 8x28x24a4a中包含了四个整数解中包含了四个整数解 9 9，1010，1111，1212 于是，有于是，有 1221224a4a1313解之解之,得得115aa42例例 4 4、已知不等式组、已知不等式组x 2 a的整数解只有的整数解只有 5 5、6 6。求。求 a a 和和 b b 的范围的范围2x 1 bx 2 a解：解不等式组得解：解不等式组得b 1，借助于数轴，如图，借助于数轴，如图 2 2 知：知：2+a2+a 只能在只能在 4 4 与与 5 5 之间。之间。x 23 3

4、4 4 5 5 6 6 7 7图图b 1b 1只能在只能在 6 6 与与 7 7 之间之间4 42+a5,2+a5,667,7,2 2a3a3，13b13b151522三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围例例 5 5、已知方程组、已知方程组2x y 13m(1)满足满足 x+y0 x+y0，则，则()x2y 1m(2)22m00mmm一一 l lB BmlmlC Cmm一一 1 1D Dm1mm3m，m3m3解：不等式解：不等式 2x-62x-60 0 的解集为的解集为 x x3 3，借助于数轴分析，如图，借助于数轴分析，如图 3 3

5、，可知，可知 m3m3mm 3 3图图1 x 2*例例 8 8、不等式组、不等式组有解，则（有解，则（）x mA Am2m2B Bmm2 2C Cm1m1D D1 1m2m2解：借助图解：借助图 4 4，可以发现：要使原不等式组有解，表示，可以发现：要使原不等式组有解，表示 mm 的点不能在的点不能在 2 2 的右边，的右边，也不能在也不能在 2 2 上，所以，上，所以，m2m2故选（故选（A A）mm1 1 mm 2 2 mm图图x3(x2)2，例例 9 9、(2007(2007 年泰安市年泰安市)若关于若关于x的不等式组的不等式组a2x有解，则实数有解，则实数a的取值范围是的取值范围是 x

6、4解：由解：由 x-3(x-2)2x-3(x-2)2,x2,由由11a2x x可得可得 xx2.a2.所以所以,a 4.224不等式（组）中待定字母的取值范围不等式（组）中字母取值范围确定问题，技巧性强，灵活多变，难度较大，常常影响和阻碍学生正常不等式（组）中字母取值范围确定问题，技巧性强，灵活多变，难度较大，常常影响和阻碍学生正常思维的进行，下面简略介绍几种解法，以供参考。思维的进行，下面简略介绍几种解法，以供参考。一一.把握整体，轻松求解把握整体，轻松求解2x y 1 3m 例例 1.1.（孝感市）已知方程（孝感市）已知方程满足满足x y 0，则（，则（）x 2y 1 m-得得x y 4m

7、，所以，所以x y 4m 0，解得，解得m 0二二.利用已知，直接求解利用已知，直接求解1 x x 2x2m*例例 2.2.（成都市）如果关于（成都市）如果关于 x x 的方程的方程1的解也是不等式组的解也是不等式组 2的一个解，求的一个解，求22 xx 42(x 3)x 8mm 的取值范围。的取值范围。解析：此题是解方程与解不等式的综合应用。解析：此题是解方程与解不等式的综合应用。解方程可得解方程可得x m 2因为因为x2 4 0所以所以(m 2)2 4 0所以所以m 4且且m 0解不等式组得解不等式组得x 2，又由题意，得，又由题意，得 m 2 2，解得，解得m0综合、得综合、得 mm 的

8、取值范围是的取值范围是m 0例例 3.3.已知关于已知关于 x x 的不等式的不等式(1 m)x 2的解集是的解集是x 即即1 m 0，所以，所以m 1。故本题选。故本题选 B B。三三.对照解集，比较求解对照解集，比较求解2，则，则 mm 的取值范围是（的取值范围是（）1 mx 9 5x 1例例 4.4.（东莞市）若不等式组（东莞市）若不等式组的解集为的解集为x 2，则，则 mm 的取值范围是（的取值范围是（）x m 1x 2解析：原不等式组可变形为解析：原不等式组可变形为，根据“同大取大”法则可知，根据“同大取大”法则可知，m 1 2，解得，解得m1。x m 1a x 0例例 5.5.（威

