1993【考研数三】真题及解析.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 1 1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)(1)2352limsin53xxxx .(2)已知 232,arctan,32xyffxxx则0 xdydx .(3)级数0(ln3)2nnn的和为 .(4)设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵*A的秩为 .(5)设总体X的方差为 1,根据来自X的容量为 100的简单随机样本,测得样本均值为 5,则X的数学期望的置信度近似等于 0.95的置信区间为 .二、

2、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 f x 21sin,0,0,0,xxxx则 f x在点0 x 处 ()(A)极限不存在 (B)极限存在但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导(2)设 f x为连续函数,且 ln1,xxF xf t dt则 Fx等于 ()(A)2111lnfxfxxx (B)11lnfxfxx (C)2111lnfxfxxx (D)1lnfxfx(3)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 ()(A)充分必要条件 (B)充分而非必要条件 (C)必要而

3、非充分条件 (D)既非充分也非必要条件(4)假设事件A和B满足()1P B A,则 ()(A)A是必然事件 (B)()0P B A.(C)AB (D)AB 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 2(5)设随机变量X的密度函数为()x,且()()xx.()F x是X的分布函数,则对任意实数a,有 ()(A)0()1()aFax dx.(B)01()()2aFax dx (C)()()FaF a (D)()2()1FaF a 三、(本题满分 5 分)设zf x,y是由方程0zy xzyxxe 所确定的二元函数,求dz.四、(本题满分

4、 7 分)已知22lim4xxaxxax edxxa,求常数a的值.五、(本题满分 9 分)设某产品的成本函数为2,Caqbqc需求函数为1(),qdpe其中C为成本,q为需求量(即产量),p为单价,a b c d e都是正的常数,且db,求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性;(3)需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量.六、(本题满分 8 分)假设:(1)函数()(0)yf xx 满足条件(0)0f和0()1xf xe;(2)平行于y轴的动直线MN与曲线()yf x和1xye分别相交于点1P和2P;(3)曲线()yf x,直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段1

5、2PP的长度.求函数()yf x的表达式.七、(本题满分 6 分)假设函数()f x在0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,过点(0,(0)Af与(1,(1)Bf的直线与曲线()yf x相交于点(,()C c f c,其中01c.证明:在(0,1)内至少存在一点,使()0f.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 3 八、(本题满分 10 分)k为何值时,线性方程组 12321231234,24xxkxxkxxkxxx 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分 9 分)设二次型 2221231223

6、13222fxxxx xx xx x 经正交变换XPY化成22232fyy,其中123(,)TXx xx和123(,)TYy yy是三维列向量,P是 3 阶正交矩阵.试求常数,.十、(本题满分 8 分)设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为 23,02,()80,.xxf x其他(1)已知事件AXa和BYa独立,且34P AB.求常数a.(2)求21X的数学期望.十一、(本题满分 8 分)假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数 N t服从参数为t的泊松分布.(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下,再无故障运行 8 小时的概率Q.欢

7、迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 4 1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】65【解析】2222sin35235limsin2limlim25353xxxxxxxxxxx,极限 02sinsinlimlim12xttxtx,而 223563limlim53105xxxxxxx洛,所以 235236limsin215355xxxx.(2)【答案】34【解析】令 3232xg x,x则有 01g,21232gxx,则 03g,由复合函数求导

8、法则知 0300313arctan1.4xdyfggfdx(3)【答案】22ln3【解析】利用几何级数求和公式01(1),1nnxxx令ln32x,即得 0(ln3)12.ln322ln312nnn(4)【答案】0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于 2r A,说明A中 3 阶子式全为 0,于是A的代数余子式0ijA,故0*A.所以秩 0*r A.若熟悉伴随矩阵*A秩的关系式 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 5 1101*n,r An,r A,r An,r An,易知 0*r A.注：按定义 1121112

9、22212nn*nnnnAAAAAAA,AAA 伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是1n阶子式.(5)【答案】(4.804,5.196)【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.因X的方差为1,设X的期望为,则(0,1)/XUNn.当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知0.02521.96uu.因此用公式：22(,)Ixuxunn.将25,1,100,1.96xnu代入上式,得到所求的置信区间为(4.804,5.196)I.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)

10、【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当0 x 时,21sinx为有界变量,x为无穷小量,则 2001limlimsin0 xxf xxx,且 00f.于是 f x在0 x 处连续.故(A)(B)不正确.又因为 22200011sin0sin11limlimlimsin0 xxxxfxxxxxxx不存在,所以 f x在0 x 处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在0 x处连续,则有000lim()lim()()xxxxf xf xf x.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 6(2)【答案】(A

11、)【解析】22ln11111ln.fxFxfxffxxxxxx【相关知识点】积分上限函数的求导公式：xxdf t dtfxxfxxdx.(3)【答案】(B)【解析】AA 有n个线性无关的特征向量.由于当特征值12时,特征向量12,线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).(4)【答案】(D)【解析】()1P B A 的充分必要条件是()1()P ABP A,即()()P ABP A.显然四

12、个选项中,当AB时,ABA,可得()()P ABP A.因此AB是()1P B A 的充分条件.因此选(D).(5)【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有()()()(),xtaaaFax dxt dtx dx 随机变量X的密度函数为()x,则()1x dx,又由于()()xx,所以 001()()2x dxx dx,(偶函数积分的性质)即001()()()()2aaaax dxx dxx dxx dx.于是 0001()()()()()()2aaaaFax dxx dxx dxx dxx dx.故应选(

