2002年考研数学二试题及答案.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分把答案填在题中横线上）（1）设函数0,e,0,2arcsine1)(2tanxaxxxfxx在0 x处连续，则a_【答案】2【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(xf在0 xx 处连续，则有;)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 解析：tan0001tanlim()limlim2arcsin22xxxx

2、exf xxx=200lim()lim,(0),xxxf xaea fa ()f x在0 x 处连续(0)(0)(0),fff即2.a （2）位于曲线xxey,x0下方，x轴上方的无界图形的面积是_【答案】1【考点】定积分的几何应用平面图形的面积【难易度】【详解】解析：所求面积为1)(00000 xxxxxedxexeexddxxeS 其中，01limlimlimxxxxxxeexxe洛必达.（3）微分方程02yyy满足初始条件10 xy，21|0 xy的特解是_【答案】1yx【考点】可降阶的高阶微分方程 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的

3、文档！超级狩猎者【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x，则令dydppypy,.解析：方法 1：将20yyy改写为()0yy ，从而得1yyC.以初始条件1(0)1,(0)2yy代入，有1112C，所以得12yy.即21yy，改写为2()1y.解得2,yxC2yxC.再以初值代入，21C 所以应取 且21C.于是特解1yx.方法 2：这是属于缺x的类型(,)yf y y.命,dpdp dydpyp ypdxdy dxdy.原方程20yyy化为20dpyppdy，得0p 或0dpypdy 0p 即0dydx，不满足初始条件102yx，弃之，由0dpypdy按分离变

4、量法解之，得1.Cy由初始条件11,002yyxx可将1C先定出来：1111,212CC.于是得12dydxy,解之，得222,yxCyxC.以01xy代入，得21C，所以应取“+”号且21C.于是特解是1yx.（4）nnnn2cos1cos11limcos1nn_ 【答案】2 2【考点】定积分的概念【难易度】【详解】解析：记 121cos1cos.1cosnnunnnn111 cos,niinn 所以 1011limlim1 cos1 cosnnnniiuxdxnn 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 11120002co

5、s2cos2cos222xxxdxdxdx 122 22sin02x.（5）矩阵222222220的非零特征值是_ 【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】【详解】解析：22222220222222EA 200011(4)222 故4是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0(二重)）二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数)(uf可导，)(2xfy 当自变量x在1x处取得增量1.0 x时，相应的函数增量y的线性主部为1.0，则)1(f（）（A）1（B）0.1（C）1（D）0.5【

6、答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：dy为y的线性主部；)()()(xgxgfxgf；解析：在可导条件下，0()x xdyyxoxdx .当00 x xdydx时0 x xdyxdx称为y的线性主部，现在2()2dyxfxx xdx，以1,0.1xx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 代入得(1)0.2dyxfdx，由题设它等于 0.1，于是(1)0.5f，应选（D）.（2）设函数)(xf连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A）.d)(20ttfx （B）.d)(20t

7、tfx（C）.d)()(0ttftftx （D）.d)()(0ttftftx【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】解析：()()t f tft为t的奇函数，0()()xt f tft dt为x的偶函数，（D）正确，（A）、（C）是x的奇函数，（B）可能非奇非偶.例如()1f tt，均不选.（3）设)(xyy 是二阶常系数微分方程xqypyy3e满足初始条件)0(y 0)0(y的特解，则当0 x时，函数)()1ln(2xyx的极限（）（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 3【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】【详解】解析：方

8、法 1：220000ln(1)222limlimlimlim2()()()()1xxxxxxxy xy xy xyx洛洛 方法 2：由(0)(0)0,(0)1yyy.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有 22()00()2xy xo x，代入，有222000222ln(1)1limlimlim211()()()22xxxxxo xy xxo xx=.（4）设函数)(xfy 在),0(内有界且可导，则（）（A）当0)(limxfx时，必有.0)(limxfx（B）当)(limxfx存在时，必有.0)(limxfx（C）当0)(lim0 xfx时，必有.0)(lim0 xfx 欢迎您阅读并下载本文档，本文

9、档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者（D）当)(lim0 xfx存在时，必有.0)(lim0 xfx【答案】B【考点】导数的概念【难易度】【详解】解析：方法 1：排斥法（A）的反例21()sin,f xxx它有界，221()sin2cos,lim()0 xfxxxf xx，但lim()xfx不存在.(C)与(D)的反例同（A）的反例.0lim()0 xf x,但0lim()10 xfx ，（C）不成立；0lim()10 xfx ，（D）也不成立.（A）、（C）、（D）都不对，故选（B）方法 2：证明（B）正确.设lim()xfx存在，记为A，求证0A.用

