中考专题：二次函数应用题.pdf

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1、专题复习四调、中考第 23 题二次函数应用题该题基本来自课本该题基本来自课本 3 3 个探究例题不断的变化、加深：个探究例题不断的变化、加深：探究 1：商品定价（分段函数）探究 2：磁盘计算（含圆）探究 3：拱桥问题变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究 1 的演变）；近 2 年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3 的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。函数概念回顾函数概念回顾：在某个变化过程中，有两个变量x 和 y，对于x 在某一范围内的每一个确定的值，变量 y 都有一个唯一确定的值与它对应，那么

2、我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时 y=b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。重要提示：重要提示：对于函数的概念要牢记，一切从这里出发。解决实际问题其实就是建立数学模型的过程，分析变量间的变化关系后，剩下的就是选择哪种函数去解决问题。结合解析式和图像讨论是数形结合解决实际问题的重要体现：（1）解析式精确的反映了某个变化过程中，变量之间的一种（函数）关系；（2）图像直观的反映了某个变化过程中，变量之间的一种变化趋势；（3）解决实际问题，要注意结合实际，也就是说自变量的取值范围要时刻关注；近近 3 3 年四调、中考原题重现年四调、中考

3、原题重现(11 年四调题)杰瑞公司成立之初投资 1500 万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本 60 元。按规定，该产品售价不得低于 100 元/件且不得超过 180 元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的函数关系如图所示。(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达1349 万元，若能，求出第二年产品售价；若不能，请说明理由。(11 年中考题)星光中学课外活动小组准备围建一

4、个矩形生物苗圃园 其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成已知墙长为18米（如图所示）设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与 x之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围18 米墙苗圃(12 年四调题)一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m 的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为 3m(1)建立适当的平面直角坐标系，使水

5、管顶端的坐标为(0，2.25)，水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；1(2)如图；在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为 0.3 m，最内轨道的半径为 r m，其上每 0.3 m 的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏，求当 r 为多少时池中安装的地漏的个数最多？R Rr r(12 年中考题)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边 AE，ED，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED16 米，AE

6、8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 米，以 ED 所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线h的解析式；（2）已知从某时刻开始40 小时内，水面与河底 ED 的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系y/米CABh1，且当水面到顶点 C 的距离t 1928（0t40）OEDx/米128第23题图不大于 5 米时，需禁止船只通行 请通过计算说明：在这一时段内，需多少时禁止船只通行？h (13 年四调题)在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面4米的 P 点处发球，球的运动轨迹 PAN3看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点 A 时，其高度为

7、3 米，离甲运动员站立地点O 的水平距离为 5 米，球网 BC 离点 O 的水平距离为 6 米，以点 O 为圆点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M 的坐标为（m,0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N 离球网的水平距离（即NC 的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4 米，若乙因为接球高度不够而失球，求m 的取值范围。(13 年中考题)科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：414949412519.75由这些数据，科学家推测出植物每天高度

8、增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种(1)你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；(2)当温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？(3 实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果2温度x/植物每天高度增长量y/mm420244.5实际问题与二次函数专题复习（一）利润问题实际问题与二次函数专题复习（一）利润问题【考点说明】【考点说明】将生活中问题转化为数学问题，运用二次函数的知识求出实际问题的最值，解决销售中的最大利润问题。建立二

9、次函数的数学模型，求出最值。【备考策略】【备考策略】销量与售价(或涨价、降价)成一次函数，总利润=单件利润销量，故总利润与售价(或涨价、降价)成二次函数，如何用含 x 的式子表示销量、利润是解决问题的关键。【课本再现】【课本再现】商品现在售价为每件 60 元，每星期可卖 300 件，已知商品的进价为每件40 元。(1)市场调查反映：如果调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出10 件；设每件涨价x 元，则售价为元，销量为；若商品利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为：_.(2)市场调查反映：如果调整价格，每降价 1 元，每星期要多卖出20 件；设每件降价x 元，则售价为元，销量为；若商品利润

10、为y 元，则y 与x 的函数关系式为：.【讲练结合】【讲练结合】例例、某商场购进一批L 型服装（数量足够多），进价为 40 元/件，以 60 元/件销售，每天销售20 件。根据市场调研，若每件每降 1 元，则每天销售数量比原来多3 件。现商场决定对 L 型服装开展降价促销活动，每件降价x 元（x 为正整数）。（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）(1)求销售量 y 与 x 的函数关系；(2)若商场想获得最大利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？(3)若要每天毛利润不低于500 元，利用函数图象说明，定价在什么范围？练习 1、某零售商购进一批单价为 16 元的玩具，销

