1991考研数学一真题及答案解析(1).pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)设21,cos,xtyt 则22d ydx=_.(2)由方程2222xyzxyz所确定的函数(,)zz x y在点(1,0,1)处的全微分dz=_.(3)已知两条直线的方程是1123:101xyzL；221:211xyzL,则过1L且平行于2L的平面方程是_.(4)已知当0 x 时,123(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_.(5)设 4 阶方阵5 2 0 02 1 0 0

2、0 0 1 20 0 1 1A,则A的逆阵1A=_.二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)曲线2211xxeye ()(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x满足关系式20()ln22xtf xfdt,则()f x等于 ()(A)ln2xe (B)2ln2xe (C)ln2xe (D)2ln2xe (3)已知级数11(1)2nnna,2115nna,则级数1nna等于 ()(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D是xOy平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,

3、1D是D在第一象限的部分,则(cos sin)Dxyxy dxdy等于 ()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 (A)12cos sinDxydxdy (B)12Dxydxdy (C)14(cos sin)Dxyxy dxdy (D)0 (5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有 ()(A)ACBE (B)CBAE (C)BACE (D)BCAE 三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.)(1)求0lim(cos)xxx.(2)设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量

4、,求函数 2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数.(3)22()xyz dV,其中是由曲线22,0yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所围成的立体.四、(本题满分 6 分)在过点(0,0)O和(,0)A的曲线族sin(0)yax a中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的积分3(1)(2)Ly dxxy dy的值最小.五、(本题满分 8 分.)将函数()2|(11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅立叶级数,并由此求级数 211nn的和.六、(本题满分 7 分.)设函数()f x在0,1上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dxf,证明在(0,1)内存在一点c,使()

5、0fc.七、(本题满分 8 分.)已知1(1,0,2,3),2(1,1,3,5),3(1,1,2,1)a,4(1,2,4,8)a,及 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理(1,1,3,5)b.(1)a、b为何值时,不能表示成1234、的线性组合？(2)a、b为何值时,有1234、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分 6 分)设A为n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于 1.九、(本题满分 8 分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法

6、线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.)(1)若随机变量X服从均值为 2,方差为2的正态分布,且240.3PX,则 0P X=_.(2)随机地向半圆202yaxx(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为_.十一、(本题满分 6 分)设二维随机变量(,)X Y的概率密度为 (2)2,0,0(,)0,xyexyf x y其他,求随机变量2ZXY的分布函数.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 1

7、991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】3sincos4tttt【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()xtyt,则 ()()dytdxt.所以 sin2dydytdtdxdxtdt,再对x求导,由复合函数求导法则得 22sin1()()22d yddydtdtdxdt dxdxdttt 232 cos2sin1sincos424ttttttttt.(2)【答案】2dxdy【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)的含义是(1,0)1zz.将方程两边求全微分,由一阶

8、全微分形式不变性得 222222()()02d xyzd xyzxyz,再由全微分四则运算法则得 222()()xdxydyzdzxy dzydxxdy zxyz,令1,0,1xyz,得2dxdzdy,即2dzdxdy.(3)【答案】320 xyz【解析】所求平面过直线1L,因而过1L上的点(1,2,3)；因为过1L平行于2L,于是平行于1L和2L的方向向量,即平行于向量1(1,0,1)l 和向量2(2,1,1)l,且两向量不共线,于是平面的方程 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 1231010211xyz,即320 xyz

9、.(4)【答案】32【解析】因为当0 x 时,11sin,(1)1nxxxxn,当0 x 时20ax,所以有 122223111(1)1,cos1sin,322axaxxxx 所以 12230021(1)123limlim1cos132xxaxaxaxx.因为当0 x 时,123(1)1ax与cos1x是等价无穷小,所以213a,故32a .(5)【答案】12002500120033110033.【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意：1110000AABB,1110000ABBA.对于 2 阶矩阵的伴

10、随矩阵有规律：abAcd,则求A的伴随矩阵*abdbAcdca.如果0A,这样 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 111abdbdbcdcacaAadbc.再利用分块矩阵求逆的法则：1110000AABB,易见 112002500120033110033A.二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0 x,所以函数的间断点为0 x,222200011limlimlim11xxxxxxxeeyee,所以0 x 为铅直渐近线,222211limlimlim11

