2014年考研数学一真题及详细解答.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1 2014 硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题 18 小题每题 4 分，共 32 分 以下曲线有渐近线的是 Axxysin Bxxysin2 Cxxy1sin Dxxy12sin 2设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)()()(110，则在,10上 A当0)(xf时，)()(xgxf B当0)(xf时，)()(xgxf C当0)(xf时，)()(xgxf D当0)(xf时，)()(xgxf 3设)(xf是连续函数，则yydyyxfdy11102),(A210011010 xxdyyxfdx

2、dyyxfdx),(),(B0101110102xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(Csincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrrfddrrrfd Dsincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd 4假设函数dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,，则xbxasincos11 Axsin2 Bxcos2 Cxsin2 Dxcos2 5行列式dcdcbaba00000000等于 A2)(bcad B2)(bcad C2222cbda D2222cbda

3、6设321,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,线性无关的 A必要而非充分条件 B充分而非必要条件 C充分必要条件 D非充分非必要条件 7设事件 A，B 想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则)(ABP A0.1 B0.2 C0.3 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2 8 设连续型随机变量21XX,相互独立，且方差均存在，21XX,的概率密度分别为)(),(xfxf21，随机变量1Y的概率密度为)()()(yfyfyfY21211，随机变量)(21221XXY，则 A2121DYDYEYE

4、Y,B2121DYDYEYEY,C2121DYDYEYEY,D2121DYDYEYEY,二、填空题此题共 6 小题，每题 4 分，总分值 24 分.把答案填在题中横线上 9曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),(101处的切平面方程为 10设)(xf为周期为 4 的可导奇函数，且 2012,),()(xxxf，则)(7f 11微分方程0)ln(lnyxyxy满足31ey)(的解为 12设L是柱面122 yx和平面0 zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分Lydzzdx 13 设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),(的负惯性指数是 1，则a的

5、取值范围是 14设总体 X 的概率密度为其它,),(02322xxxf，其中是未知参数，nXXX,21是来自总体的简单样本，假设niiXC12是2的无偏估计，则常数C=三、解答题 15 此题总分值 10 分 求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112 16 此题总分值10分 设函数)(xfy 由方程06223yxxyy确定，求)(xf的极值 17 此题总分值 10 分 设 函 数)(uf具 有 二 阶 连 续 导 数，)cos(yefzx满 足xxeyezyzxz222224)cos(假 设0000)(,)(ff，求)(uf的表达式 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，

6、如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！3 18 此题总分值 10 分 设曲面)(:122zyxz的上侧，计算曲面积分：dxdyzdzdxydydzx)()()(11133（1）证明0nnalim；（2）证明级数1nnnba收敛 19 此题总分值 10 分 设数列 nnba,满足2020nnba,，nnnbaacoscos且级数1nnb收敛 20 此题总分值 11 分 设302111104321A，E 为三阶单位矩阵（1）求方程组0AX的一个基础解系；（2）求满足EAB 的所有矩阵 21 此题总分值 11 分 证明n阶矩阵111111111与n00200100相似 22 此题总分值

7、11 分 设随机变量 X 的分布为2121)()(XPXP，在给定iX 的条件下，随机变量Y服从均匀分布210,),(iiU（1）求Y的分布函数；（2）求期望).(YE 23 此题总分值11 分 设总体 X 的分布函数为00012xxexFx,),(，其中为未知的大于零的参数，nXXX,21是来自总体的简单随机样本，1求)(),(2XEXE；2求的极大似然估计量 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！5 20000000000000000)()(

8、)(bcadbcadbcbcadaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 应该选B 6【详解】假设向量321,线性无关，则 31k，32lKlk),(),(3213211001，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于 2，所以向量31k，32l一定线性无关而当000010001321,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关，但321,线性相关；故选择A 7【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(APAPAPBPAPAPABPAPBAP505030 所以60.)(AP，)(ABP205050.)(.)()(APABPBP故选择B 8【详解】)()(

9、)(2212112121YEEXEXdyyfyfyEY，222121221212121EXEXdyyfyfyEY)()(，2212212121221222211221141414141412141412121DYXDXDXXEXDXDXEXEXEXEEXEXYEYEDY)()()()()()()()()()(故应该选择D 9【详解】曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),(101处的法向量为),(|,),(1121101yxzz，所以切平面方程为0110112)()()(zyx，即012zyx 10【详解】当20,x时，Cxxdxxxf2122)()(，由00)(f可知0C，即xxx

10、f22)(；)(xf为周期为 4 奇函数，故1117)()()(fff 11【详解】方程的标准形式为xyxydxdyln，这是一个齐次型方程，设xyu，得到通解为1Cxxey，将初始条件31ey)(代入可得特解为12 xxey 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！7 设11221yxz:取下侧，记由1,所围立体为，则高斯公式可得 47373366733113131111210202222223321rdzrrdrddxdydzyxdxdydzy

11、xyxdxdydzyxdxdyzdzdxydydzx)()()()()()()()(在11221yxz:取下侧上，0111111133dxdydxdyzdzdxydydzx)()()()(，所以dxdyzdzdxydydzx)()()(11133=4111133dxdyzdzdxydydzx)()()(19【详解】1证明：由nnnbaacoscos，及2020nnba,可得20nnnbaacoscos，所以20nnba，由于级数1nnb收敛，所以级数1nna也收敛，由收敛的必要条件可得0nnalim 2证明：由于2020nnba,，所以2222nnnnnnnnababbabasin,sin 2

12、22222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbabbabbababbabbabasinsincoscos 由于级数1nnb收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nnnba收敛 20【详解】1对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：310020101001310011104321134011104321302111104321A，得到方程组0AX同解方程组43424132xxxxxx，得到0AX的一个基础解系13211 显然 B 矩阵是一个34矩阵，设444333222111zyxzyxzyxzyxB 对矩阵)(AE进行进行初等行变换如下：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源

13、于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！8 141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE 由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即满足EAB 的所有矩阵为321321321321313431212321162ccccccccccccB，其中321ccc,为任意常数 21【详解】证明：设A 111111111，Bn00200100 分

14、别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111nnAE)(，所以 A 的n个特征值为0321nn,；而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且00A；1002010nnnBE)(所以 B 的n个特征值也为0321nn,；对于1n重特征值0，由于矩阵BBE)(0的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应1n重特征值0的特征向量应该有1n个线性无关，进一步矩阵 B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且00B，从而可知n阶矩阵111111111与n00200100相似 22【详解】1分布函数)/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121XyYPXyY

15、PXPXyYPXPXyYPXyYPXyYPyYPyF 当0y时，0)(yF；当10 y时，yyyyF4322121)(；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！9 当21 y时，214122121yyyF)(；当2y时，1)(yF 所以分布函数为2121421104300yyyyyyyF,)(2概率密度函数为其它,)()(021411043yyyFyf，434432110dyyydyYE)(23【详解】1先求出总体 X 的概率密度函数00022xxexxfx,),(，dxexedexdxexEXxxxx0000222222|；;dttedxexdxexEXtxx020203211222 2极大似然函数为：其它,),()(0021211ixininninixexxfLnii 当所有的观测值都大于零时，niiniixnxnLnL12112lnlnln)(，令0dLd)(ln，得的极大似然估计量为nxnii12；3 因为nXXX,21独立同分布，显然对应的22221nXXX,也独立同分布，又有 个可知2iEX，由辛钦大数定律，可得0112niiinEXxnPlim，由前两问可知，nxnii12，2iEX，所以存在常数a，使得对任意的0，都有0aPnnlim