11、售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高售价.调查发现，若售价为20 元/件，每周能卖360 件；若售价为25 元/件，每周能卖 210 件.假定每周销售的件数y(件)是售价 x(元/件)的一次函数.(1)直接写出 y 与 x 之间的关系式，直接写出自变量的取值范围；(2)问售价定为多少时，每周获利1800元？(3)问当售价定为多少时，每周获利最多？为多少？练习 2、某种型号的汽车，每辆进货价为 25 万元，经市场调查发现，当销售价为 29 万元时，平均每周能售出 8 辆，当销售价每降低 0.5 万元时，平均每周能多售出4 辆。(1)请写出每周销售汽车的利润y（万元）与每辆汽车降价x（万元

12、）之间的函数关系式；(2)设每周的利润为 45 万元，此利润是否为该周最大利润，说明理由；(3)若商家想要周利润不小于42 万元且不大于48 万元，那么他每周的成本最少要多少万元？3实际问题与二次函数专题复习（二）面积问题实际问题与二次函数专题复习（二）面积问题【考点说明】【考点说明】用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题，尤其是已知周长如何使得面积最大化。【备考策略】【备考策略】注意审题，x 表示矩形长还是宽；墙的长度之作用是确定 x 的取值范围和舍根；【课本再现】【课本再现】（1）课本 22 面例题；（2）26 面练习 6；（3）26 面练习 7；（4）31 面练习 1；（5）31

13、 面练习 7【讲练结合】【讲练结合】例例 1 1、(教材 31 页 练习 7 改编)张大爷用 32 米长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙(墙长为 15 米)，平行于墙的一面开一扇宽度为 2 米的门(如图 1).(注：门都用其它材料)(1)设平行于墙的一面长度为y 米，垂直于墙的一面长度为 x 米，试写出 y 与 x 的函数关系，并写出自变量 x 的取值范围；(2)设矩形菜园的面积为 S1，则 S1的最大值为多少？(3)张大爷在菜园内开辟出一个小区域存放化肥(如图 2)，两个区域用篱笆隔开，并有一扇 2米的门相连，设此时整个菜园的面积为 S2(包括化肥存放处)，则 S2的最大值为多少？若整个

14、菜园的面积不小于 81m2,结合图象，直接写出 x 的取值范围。图 2图 1练习 1、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，用27 m 长的篱笆围成，平行于墙的一边开了一个 1 米宽的小门，已知墙长为 18 米（如图所示），设这个养鸡场垂直于墙的一边的长为 x 米。(1)养鸡场的面积为 S，找出 S 与 x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个养鸡场的面积最大，并求出这个最大值；(3)若垂直于墙的一边的长度大于10 米，则养鸡场的面积在什么范围？2、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养

15、鸡场，设它的长度为x 米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？4例例 2 2、如图，在ABC 中，B=90，AB=12cm，BC=24cm，动点 P 以 2cm/s 的速度从 A向 B 移动(不与 B 重合)，动点 Q 以 4cm/s 的速度从 B 向 C 移动(不与 C 重合)，若 PQ 同时出发，运动时间是 t s.(1)试写出BPQ 的面积 S(cm2)与时间 t(s)之间的函数关系式并写出自变量t 的取值范围；(2)试求出当 t 为何值时，四

16、边形 APQC 的面积为 208cm2?A(3)试问经过几秒后，四边形APQC 的面积最小？并求出最小值.PBQ练习：1.如图，等腰梯形花圃 ABCD 的底边 AD 靠墙，另三边用长为 40 米的铁栏杆围成，设该花圃的腰 AB 的长为 x 米.（1）请求出底边 BC 的长（用含 x 的代数式表示）（2）若BAD=60，该花圃的面积为S 米2，求S 与 x 之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围，并求当 S=93 3时 x 的值；如果墙长为 24 米，试问 S 有最大值还是最小值？A这个值是多少？BC2.如图，从一张矩形纸较短的边上找一点 E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别为AEDE，要

17、使剪下的两个正方形的面积之和最小，则点E 应选在何处？为什么？DEA3.如图，点 E、F、G、H 分别在正方形 ABCD 的四条边上，四边形 EFGH 也是正方形，当点 E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？GDHAE4.矩形的周长为 36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长宽各是多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？CDCBCFB5实际问题与二次函数专题复习（三）抛物线形（桥洞问题）实际问题与二次函数专题复习（三）抛物线形（桥洞问题）【考点说明】【考点说明】用二次函数的知识分析解决有关抛物线形问题。【备考策略】【备考策略】建立适当的坐标系；实际数据要转变为点的坐标；用方程或函