10、反证法，设0A.若0A，则由保号性知，存在00 x，当0 xx时()2Afx,在区间0,xx上对()f x用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af xf xfxxf xxxxx,x ，从而有()f x ，与()f x有界矛盾.类似可证若0A亦矛盾.（5）设向量组321,线性无关，向量1可由321,线性表示，而向量2不能由321,线性表示，则对于任意常数k，必有（）（A）321,21,k线性无关（B）321,21,k线性相关（C）321,21,k线性无关（D）321,21,k线性相关【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】【详解】解析：方法 1：对任意常数k，向量组

11、123,，12k线性无关.用反证法，若123,，12k线性相关，因已知123,线性无关，故 12k可由123,线性表出.设12112233k,因已知1可由123,线性表出，设为1112233lll代入上式，得2111222333()()()lll 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 这和2 不能由123,线性表出矛盾.故向量组123,，12k线性无关，应选（A）.方法 2：用排除法 取0k，向量组123,，12k即123,，2线性相关不成立，排除（B）.取0k，向量组123,，12k，即123,，1线性无关不成立，排除（C）

12、.0k 时，123,，12k线性相关不成立（证法与方法 1 类似，当1k 时，选项（A）、（D）向量组是一样的，但结论不同，其中（A）成立，显然（D）不成立.）排除（D）.三、（本题满分 6 分）已知曲线的极坐标方程是cos1r，求该曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：切线方程：)(000 xxyyy 法线方程：)(1000 xxyyy 解析：极坐标曲线1 cosr 化成直角坐标的参数方程为(1 cos)cos(1 cos)sinxy 即2coscossincossinxy 曲线上6的点对应的直角坐标为33

13、 13(,)24 24 22666cossincos1.sin2cossindydyddxdxd 于是得切线的直角坐标方程为1333()()2424yx，即353044xy 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 法线方程为13133()(),24124yx 即31044xy.四、（本题满分 7 分）设,10,)1e(e,01,232)(22xxxxxxfxx求函数ttfxFxd)()(1的表达式 【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】解析：当10 x 时2233213111()(2)().1222

14、2xxF xttdtttxx 当01x时，0110()()()()xxF xf t dtf t dtf t dt 23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln202121txxtttxxttxttxxxtettdttdeextdtxe dteeeexxxeeee 所以3211,1022()1lnln2,01112xxxxxxF xexxee 当当 五、（本题满分 7 分）已知函数)(xf在),0(内可导，1)(lim,0)(xfxfx，且满足,e)()(lim110 xhhxfhxxf 求)(xf 【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】【详

15、解】本题涉及到的主要知识点：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 e10)1(lim；)()(lim)(0 xfxfxf，其中可以代表任何形式；解析：11()lnh()()()f x hxhf xf xhxef x，001()1()()limlnlimln(1)()()hhf xhxf xhxf xhf xhf x 001()()()()limln()lim()()()()(),0.()hhf xhxf xxf xhxf xhf xf xf xxfxxf x 从而得到 1()1()0()lim()xfxhf xxhf xhxe

16、ef x由题设 于是推得 ()1()xfxf xx，即 2()1()fxf xx 解此微分方程，得 11ln()f xCx 改写成 1()xf xCe 再由条件lim()1xf x，推得1C，于是得1().xf xe 六、（本题满分 7 分）求微分方程0)2(dxyxxdy的一个解)(xyy，使得由曲线)(xyy 与直线2,1xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：dxxfVbax)(2 解析：一阶线性微分方程21yyx，由通解公式有 22dxdxxxyeedxC221xdx

17、Cx221(),12xCxCxxx 由曲线2yxCx与1,2xx及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 2222131157()()523VxCxdxCC,令6215()052dVCdC,得75.124C 又()0VC，故75124C 为V的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124yxx 七、（本题满分 7 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩

18、形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高 h 应为多少m（米）？【考点】定积分的物理应用压力【难易度】【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dAxdy，因此压力微元 2(1)dpgxhy dy 平板ABCD上所受的总压力为 1102(1)hPgxhy dy 其中以1x 代入，计算得 21Pgh.抛物板AOB上所受的总压力为 1202(1),Pgxhy dy 其中由抛物线方程知xy，代入，计算得 2124()315Pgh，由题意12:5:4P P，即，251244()315hh 解之得2h（米）（13h 舍去），即闸门矩形部分的高应为2m.八、（本题

19、满分 8 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 设),2,1()3(,3011nxxxxnnn，证明数列nx的极限存在，并求此极限 【考点】数列的极限【难易度】【详解】解析：方法 1：考虑（1）19(3)334(3)322(3)2nnnnnnnxxxxxxx 222933()42033(3)(3)22nnnnnnnxxxxxxx 所以132nx（当1,2,n），即32nx（当2,3,n），数列2,3,nx n 有上界32.再考虑（2）21(3)(3)(3)nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx(32)0.(3)nnn

