2017考研数学二真题及答案解析.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数1 cos,0(),0 xxfxaxbx在0 x 处连续，则（）(A)12ab(B)12ab (C)0ab(D)2ab【答案】A【解析】0011 cos12limlim,()2xxxxfxaxaxa在0 x 处连续11.22baba 选 A.（2）设二阶可导函数()fx满足(1)(1)1,(0)

2、1fff 且()0f x，则（）111101011010()()0()0()()()()()AfxdxBfxdxCfxdxfxdxDfxdx fxdx【答案】B【解析】()fx为偶函数时满足题设条件，此时0110()()fxdxfxdx，排除 C,D.取2()21fxx满足条件，则112112()2103fxdxxdx ，选 B.（3）设数列nx收敛，则（）()A当limsin 0nnx时，lim 0nnx()B当lim()0nnnxx时，lim 0nnx()C当2lim()0nnnx x时，lim 0nnx()D当lim(sin)0nnnxx时，lim 0nnx【答案】D【解析】特值法：（A

3、）取nx，有limsin 0,limnnnnxx，A错；取1nx，排除 B,C.所以选 D.（4）微分方程的特解可设为欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】从 0 到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttv dt v dt则乙要追上甲，则0210(t)v(t)10tvdt，当025t时满足，故选 C.（7）设A为三阶矩阵，123(,)P 为可逆矩阵，使得1012P AP，则123(,)A （）（A）12（B）232

4、（C）23（D）122【答案】B【解析】11231232300011(,)(,)12222P APAP PA ,因此 B正确。（8）设矩阵20 021010 00 21,0 20,0 200 0 10 0 10 0 2ABC,则（）（A）,A CB C与 相似与 相似（B）,A CB C与 相似与 不相似（C）,A CB C与 不相似与 相似（D）,A CB C与 不相似与 不相似【答案】B【解析】由0E A 可知 A的特征值为 2,2,1,因为3(2)1r E A，A可相似对角化，即10 0 0 200 0 2A由0E B 可知 B特征值为 2,2,1.因为3(2)2r E B，B不可相似对

5、角化，显然 C可相似对角化，A C，但 B不相似于 C.二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(9)曲线21 arcsiny xx的斜渐近线方程为_【答案】2y x【解析】22lim lim(1arcsin)1,limlimarcsin2,2xxxxyy xxxxxy x (10)设函数()y yx由参数方程sintx t eyt 确定，则220tdydx_【答案】18【解析】220222coscos,11cossin(1)cos1181ttttttt

6、dydxdyttedtdtdxetdytete dyedxdxdxedt (11)20ln(1)(1)xdxx_【答案】1【解析】20002020ln(1)1ln(1)(1)1ln(1)11(1)11.(1)xdxx dxxxdxxxdxx (12)设函数(,)fxy具有一阶连续偏导数，且(,)(1)yydf xyye dxxyedy，(0,0)0f，则(,)_fxy【答案】yxye【解析】,(1),(,)(),yyyyxyfyefxye fxyye dx xye cy故欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！()yyyyyfxe xye

7、cyxe xye，因此()0cy，即()cy C，再由(0,0)0f，可得(,).yfxyxye【答案】【解析】（13）110tan_yxdydxx【答案】lncos1.【解析】交换积分次序：11110000tantantanlncos1xyxxdydxdxdyxdxxx .（14）设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112，则_a【答案】-1【解析】设112，由题设知A，故4121111211323112222aa 故1a .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）求极限030limx

8、txx tedtx【答案】23【解析】030limxtxx tedtx，令x t u，则有000 xxtxuxuxx tedtueduuedu 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！003300220310022=limlim2limlim332xxxuxuxxxuxxxuedueue duxxue duxexx原式（16）（本题满分 10 分）设函数(,)fuv具有 2 阶连续偏导数，(,cos)xy fex，求0 xdydx，220 xdydx【答案】2111200(1,1),(1,1),xxdydyffdxdx【解析】0121210

9、02 22111221221222111220(,cos)(0)(1,1)sin(1,1)1(1,1)0(1,1)(sin)(sin)sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxy fexyfdyf efxfffdxdyfefexfexfx f efxdxdyfffdx结论：102111220(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxdyfffdx（17）（本题满分 10 分）求21limln 1nnkkknn【答案】14【解析】211122 102000111111limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1)2214nnkkkxxxdxxdxx xdxnnx

