三角函数公式大全关系.pdf

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1、三角函数公式大全关系：倒数倒数tan cot=1sin csc=1cos sec=1商的关系：sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方关系：sin2()+cos2()=11+tan2()=sec2()1+cot2()=csc2()平常针对不同条件的常用的两个公式sin2()+cos2()=1tan *cot=1一个特殊公式sina+sin*sina-sin=sina+*sina-证明：sina+sin*sina-sin=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2*2 cos(+a)/2 sin(a-)/2=sina+*sina-坡度公式坡度公式我们通常半

2、坡面的铅直高度 h 与水平高度 l 的比叫做坡度也叫坡比，用字母 i 表示，即 i=h/l,坡度的一般形式写成 l:m 形式，如 i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角，则 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin=的对边/的斜边余弦：cos=的邻边/的斜边正切：tan=的对边/的邻边余切：cot=的邻边/的对边二倍角公式二倍角公式正弦sin2A=2sinAcosA余弦1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)2.Cos2a=1-2Sin2(a)3.Cos2a=2Cos2(a)-1即 Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2

3、(a)正切tan2A=2tanA/1-tan2(A)三倍角公式三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a=tan a tan(/3+a)tan(/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sin

4、a(3/4-sina)=4sina(3/2)-sina=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2)2=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(

5、a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)现列出公式如下:sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan2()cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式三倍角公式sin3=3sin-4sin3()=4sins

6、in(/3+)sin(/3-)cos3=4cos3()-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a)tan(/3-a)半角公式半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin万能公式万能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)其他sin+

7、sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4)tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4)五倍角公式五倍角公式sin5A=16s

8、inA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4)六倍角公式六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2)cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1)tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6)七倍角公式七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sin

9、A4-7+64*sinA6)cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7)tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6)八倍角公式八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1)cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-2

10、8*tanA6+tanA8)九倍角公式九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3)cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3)tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8)十倍角公式十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2

11、+5+16*sinA4)cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1)tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10)N N 倍角公式倍角公式根据棣美弗定理，(cos+i sin)n=cos(n)+i sin(n)为方便描述，令 sin=s，cos=c 考虑 n 为正整数的情形：cos(n)+i sin(n)=(c+i s)n=C(n,0)*cn+C(n,2)

12、*c(n-2)*(i s)2+C(n,4)*c(n-4)*(i s)4+.+C(n,1)*c(n-1)*(i s)1+C(n,3)*c(n-3)*(i s)3+C(n,5)*c(n-5)*(i s)5+.=比拟两边的实部与虚部 实部：cos(n)=C(n,0)*cn+C(n,2)*c(n-2)*(i s)2+C(n,4)*c(n-4)*(i s)4+.i*(虚部)：i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1+C(n,3)*c(n-3)*(i s)3+C(n,5)*c(n-5)*(i s)5+.对所有的自然数 n，1.cos(n)：公式中出现的 s 都是偶次方，而s2=1-c2(

13、平方关系)，因此全部都可以改成以 c(也就是 cos)表示。2.sin(n)：(1)当 n 是奇数时：公式中出现的 c 都是偶次方，而c2=1-s2(平方关系)，因此全部都可以改成以 s(也就是 sin)表示。(2)当 n 是偶数时：公式中出现的 c 都是奇次方，而c2=1-s2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是 cos)的一次方无法消掉。(例.c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2)半角公式半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/

14、sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)和差化积和差化积sin+sin=2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin=2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos=2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos=-2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtan

15、B)两角和公式两角和公式tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossin积化和差积化和差sinsin=-cos(+)-cos(-)/2coscos=cos(+)+cos(-)/2sincos=sin(+)+sin(-)/2cossin=sin(+)-sin(-)/2双曲函数双曲函数sh a=ea-e(-a)/2ch a=ea+e(-a)/2th a=sin h(a)/cos h

