2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题参考答案 答案速查：一、选择题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）B A C D B D A D 二、填空题（9）（10）（11）（12）（13）（14）2123cossinxC eCxCx 2yx 21!nn 21e 3/cm s 3 三、解答题（15）()f x的单调递减区间为(,1)0,1)U；()f x的单调递增区间为 1,0)1,)U.()f x的极小值为 0；极大值为11(1)2e.（16）(I)略；(II)0（17）233(1

2、)2ttt t （18）2334abl（19）(,)a b为22(,2),(2,)55 （20）13316（21）略（22）(I)1，2a ；(II)32110210 xk ，k为任意常数（23）1a ；11162321063111623Q 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(1)函数 222111xxfxxx的无穷间断点的个数为 ()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案 B【考点

3、】函数间断点的类型【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数的间断点分为第一类间断点和第二类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。第二类间断点为无穷间断点。在本题中，2221()11xxf xxx有间断点 0,1x 22000(1)11lim()lim1lim1(1)(1)xxxx xf xxxxxx，220011lim11,lim11xxxxxx 所以0 x 为第一类间断点 112lim()1 122xf x，但函数()f x在1x 处没有定义，所以1x 可去间断点。211(1)1lim()lim1(1)(1)xxx xf xxxx，所以1x 为无穷间断点.所以选择 B.(2)

4、设12,y y是一阶线性非齐次微分方程 yp x yq x的两个特解，若常数，使 12yy是该方程的解，12yy是该方程对应的齐次方程的解，则 ()(A)11,22.(B)11,22 .(C)21,33.(D)22,33.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质及结构【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。在本题中，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！因12yy是 0yp x y的解；故 12120yyp xyy 所以 11220yp x yyp x y

5、而由已知 1122(),()yp x yq xyp x yq x 所以 0q x 又12yy是非齐次 yp x yq x的解；故 1212yyp xyyq x 所以 q xq x 所以12.(3)曲线2yx与曲线ln(0)yax a相切，则a=()(A)4e.(B)3e.(C)2e.(D)e.【答案】C【考点】导数的几何意义【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数在某一点的导数表示在此点的切线斜率，两条曲线的切点应满足的条件。在本题中，因2yx与ln(0)yax a相切，故122axaxx 在2yx上，2ax 时2ay 在ln(0)yax a上，2ax 时 1lnln222aayaa l

6、nln1222222aaaaaeae 所以选择 C(4)设,m n是正整数，则反常积分210ln1mnxdxx的收敛性 ()(A)仅与m的取值有关.(B)仅与n的取值有关.(C)与,m n的取值都有关.(D)与,m n的取值都无关.【答案】D 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【考点】反常积分和重要极限1lim 1xxex【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：反常积分的计算与判断，重要的极限公式1lim 1xxex以及级数收敛性的判断法则。：设f(x)在（a，b）非负，,(,)a b，()f x在,可积，又设xa（或xb）是()f

7、 x的瑕点，且0lim()()pxaxaf xl（或0lim()()pxabxf xl），则当1p 且0l 时瑕积分()baf x dx收敛。在本题中，22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx,对于2120ln1mnxdxx，瑕点为0 x 设1n ，11210ln(1)1lim0,01mnxnxxnx故收敛。设120ln(1)1,1,2,limmxxnmx存在，2120ln1mnxdxx不是反常积分 设12210ln(1)1,2,limmmxxnmxx存在，2011m，故2120ln1mnxdxx收敛。对于，2112ln1mnxdxx，瑕点为1x，当m为正整

8、数时，1211ln(1)lim(1)0mxnxxx，其中01，故2112ln1mnxdxx收敛 故选(D)。(5)设函数(,)zz x y,由方程(,)0y zFx x确定，其中F为可微函数，且20F，则 zzxyxy ()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(A)x.(B)z.(C)x.(D)z.【答案】B【考点】隐函数的微分【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数的微分，多元函数偏导的计算。隐函数求导的常用方法有：（1）利用复合函数求导法.（2）利用一阶全微分形式的不变性。在本题中，122212221xzyzyzFFFFFz

9、xxxxxFFFx ,112211yzFFFzxyFFFx ,1212222yFzFyFFzzzxyzxyFFF(6)2211limnnnijnninj ()(A)1200111xdxdyxy.(B)100111xdxdyxy.(C)1100111dxdyxy.(D)11200111dxdyxy.【答案】D【考点】定积分的定义【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：利用定积分的定义求某些 n 项和式的极限（先将和式表示成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）。特别是对于 n 项和数列的极限，应该注意到：1011lim()()nniiff x dxnn 其中多几项或少几项并不影

10、响结果。在本题中，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！22211112limlim11nnnnnnijijnnninjijnnnn 2211111lim11nnnijinjnn11200111dxdyxy (7)设向量组12:,rI L可由向量组12:,sII L线性表示，下列命题正确的是()(A)若向量组I线性无关，则rs.(B)若向量组I线性相关，则rs.(C)若向量组II线性无关，则rs.(D)若向量组II线性相关，则rs.【答案】A【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：向量组的线性表示与向量