9、海市）若不等式组（威海市）若不等式组无解，则无解，则 a a 的取值范围是（的取值范围是（）x 1 0解析：原不等式组可变形为解析：原不等式组可变形为x a，根据“大大小小无解答”法则，结合已知中不等式组无解，所，根据“大大小小无解答”法则，结合已知中不等式组无解，所x 1以此不等式组的解集无公共部分，所以以此不等式组的解集无公共部分，所以a 1。四四.灵活转化，逆向求解灵活转化，逆向求解a x 0例例 6.6.（威海市）若不等式组（威海市）若不等式组无解，则无解，则 a a 的取值范围是（的取值范围是（）x 1 0解析：原不等式组可变形为解析：原不等式组可变形为x a，假设原不等式组有解，则

10、，假设原不等式组有解，则1 x a，所以，所以a 1，即当，即当a 1x 1时，原不等式组有解，逆向思考可得当时，原不等式组有解，逆向思考可得当a 1时，原不等式组无解。故本题选时，原不等式组无解。故本题选 A A。x a 1*例例 7.7.不等式组不等式组的解集中每一的解集中每一 x x 值均不在值均不在3 x 7范围内，求范围内，求 a a 的取值范围。的取值范围。x a 2x a 1解析：先化简不等式组得解析：先化简不等式组得，原不等式组有解集，即，原不等式组有解集，即a 1 x a 2有解，又由题意逆向思有解，又由题意逆向思x a 2考知原不等式的解集落在考知原不等式的解集落在 x3x

11、7x7 的范围内，从而有的范围内，从而有a 23或或a 17，所以解得，所以解得a 1或或a 8。五五.巧借数轴，分析求解巧借数轴，分析求解x a 0例例 8.8.（山东省）已知关于（山东省）已知关于 x x 的不等式组的不等式组的整数解共有的整数解共有 5 5 个，则个，则 a a 的取值范围是的取值范围是_。3 2x 1解析：由原不等式组可得解析：由原不等式组可得x a，因为它有解，所以解集是，因为它有解，所以解集是a x 2，x 2此解集中的此解集中的 5 5 个整数解依次为个整数解依次为 1 1、0 0、1、2、3，故它的解集在数轴上表示出来如图，故它的解集在数轴上表示出来如图1 1

12、所示，于是可所示，于是可知知 a a 的取值范围为的取值范围为 4a 3。3a x 0例例9.9.若关于若关于x x的不等式组的不等式组有解，有解，则则a a的取值范围是的取值范围是_x a 5 x 2x 3a解析：由原不等式组可得解析：由原不等式组可得，因为不等式组有解，所以它们的解集有公共部分。在数轴上，表示，因为不等式组有解，所以它们的解集有公共部分。在数轴上，表示x 5 a数数 3a3a 的点应该在表示数的点应该在表示数5a的点右边，但不能重合，如图的点右边，但不能重合，如图2 2 所示，于是可得所示，于是可得3a 5a，解得，解得a 本题填本题填5。故。故45。4xa2例 10.如果

13、不等式组如果不等式组2的解集是的解集是0 x 1，那么的值为，那么的值为2xb 3【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集，【分析】一方面可从已知不等式中求出它的解集，再利用解集的等价性求出再利用解集的等价性求出 a a、b b 的值，进而得到另一不的值，进而得到另一不等式的解集等式的解集【答案】解：由【答案】解：由3bx3b故故42a x，a 2得得x 42a；由；由2xb 3得得x 2，223b=1=1，故，故 a=2,b=a=2,b=1 1，故，故 a+b=1a+b=12而而0 x 1，故故 4 42a=02a=0，例 11.如果一元一次不等式组如果一元一次不等式组x 3的解集为则的解

14、集为则a的取值范围是的取值范围是(C(C)x aA AB Ba3C Ca3D Dx a0,例 12.若不等式组若不等式组有解，则有解，则 a a 的取值范围是（的取值范围是（）1 2x x 2A Aa 1B Ba1C CD Dx a0 x a【解析】本题考查一元一次不等式组的有关知识，由不等式组【解析】本题考查一元一次不等式组的有关知识，由不等式组得得，因为该不等式组，因为该不等式组1 2x x 2x 1有解，所以有解，所以a 1，故选，故选 A.A.例 13.关于关于 x x 的不等式组的不等式组x m1x m 2的解集是的解集是x 1，则，则 mm=-3=-3xa0，例 14.已知关于已知