11、1xxxxxxxeeyee,所以1y 为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()yf x在其间断点0 xx处有0lim()xxf x,则0 xx是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim(),(xf xa a为常数）,则ya为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B)【解析】令2tu,则2,2tu dtdu,所以 200()ln22()ln22xxtf xfdtf u du,两边对x求导,得()2()fxf x,这是一个变量可分离的微分方程,即()2()d f xdxf x.解之得2()xf xCe,其中C是常数.又因为00(0)2()ln2ln2ff u du,代入2()

12、xf xCe,得0(0)ln2fCe,得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 ln2C,即2()ln2xf xe.(3)【答案】(C)【解析】因为 112342121(1)nnnnnaaaaaaa 1234212()()()nnaaaaaa 212212111()nnnnnnnaaaa(收敛级数的结合律与线性性质),所以 1221111(1)523nnnnnnnaaa.而 12342121()()()nnnnaaaaaaa 212212111()nnnnnnnaaaa538,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区

13、域D分为1234,D D D D四个子区域.显然,12,D D关于y轴对称,34,D D关于x轴对称.令 12cos sinDDIxydxdyIxydxdy,由于xy对x及对y都是奇函数,所以 12340,0DDDDxydxdyxydxdy.而cos sinxy对x是偶函数,对y是奇函数,故有 34121cos sin0,cos sin2cos sinDDDDDxydxdyxydxdyxydxdy,所以 112(cos sin)2cos sinDDxyxy dxdyIIxydxdy,故选(A).(5)【答案】(D)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提

14、供优质的文档！最新整理【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A、B、C均为n阶矩阵,且ABCE,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式|1A B C,得到0A、0B、0C,知A、B、C均可逆,那么,对于ABCE,先左乘1A再右乘A有 1ABCEBCABCAE,故应选(D).其实,对于ABCE先右乘1C再左乘C,有1ABCEABCCABE.三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.)(1)【解析】这是1型未定式求极限.1(cos1)cos100lim(cos)lim(1(cos1)xxxxxxxx 令cos1xt,则0 x时0t,所以 11cos100lim(1(cos1

15、)lim(1)xtxtxte,所以 01(cos1)(cos1)(cos1)limcos100lim(1(cos1)limxxxxxxxxxxxee.因为当0 x 时,sin xx,所以 220002 sin222(cos1)limlimlim2xxxxxxxxx,故 0(cos1)lim20lim(cos)xxxxxxee.(2)【解析】先求方向n的方向余弦,再求,uuuxyz,最后按方向导数的计算公式 coscoscosuuuunxyz求出方向导数.曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的法向量为(1,1,1)4,6,24,6,22 2,3,1Pxyzxyz,在点(1,1,1)P处指

16、向外侧,取正号,并单位化得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 22112,3,12,3,1cos,cos,cos.14231n 又 2222(1,1,1)2222(1,1,1)222222(1,1,1)666146868888146868686814PPPPPPuxxxzxyzxyuyyyzxyzxyxyxyuzzz ,所以方向导数 coscoscosuuuunxyz 62831111471414141414.(3)【解析】由曲线22,0yzx绕z轴旋转一周而围成的旋转面方程是222xyz.于是,是由旋转抛物面221()2z

17、xy与平面4z 所围成.曲面与平面的交线是 228,4xyz.选用柱坐标变换,令cos,sin,xryrzz,于是:02,04,02zrz,因此 22()Ixyz dV 4222000()zdzdrz rdr 242400242rzrrr zdz 42025643z dz.四、(本题满分 6 分)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理【解析】曲线sin,(0,)yaxx,则cosdyaxdx,所以 3(1)(2)LIy dxxy dy 301(sin)(2sin)cos axxaxax dx 23301sin2cossin22aa

18、xaxxx dx 233000sin2cossin 22aaxdxaxxdxxdx 232000(cos1)cos2sinsin224aaxdxaxdxxd x 2330001coscos2sincoscos234aaxxa xxxx 3443aa.对关于a的函数3443Iaa两边对a求导数,其中0a,并令0,I 得 2440Ia.所以1a,且 0,010,1IaIa .故1a 为函数344,(0)3Iaa a的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin,(0,)yxx.五、(本题满分 8 分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x的傅式系数na与nb.因()f x为偶函数,所以 1()