20、nnxxxxx 2,3,n.所以 nx单调增加.单调增加数列 nx有上界，所以limnnx存在，记为.a(3)由1(3)nnnxxx两边取极限，于是得(3),aaa2230,aa 得32a 或0a，但因0nx 且单调增，故0a，所以3lim2nnx.方法 2：由103x知1x及13x（）均为正数，故()21111130(3)(3).22xxxxx=设302kx，则 113(3)(3).22kkkkkxxxxx=由数学归纳法知，对任意正整数2n 有302nx.21(3)(32)(3)0.(3)(3)nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx-=所以 nx单调增，单调增加数列

21、 nx有上界，所以limnnx存在，记为a.再由1(3)nnnxxx两边命n 取极限，得(3)aaa,32a 或0a，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 但因0nx 且单调增加，故0a，所以32a.九、（本题满分 8 分）设ba 0，证明不等式abababbaa1lnln222【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑 先证左边不等式，方法 1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.lnln1(ln),0.xbaxabba而 22112abab.其中第二个不等式来自不等式222abab（当0ab

22、时），这样就证明了要证明的左边.方法 2：用单调性证，将b改写为x并移项，命222()()lnlna xaxxaax，有()0a.22222124()()()aax xaxxaxax222222()4()0()()xaax xax axax（当0ax），而推知当0 xa时()0 x，以xb代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b改写为x并移项，命1()lnln(),xxaxaax 有()0a，及2111()()()0,222axaxxaxx xx ax 所以当0 xa时，()0 x，再以xb代入，便得 1lnln(),babaab即lnln1babaab.右边证毕.十、（本题满分 8 分

23、）设函数)(xf在0 x的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(fff.证明：存在惟一的一组实数321,，使得当0h时，)0()3()2()(321fhfhfhf是比欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 2h高阶的无穷小 【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】【详解】解析：方法 1：由题目，去证存在唯一的一组123,12320()(2)(3)(0)lim0hf hfhfhfLh 由此知，分子极限应为 0，由()f x在0 x 连续，于是推知，应有 1231.（1）由洛必达法则，12320()(2)(3)(

24、0)limhf hfhfhfLh 1230()2(2)3(3)lim2hfhfhfhh （2）分子的极限为1231230lim()2(2)3(3)(23)(0)hfhfhfhf，若不为0，则式（1）应为，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230 （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22hfhfhfhLf 由(0)0f，故应有 123490 （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.方法 2：由佩亚诺余项泰勒公式 2211()(0)(0)(0)(

25、),2f hffhfho h 222(2)(0)2(0)2(0)(),fhffhfho h 2239(3)(0)3(0)(0)(),2fhffhfho h 代入 12320()(2)(3)(0)0limhf hfhfhfh 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2limhffhfhh 2221 122332()()()o ho ho hh，上面中第二项极限为 0，所以第一项中应有 1231231231230490 由于系数行列式11112320,149 由克莱姆

26、法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.十一、（本题满分 6 分）已知BA,为3阶矩阵，且满足EBBA421，其中E是3阶单位矩阵（1）证明：矩阵EA2可逆；（2）若200021021B，求矩阵A 【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：若有EAB 则称BA,互逆.解析：（1）由题设条件124A BBE 两边左乘A，得 24BABA 即 24ABBA(2)4884(2)8AE BAEEAEE(2)(4)8AE BEE 1(2)(4)8AEBEE 得证2AE可逆（且11(2)(4)8AEBE）.(2)方法 1：由（1）结果知 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来

27、源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 111(2)(4)8(4)8AEBEBE 18(4)2ABEE 1204003204120040120002004002BE 320 100120 0104120 010320 100002 001002 001BE E 010120 01012013080 13001008800110011000022 11044100130100880011002 故 11104413(4)0881002BE 10208(4)2110002ABEE.方法 2：由题设条件 124A BBE 等式两边左乘A，得 2(4)BA BE 则1

28、2(4)AB BE（求1(4)BE过程见方法 1）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 110441201202201312 12001201308840020020041002 08002014401104008002.十二、（本题满分 6 分）已知4阶方阵43214321,),(A均为4维列向量，其中432,线性无关，,2321如果4321，求线性方程组Ax的通解 【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】【详解】解析：方法 1：由234,线性无关，及123420,即1234,线性相关

29、，及1234知12341234,()3,rr Ar Ar 故Ax有解，且其通解为k，其中k是对应齐次方程0Ax 的通解，是Ax的一个特解,因 123420,故 123412341220,010 故1,2,1,0T是0Ax 的基础解系.又1234123411,11 故1,1,1,1T是Ax的一个特解，故方程组的通解为1,2,1,01,1,1,1TTk.（其中k是任意常数）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 方法 2：令1234,Txx x x x则线性非齐次方程为 1 12233441234,xxxxx 已知1234，故 1 1223344xxxx1234 将1232代入上式，得 12213344(23)()(1)0 xxxxx 由已知234,线性无关，上式成立当且仅当 1213423010 xxxxx 取自由未知量3xk，则方程组有解 431321,23xxk xxk xk 即方程组Ax有通解 123410232310101xkxkkxkx .（其中k是任意常数）