10、（18）（本题满分 10 分）已知函数()yx由方程33332 0 xyxy 确定，求()yx的极值欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【答案】极大值为(1)1y，极小值为(1)0y【解析】两边求导得：22333 30 xyyy（1）令0y得1x 对（1）式两边关于 x 求导得226633 0 xyyyyy（2）将1x 代入原题给的等式中，得1110 xxoryy，将1,1xy代入（2）得(1)1 0y 将1,0 xy 代入（2）得(1)2 0y 故1x 为极大值点，(1)1y；1x 为极小值点，(1)0y（19）（本题满分 10 分）

11、设函数()fx在区间0,1上具有 2 阶导数，且0()(1)0,lim0 xfxfx，证明：()方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根；()方程2()()()0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】（I）()fx二阶导数，0()(1)0,lim0 xfxfx解：1）由于0()lim0 xfxx，根据极限的保号性得0,(0,)x 有()0fxx，即()0fx进而0(0,)0 xf 有又由于()fx二阶可导，所以()fx在0,1上必连续那么()fx在,1上连续，由()0,(1)0ff根据零点定理得：至少存在一点(,1)，使()0f，即得证（II）由（1）可知

12、(0)0f，(0,1),()0f 使，令()()()Fxfxfx，则(0)()0ff欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由罗尔定理(0,),()0f 使，则(0)()()0FFF，对()Fx在(0,),(,)分别使用罗尔定理：12(0,),(,)且1212,(0,1),，使得12()()0FF，即2()()()()0F xfxf xfx在(0,1)至少有两个不同实根。得证。（20）（本题满分 11 分）已知平面区域 22,|2,Dxy xyy计算二重积分 21Dxdxdy。【答案】54【解析】22sin222220051122cos4D

13、DDDxdxdy xdxdy xdxdydxdy drd （21）（本题满分 11 分）设()yx是区间30,2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线 L:()y yx上任意一点，L在点 P处的切线与 y 轴相交于点 0,pY，法线与 x 轴相交于点,0pX，若ppXY，求 L上点的坐标,xy满足的方程。【答案】【解析】设,()pxyx的切线为()()Y yxyx X x，令0X得()()pYyxyxx，法线1()()Y yxX xyx,令0Y得()()pXx yxyx。由ppXY得()()y xy xx yy x，即1()1yyyxxx。令yux，则y ux，按 照 齐 次 微 分 方 程

14、的 解 法 不 难 解 出21ln(1)arctanln|uux Cx ,（22）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵123,A有 3 个不同的特征值，且3122。()证明：()2rA()若123 ，求方程组Ax的通解。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【答案】（I）略；（II）通解为1121,11kkR 【解析】（I）证明：由3122可得12320，即123,线性相关，因此，1230A，即A 的特征值必有0。又因为A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1 个0，另外两个非0.且由于A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,

15、00()()2r Ar（II）由（1）()2r A，知3()1r A，即0Ax的基础解系只有1 个解向量，由12320可得12311,22011A，则0Ax的基础解系为121，又123，即12311,1111A ，则Ax的一个特解为111 ，综上，Ax的通解为1121,11kkR （23）（本题满分11分）设二次型222123123121323(,)2282f xxxxxaxx xx xx x在正交变换XQY下的标准型221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q.【答案】2212111326122;0,3636111326 aQf xQyyy【解析】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如

16、有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！123(,)Tfxx xX AX，其中21411 14 1Aa由于123(,)Tfxx xX AX经正交变换后，得到的标准形为221 12 2yy，故214()2|011 1024 1rAAaa ，将2a 代入，满足()2rA，因此2a 符合题意，此时21411 14 12A，则123214|11103,0,6412E A ，由(3)0E Ax，可得 A的属于特征值-3的特征向量为1111 ；由(6)0E Ax，可得 A的属于特征值 6 的特征向量为2101 由(0)0E Ax，可得 A的属于特征值 0 的特征向量为3121令123,P ，则1360P AP，由 于123,彼此 正交，故 只需单 位化即可：1231111,1,1,1,0,1,1,2,1,326TTT，则12311132612036111326Q ，360TQ AQ欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2212312(,)36xQyfxx xyy