15、关于 x x 的不等式组的不等式组只有四个整数解，则实数只有四个整数解，则实数a的取值范围是的取值范围是 _(_(3 a2)52x 1例例 1515（黄石市）若不等式组（黄石市）若不等式组53x0,有实数解，则实数有实数解，则实数 mm 的取值范围是（的取值范围是（）xm053535353553x0,x,55解解解不等式组解不等式组得得3其解集可以写成其解集可以写成 mmx x，即，即 mm.故应选故应选 A A.33xm0，x m.例 16.若不等式（若不等式（2k+12k+1）x2k+1x2k+1 的解集是的解集是 x x1 1，则，则k k 的范围是的范围是。从而断定。从而断定2k+10

16、2k+10，所以，所以kk05b0 的解集为的解集为 xx05b0 的解集为的解集为 xxb)0b)baxb 的解集。的解集。710，观察到不等号的方向已作了改变，故可知，观察到不等号的方向已作了改变，故可知(2a(2a75ba10，解此方程可求出，解此方程可求出 a a，b b 的关系。的关系。2ab710解：由不等式解：由不等式(2a(2ab)xb)xa a5b05b0 的解集为的解集为 xx，可知：，可知：73335ba10，2a2ab0b0，且且得得 b=b=a。结合结合 2a2ab0b0，b=b=a，可知可知 b0b0，a0abaxb 的解集为的解集为 xx。5552ab7例例 18

17、18、已知不等式、已知不等式 4x4xa a0 0，只有四个正整数解，只有四个正整数解 1 1，2 2，3 3，4 4，那么正数，那么正数 a a 的取值范围是什么的取值范围是什么分析：可先由不等式解集探求字母的取值范围，可采用类比的方法。分析：可先由不等式解集探求字母的取值范围，可采用类比的方法。解：由解：由 4x4xa a0 0 得得 x xa。4因为因为 x x4 4 时的正整数解为时的正整数解为 1 1，2 2，3 3，4 4；x x时的正整数解为时的正整数解为 1 1，2 2，3 3，4 4；x x5 5 时的正整数解为时的正整数解为 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5。所以所以

18、 4 401234a55，则，则 1616a20a20。4其实，本题利用数形结合的方法来解更直观易懂。根据题意画出直观图示如下：其实，本题利用数形结合的方法来解更直观易懂。根据题意画出直观图示如下：a在在 4 4 的左侧，的左侧，则不等式的正整数解只能是则不等式的正整数解只能是 1 1，2 2，3 3，4aa不包含不包含 4 4；若若在在 5 5 的右侧或与的右侧或与 5 5 重合，重合，则不等式的正整数解应当是则不等式的正整数解应当是 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，与题设不符。与题设不符。所以所以44a可在可在 4 4 和和 5 5 之间移动，能与之间移动，能与 4 4 重合，但不

19、能与重合，但不能与 5 5 重合。因此有重合。因此有 4 455，故，故 1616a20a2x2，则（，则（）x aA A.B B.C C.D D.y2x m2y3x m1的解的解 x x、y y 满足满足 2x+y2x+y0 0，则，则 mm 的取值范围是的取值范围是()5.5.已知方程组已知方程组A.m-4/34/31D.4/3m11515 x x2 2x x3 36.6.关于关于 x x 的不等式组的不等式组 只有只有 4 4 个整数解，则个整数解，则 a a 的取值范围是的取值范围是（2x2x2 2 3 3x xa a）1414141414141414A.A.5 5a a3 3B.B.

20、5 5a a3 3C.C.5 5a a3 3D.D.5 5a a3 3x 2，8.8.已知关于已知关于x的不等式组的不等式组x 1无解，则无解，则a的取值范围是（的取值范围是（）x aa-11 a 21 x2，9.9.若不等式组若不等式组有解，则有解，则 m m 的取值范围是的取值范围是_x m11.11.如果关于如果关于x的不等式的不等式(a1)x a5和和2x 4的解集相同，则的解集相同，则a的值为的值为_xa 012.12.已知关于已知关于 x x 的不等式组的不等式组32x 1有五个整数解，这五个整数是有五个整数解，这五个整数是_,a_,a 的取值范围是的取值范围是_。13.13.若若

21、 3x3x5053.，；4.4.x 3 3；%a a，92%92%a a；9.9.略；略；10.10.b a。二、。二、111118 ABCC ADBD18 ABCC ADBD。三、三、19.19.x 2；20.20.2 x 3。四、四、21.21.4 x 2；22.22.1 x 9。五、五、23.23.x 2；5.5.2 x 1；，2 2，37。11m1 m 1x 212六、六、24.24.（1 1），（2 2）由题意可得不等式组）由题意可得不等式组解得解得1 m 5。1m1 my 144八、八、26.(1)26.(1)b 4ac (4)425 24 0方程没有解；方程没有解；2（2 2）b