18、数图象解决不等式问题，不列一元二次不等式.【课本再现】【课本再现】课本 25 面探究 3；【讲练结合】【讲练结合】例例(教材 25 页 探究 3 改编)如图所示，一个抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽为 4 米，以桥拱顶端为原点，以抛物线对称轴为 y 轴建立直角坐标系(1)当水面下降 1 米时，其水面宽度为多少？增加了多少米？(2)当水面距离拱顶不低于1 米时，水面宽度为多少？(3)为了保障桥的安全，水面宽度不少于2 米为安全水位，河水上涨的速度为 0.1 米/小时，几小时候桥会有危险？(4)一条小船船宽和顶棚宽度均为2 米，船底到船顶部的距离为2 米，当船的吃水深度（水

19、面到船底的距离）为多少时，船恰好能从拱桥正中间通过？练习 1、一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽是 20 米，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽为 10 米，(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥 280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40 千米的速度开往乙地，当行驶到 1 小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25 米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在 CD 处），当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，

20、请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？2、如图，有一座抛物线型拱桥，当水位涨到AB 时，水面AB 的宽度为 14 米，如果水位再上升 4 米，就达到警戒水位 CD，这时水面 CD 的宽度为 10 米，建立如图所示的平面直角坐y标系，y 轴是抛物线的对称轴。(1)求抛物线的解析式；CD(2)当水位在警戒水位时，有一艘装有两种集装箱的轮船，船露出水面部分的正面横截面如图所示，问轮船能否通过该桥的拱洞。oAB1.5米3.5米5米6x0.5米实际问题与二次函数专题复习（四）抛物线形（运动路线问题）实际问题与二次函数专题复习（四）抛物线形（运动路线问题）【考点说明】【考点说明】用

21、二次函数的知识分析解决有关抛物线形问题。二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决【备考策略】【备考策略】审题时要抓住问题的核心，结合图象和实际要求写出解答.【课本再现】【课本再现】（1）课本 10 面例 4；（2）20 面练习 3【讲练结合】【讲练结合】例、例、如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为

22、2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m。(1)当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；y(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。A2球网边界O6918足抛物线练习 1、小明在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满x18y x2x，其中 y(m)是球飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水55平距离还有 2m.(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；(2)请求出球飞行的最大水平距离；(3)若小明再次从此处击球，要想让球飞行的最大高

23、度不变且求刚好进洞，则球飞行路线应该满足y(m)怎样的抛物线，求出其解析式.球洞x(m)O2、跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距 AB为 6 米，到地 面的距离 AO 和 BD 均为 O.9 米，身高为 1.4 米的小丽站在距点O 的水平距离为 1 米的点 F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点 E。以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.(1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在 OD 之间，且离点 O 的距离为 3 米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为

24、1.4 米的小丽站在 OD 之间，且离点O 的距离为 t 米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写 出自变量 t 的取值范围_.7实际问题与二次函数专题复习（五）自选函数实际问题与二次函数专题复习（五）自选函数【考点说明】【考点说明】利用不同函数的特性不同，对三种函数有更深层次的理解.【备考策略】【备考策略】仔细观察表格中的数据，选择恰当的函数形式；【讲练结合】【讲练结合】例、例、(2013乌鲁木齐)某公司销售一种进价为 20 元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格 x（元/个）的变化如下表：价格 x（元/个）30405060销售量 y（万个）5432同时，销售过程中的其他开支（

25、不含造价）总计40 万元(1)观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出 y（万个）与 x（元/个）的函数解析式(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？(3)该公司要求净得利润不能低于40 万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？练习 1、X 市与 W 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中，在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m 与该列车每次拖挂车厢节数n 的部分数据如下

26、：车厢节数 n往返次数 m416710104(1)请 你 根 据 上 表 数 据，在 三 个 函 数 模 型：y=kx+b(k、b 为 常 数，k 0)；y k(k为常数,k 0)；y=ax2+bx+c(a、b、c 为常数，a0)中，选取一个合适的函数x模型，求出的 m 关于 n 的函数关系式是 m=_(不写 n 的范围)；(2)结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数 Q 最多(每节车厢载客量设定为常数p）.练习 2、新建的阳光住宅小区计划种植400 棵树苗，向“大树”树苗公司咨询得到以下信息，信息一：“大树”树苗公司可提供的树苗品种有桃树、丁香树和樟树三种，并且要求购买桃树苗与樟树苗的数量比为2:1；信息二：如下表树苗桃树丁香树樟树价格（元/棵）13m16两年后树苗的存活率90%85%85%两年后每棵树苗对小区空气的净化指数0.50.10.6设阳光住宅小区向“大树”树苗公司购买樟树 x 棵，丁香树 y 棵，(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若两年后这批树苗的总存活率为88%，求两年后这批树苗对该小区空气的净化指数；(3)若每棵丁香树的批发价m 与购买数量之间存在关系式 m=10-0.05y，且阳光住宅小区计划用于购买树苗的总金额不超过5556 元，则购买樟树的数量最多是多少棵？8