16、(a)公式一：设 为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin2k+=sincos2k+=costan2k+=tancot2k+=cot公式二：设 为任意角，+的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin+=-sincos+=-costan+=tancot+=cot公式三：任意角 与-的三角函数值之间的关系：sin-=-sincos-=costan-=-tancot-=-cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与 的三角函数值之间的关系：sin-=sincos-=-costan-=-tancot-=-cot公式五：利用公式-和公式三可以得到 2-与 的三角函数值之间的关系：sin2

17、-=-sincos2-=costan2-=-tancot2-=-cot公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin/2+=coscos/2+=-sintan/2+=-cotcot/2+=-tansin/2-=coscos/2-=sintan/2-=cotcot/2-=tansin3/2+=-coscos3/2+=sintan3/2+=-cotcot3/2+=-tansin3/2-=-coscos3/2-=-sintan3/2-=cotcot3/2-=tan(以上 kZ)Asin(t+)+Bsin(t+)=(A+B+2ABcos(-)sin t+arcsin(Asin+Bsin)

18、/A2+B2;+2ABcos(-)表示根号,包括中的容三角函数的诱导公式六公式公式一sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tan公式二sin(/2-)=coscos(/2-)=sin公式三sin(/2+)=coscos(/2+)=-sin公式四sin(-)=sincos(-)=-cos公式五sin(+)=-sincos(+)=-cos公式六tanA=sinA/cosAtan/2+=cottan/2=cottan=tantan+=tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(/2)cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2

19、)tan=2tan(/2)/1-(tan(/2)其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1平方和公式(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2证明下面两式，只需将一式,左右同除(sin)2，第二个除(cos)2 即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当*+y+z=n(nZ)时，该关系式也成立由

20、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)2;+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)(seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2幂级数展开式sin*=*-*3/3!+*5/5!-+

21、(-1)(k-1)*(*(2k-1)/(2k-1)!+。(-*)cos*=1-*2/2!+*4/4!-+(-1)k*(*(2k)/(2k)!+(-*)arcsin*=*+1/2*3/3+1*3/(2*4)*5/5+(|*|1)arccos*=-(*+1/2*3/3+1*3/(2*4)*5/5+)(|*|1)arctan*=*-*3/3+*5/5-(*1)无限公式sin*=*(1-*2/2)(1-*2/42)(1-*2/92)cos*=(1-4*2/2)(1-4*2/92)(1-4*2/252)tan*=8*1/(2-4*2)+1/(92-4*2)+1/(252-4*2)+sec*=41/(2-

22、4*2)-1/(92-4*2)+1/(252-4*2)-+(sin*)*=cos*/2cos*/4cos*/8(1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/arctan*=*-*3/3+*5/5-(*1)和自变量数列求和有关的公式sin*+sin2*+sin3*+sinn*=sin(n*/2)sin(n+1)*/2)/sin(*/2)cos*+cos2*+cos3*+cosn*=cos(n+1)*/2sin(n*/2)/sin(*/2)tan(n+1)*/2)=(sin*+sin2*+sin3*+sinn*)/(cos*+cos2*+cos3*+cosn*)sin

23、*+sin3*+sin5*+sin(2n-1)*=(sinn*)2/sin*cos*+cos3*+cos5*+cos(2n-1)*=sin(2n*)/(2sin*)编辑本段容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。1三角函数本质：1根据右图，有sin=y/r;cos=*/r;tan=y/*;cot=*/y。深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比方以推导sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交*轴于 C，D，在

24、单位圆上有任意A，B 点。角AOD 为，BOD 为，旋转 AOB 使 OB 与 OD 重合，形成新 AOD。A(cos,sin),B(cos，sin),A(cos(-),sin(-)OA=OA=OB=OD=1,D(1,0)cos(-)-12+sin(-)2=(cos-cos)2+(sin-sin)2和差化积及积化和差用复原法结合上面公式可推出换(a+b)/2 与(a-b)/2单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义确实允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0

25、 和/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同*轴正半局部得到一个角，并与单位圆相交。这个交点的*和 y 坐标分别等于 cos 和 sin。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为 1，所以有 sin =y/1 和 cos =*/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)