19、sin0(1,2,3,)lnlnbf xxdxnll,012()cos()cosllnlnnaf xxdxf xxdxllll 11100022(2)cos4cossinxn xdxn xdxxdn xn 122022(cos1)sin(1,2,3,)nn xdxnnn,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有 2、3加到第三行和第四行上,再第二行乘以 1、2加到第三行和第四行上,有 111

20、111111101121011212324301213518502252Aababaa 1111101121001000010aba,所以,当1,0ab 时,()1()r Ar A,方程组无解.即是不存在1234x,x,x,x使得 11223344xxxx成立,不能表示成1234、的线性组合；当1a 时,()()4.r Ar A方程组有唯一解21,0111Tbabbaaa,故有唯一表达式,且1234210111babbaaa .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是()()r Ar A(或者说

21、,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组).设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则(1)有唯一解 ()().r Ar An(2)有无穷多解 ()().r Ar An(3)无解 ()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.八、(本题满分 6 分)【解析】方法 1：因为A为n阶正定阵,故存在正交矩阵Q,使 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 121TNQ AQQ AQ ,其中0(1,2,)iin,i是A的特征值.因此()TTTQAE QQ AQQ QE 两端取行列式得|()|

22、(1)TTiAEQAE QQAE QE,从而|1AE.方法 2：设A的n个特征值是12n,.由于A为n阶正定阵,故特征值全大于 0.由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端同时加上,得1AE.按特征值定义知1是AE的特征值.因为AE的特征值是12111n,.它们全大于 1,根据iA,知|(1)1iAE.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.九、(本题满分 8 分)【解析】曲线()yy x在点(,)P x y处的法线方程为 1()YyXxy (当0y 时),它与x轴的交点是(,0

23、)Q xyy,从而 12222|()(1)PQyyyyy.当0y 时,有(,0),|Q xPQy,上式仍然成立.因此,根据题意得微分方程 3122221(1)(1)yyyy,即21yyy.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x 时,1,0yy.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 令()yP y,则dPyPdy,二阶方程降为一阶方程21dPyPPdy,即21PdPdyPy.即21yCP,C为常数.因为当1x 时,1,0yPy,所以1C,即2211yPy,所以21yy .分离变量得 21dydxy.令secyt,并积分,则上式左端变为

24、 2sec tanln sectantan1dyttdtttCty 22ln secsec1ln1ttCyyC.因曲线在上半平面,所以210yy,即2ln1yyCx.故 21xyyCe.当1x 时,1,y 当x前取+时,1Ce,211xyye,22112221111(1)(1)1xxyyyyeeyyyyyy；当x前取时,Ce,211xyye ,22112221111(1)(1)1xxyyyyeeyyyyyy；所以 (1)(1)1()2xxyee.十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数和2,否则

25、应先根据题设条件求出,2,再计算有关事件的概率,本题可从 2()0.8,通过查()x表求出,但是注意到所求概率(0)P x 即是2()与2()之间的关系,可以直接由2()的值计算出2().欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理 因为2(2,)XN,所以可标准化得 2(0,1)XN,由标准正态分布函数概率的计算公式,有 4222(24)()()Px,2()(24)(0)0.8Px.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x .(2)【解析】设事件A=“掷的点和原点的连线与x轴的夹角小于4”,这是一个几何型

26、概率的计算问题.由几何概率公式()DSP AS半圆,而 212Sa半圆,22141124DOACSSSaa圆,故 222111124()122aaP Aa.十一、(本题满分 6 分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有 2()2(,)xy zF zP ZzP XYzf x y dxdy.当0z 时,()0F z.因为2xyz在直线20 xy的下方 与0,0 xy(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z.当0z 时,2xyz在直线20 xy 的上方与第一象限相交成一个三角形区域D,此即为积分区间.(2)2000()2()1z xzzxyxzzzF zdxedyeedxeze.所以2ZXY的分布函数 0,0,()1,0.zzzF zezez x y O 20 xy z D x y O A B D C 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！最新整理