22、 4ac(2)41(a 2)4 4a 8 12 4a 0解得解得a 3。2221313mm4 414145353，646415158 8 立方米立方米一、填空题：1 1、4 42 2、6 63 3、x 74 4、x 311初二下数学练习（二）一元一次不等式及一元一次不等式组（2）【典型例题】x 6x1例例 1 1、若关于、若关于 x x 的不等式组的不等式组 54的解集为的解集为 x4x-1变式练习：变式练习：（1 1）若不等式组）若不等式组2x4 0,（2 2）若不等式组若不等式组无解，则无解，则 a a 的取值范围是的取值范围是_xa2 0例例 3 3、已知方程组、已知方程组2x y 5k

23、 6的解为负数，求的解为负数，求 k k 的取值范围的取值范围x2y 17例例 5 5、已知、已知 x x，y y，z z 为非负实数，且满足为非负实数，且满足 x+y+z=30 x+y+z=30，3x+y-z=503x+y-z=50求求 u=5x+4y+2zu=5x+4y+2z 的最大值和最小值的最大值和最小值【课后练习】一一.填空题填空题12m1x8 5是关于是关于x的一元一次不等式的一元一次不等式,则则m=_.=_.22.2.不等式不等式612x 0的解集是的解集是_._.3 2x3.3.当当x_时时,代数式代数式的值是正数的值是正数.44.4.当当a 2时时,不等式不等式ax 2x 5

24、的解集时的解集时_._.1.1.若若5.5.已知已知2k 3x22k 1是关于是关于x的一元一次不等式的一元一次不等式,那么那么k=_,=_,不等式的解集是不等式的解集是_._.6.6.若不等式组若不等式组2x a 1的解集为的解集为1 x 1,则则a 1b 1的值为的值为_._.x 2b 313.13.若不等式组若不等式组x 3的解集是的解集是x a,则则a的取值范围是的取值范围是()x aA.A.a 3B Ba 3.C.C.a 3D.D.a 314.14.不等式不等式2x 53 x 0的解集是的解集是()A.A.x 3且x 52B.B.x 3或x 52C.C.52 x 3D.D.3 x 5

25、215.15.若不等式组若不等式组x a无解无解,则不等式组则不等式组x bx 2a的解集是的解集是()x 2bA.A.2b x 2 aB.B.b 2 x a 2C.C.2a x 2bD.D.无解无解16.16.如果如果x1 1 x,3x2 3x2,那么那么x的取值范围是的取值范围是()A.A.1 x 23B.B.x 1C.C.x 23D.D.23 x 14 4、如果不等式组、如果不等式组x2a2的解集是的解集是0 x 1，那么，那么ab的值为的值为2xb 35 5、已知关于、已知关于x的不等式组的不等式组xa0，52x 1只有四个整数解，则实数只有四个整数解，则实数a的取值范围是的取值范围是

26、6 6、已知关于、已知关于 x x 的不等式（的不等式（3 3a a2 2）x x2 23 3 的解集是的解集是 x x14，则，则 a a_a7 7、若、若 a a0 0，则不等式，则不等式x 2xa的解集是的解集是_38 8、如果一元一次不等式组、如果一元一次不等式组x 3的解集为的解集为x 3则则a的取值范围是的取值范围是()x aA Aa 3B Ba3C Ca3D Da 39 9、若不等式组、若不等式组x a0,1 2x x 2有解，则有解，则 a a 的取值范围是（的取值范围是（）A Aa 1B Ba1C Ca1D Da 11010、如果、如果 a a0 0，abab0 0，则，则|

27、b ba a4|4|a ab b6|6|化简的结果为（化简的结果为（A A）2 2（B B）1010（C C）2 2（D D）2 2b b2 2a a2 21111、解关于、解关于 x x 的不等式组的不等式组x k 02x 114k）1212、对于、对于x1 1 的一切实数，不等式的一切实数，不等式答案：答案：一一填空题填空题1xaa都成立，试求都成立，试求a的取值范围的取值范围.21.1.mm1 2.1 2.x二二三三）119.19.1选择题选择题解答题解答题11153.3.x 4.4.x 5.5.k ,x 2222a 2x 42 2）1 x 3）m 312 2）m 44k 2）y 17500.2x2 2）1225 y 1330