13、B).三、(本题满分 5 分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得 0z y xz y xdzdydxedxxedzdydx.整理后得 111z y xz y xz y xz y xxedzxeedxxedy.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 7 由此,得11z y xz y xz y xxeedzdxdyxe .方法二：应先求出函数对,x y的偏导数,将0zy xzyxxe 两边分别对,x y求偏导,110110zy xzy xxxzy xyyzexez,zxez,解之得 111zy xxzy xx

14、ezxe ,1yz.故 111zy xxyzy xxedzz dxz dydxdyxe .四、(本题满分 7 分)【解析】2222limlim 1lim 1x aaxxxax axxxxaaaxaxaxa ,令2atxa,则当x 时,0t,1202lim 1lim 1x aatxtatexa,所以 22lim222lim 1xx aaxaxax aax axaeexa .而 22222224224xxxxaaaax edxx dex exedx 22222lim222baxabb ea exde 2222222axxaaa exeedx 2222222lim22limabababba ebea

15、eee 222222aaaa eaee,由2222222aaaaea eaee,得20aa,所以0a 或1a.五、(本题满分 9 分)【解析】(1)利润函数为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 8 22()()()()LpqCdeq qaqbqcdb qea qc,对q求导,并令0dLdq,得()2()0dLdbea qdq,得2()dbqea.因为222()0,d Leadq 所以,当2()dbqea时为利润函数的极大值点,根据题意也是利润的最大值点,所以2max()4()dbLcea.(2)因为1()()q pdpe,所

16、以1()q pe,故需求对价格的弹性为peqdqqeq.(3)由1,得2dqe.六、(本题满分 8 分)【解析】由题设可得示意图如右.设12(,(),(,1)xP x f xP x e,则12SPP,即 0()1()xxf t dtef x.两端求导,得()()xf xefx,即()()xf xfxe.由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得()()()()p x dxp x dxf xeq x edxC()dxdxxee edxC1().2xxxxxe e dxC eCee 由初始条件(0)0f,得12C .因此,所求函数为1()()2xxf xee.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()

17、yp x yq x的通解公式为:()()()p x dxp x dxyeq x edxC,其中C为常数.七、(本题满分 6 分)【解析】因为()f x分别在0,c和,1c上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在12(0,),(,1)cc,使得 12()(0)(1)()(),(),01f cfff cffcc 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 9 由于点C在弦AB上,故有()(0)(1)()(1)(0)(1)(0),011 0f cfff cffffcc 从而 12()()(1)(0).ffff 这表明()fx在区间12,上满足罗

18、尔定理的条件,于是存在12(,)(0,1),使得()0f.八、(本题满分 10 分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,第一行和第三行互换,再第一行分别乘以 1、1加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以12k加到第三行上,有 22114112411111124114kAkkkkk 22112411240134022802280134kkkkkk 11240228(1)(4)00(4)2kkkk k.(1)当1k 且4k 时,()()3r Ar A,方程组有唯一解,即 221232242,.111kkkkkxxxkkk(2)当1k 时,()3,()2r Ar A方程组无解.

19、(3)当4k 时,有112410300228011400000000A.因为()()23r Ar A,方程组有无穷多解.取3x为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0)T.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 10 又导出组的基础解系为(3,1,1)T,所以方程组的通解为k,其中k为任意常数.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即()()r Ar A.(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等

20、价向量组)设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则（1）有唯一解 ()().r Ar An（2）有无穷多解 ()().r Ar An（3）无解 ()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.九、(本题满分 9 分)【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为1101,1112AB.由于P是正交矩阵,有1P APB,即知矩阵A的特征值是 0,1,2.那么有 2220,0.20.AEA 【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量12,nx xx的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)1211,nnnijijijfx xxa x x其中ijjiaa,称为n元二次型,令12,Tnxx xx,ij

21、Aa,则二次型可用矩阵乘法表示为 12,Tnf x xxx Ax 其中A是对称矩阵TAA,称A为二次型12,nf x xx的矩阵.十、(本题满分 8 分)【解析】(1)依题意,因为随机变量X和Y同分布,则 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 11 P AP XaP YaP B,又事件AXaBYa和独立,故 P ABP A P B.估计广义加法公式：2324P ABP AP BP A P BP AP A.解以()P A为未知量的方程 23204P AP A.得1()2P A,(因3()2P A 不合题意).再依题设条件可知 22

22、3131()()(8)288aaP AP Xaf x dxx dxa.再解以a为未知量的方程:384a,得34a.(2)直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:222202220011133338884Efx dxx dxdxx.Xxx 十一、(本题满分 8 分)【解析】本题的关键在于理解随机变量 N t的意义,事件 N tk表示设备在任何长为t的时间内发生k次故障,其概率为()(0,1,2)!kttP N tkekk.由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当0t 时,0;F tP Tt当0t 时,事件Tt与Tt是互逆事件,并且Tt表示在长为t的时间内没有发生故障,它等价于事件 0N t.(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量.当0t 时,0;F tP Tt 当0t 时,事件Tt与 0N t 等价.于是有 1101tF tP TtP TtP N te.因此 1,00,tetF tt .计算得知T服从参数为的指数分布.(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此 8816|88181(8)1(1)QP TTP TP TFee .欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 12