11、组的秩之间的关系：若向量组 I 可由向量组 II 线性表示，则向量组 I 的秩比不大于向量组 II 的秩。在本题中，由于向量组I能由向量组II线性表示，所以()()r Ir II，即 11(,)(,)rsrrsLL 若向量组I线性无关，则1(,)rrrL，所以11(,)(,)rsrrrsLL，即rs，选(A).(8)设A为 4 阶实对称矩阵，且2AAO，若A的秩为 3，则A相似于 ()(A)1110 (B)1110(C)1110 (D)1110【答案】D【考点】矩阵的特征值和特征向量；相似对角矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）A与对角矩阵相似的充分条件：A有n个不同的特征值；

12、A是实对称矩阵（ii）A与对角矩阵相似的充要条件：对于矩阵A的每一个in重特征值i，其线性无关的欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数in，即秩()iirEAnn.在本题中，设为A的特征值，由于20AA，所以20，即(1)0，这样A的特征值为-1 或 0.由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A:，()()3r Ar，因此，1110，即1110A:.二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)3 阶常系数线性齐次微分方程220yyyy的通解为y.【答

13、案】2123cossinxyC eCxCx，其中123,C C C为任意常数【考点】高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：n阶常系数齐次线性方程()(1)(2)120nnnnyp yp yp yL，其中ip(1,2,)inL为常数，相应的特征方程为12120nnnnpppL 1）若12,n L是n个相异实根，则方程的通解为1212()nxxxny xC eC eC eL；2）若0为特征方程的()k kn重实根，则方程的通解中含有 0112()xkkCC xC xeL；3）若i为特征方程的(2)kkn重共轭复根，则方程的通解中含有 111212()cos(

14、)sinxkkkkeCC xC xxDD xD xxLL.在本题中，特征方程为 32220,即2210.于是得特征根12，2i，3i(1)i 因此，通解为2123cossinxyC eCxCx，其中123,C C C为任意常数.(10)曲线3221xyx的渐近线方程为.【答案】2yx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【考点】函数图形的渐近线【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：本题涉及到的主要知识点：（i）当曲线上一点 M 沿曲线无限远离原点时，如果 M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。（ii）渐

15、近线分为水平渐近线（lim()xf xb，b为常数）、垂直渐近线（0lim()xxf x）和斜渐近线（lim()()0 xf xaxb，,a b为常数）。（iii）注意：如果（1）()limxf xx不存在；（2）()limxf xax，但lim()xf xax不存在，可断定()f x不存在斜渐近线。在本题中，3221lim2xxxx，333222222lim2lim011xxxxxxxxx，所以 2yx(11)函数ln 1 20yxx在处的n阶导数 0ny=.【答案】21!nn【考点】高阶导数【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：231111ln(1)(1)()23nnnxxxxxR x

16、n L 在本题中，用麦克劳林公式.已知 11(1)ln(1)()(0)kknnktto ttk，令2tx 111(1)(2)2ln(12)()()(0)kkkknnnnkkxxxo xo xxkk，()2(0)!2(1)!(1,2,3,)nnnynnnn L，其中0!1.(12)当0时，对数螺线re的弧长为.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【答案】21e【考点】定积分的应用【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：已知平面曲线AB的参数方程()xx t，()yy t()t，则弧长为 22()()sxtyt dt，其中()x t，()

17、y t在,有连续的导数.在本题中，0 x，re.220eed=02 e d=21e(13)已知一个长方形的长l以2/cm s的速率增加，宽w以3/cm s的速率增加.则当12,5lcm wcm时，它的对角线增加速率为.【答案】3/cm s【考点】导数的几何意义【难易度】【详解】设(),()lx t wy t，由题意知，在0tt时刻00()12,()5x ty t，且00()2,()3x ty t，又 22()()()S tx ty t，所以 22()()()()()()()x t x ty t y tS tx ty t 所以 00000222200()()()()12 25 3()3()()1

18、25x tx ty ty tS tx ty t (14)设,A B为 3 阶矩阵，且132,2ABAB，,则1AB=.【答案】3【考点】行列式的计算；矩阵的乘法【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：有关行列式的几个重要公式：1)若 A,B 都是 n 阶矩阵，则|AB|=|A|*|B|2)若 A 是 n 阶可逆矩阵，则11|AA 在本题中，由于1111()()A AB BEAB BBA，所以 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11111()ABA AB BA AB B 因为2B，所以1112BB，因此 11113 232ABA AB

19、 B .三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求函数2221()(-)xtf xxt edt的单调区间与极值.【考点】函数单调性的判别；函数的极值【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()yf x在,a b上连续，在(,)a b内可导.如果在(,)a b内()0fx，那么函数()yf x在,a b上单调增加；如果在(,)a b内()0fx，那么函数()yf x在,a b上单调减少.在本题中，22222222111()()xxxtttf xxt edtxedtt

20、edt 所以2224423311()2222xxtxxtfxxedtx ex exedt 令()0fx，则0,1xx；因为当1x 时，()0fx，01x时，()0fx，10 x 时，()0fx，1x 时，()0fx；所以()f x的单调递减区间为(,1)0,1)U；()f x的单调递增区间为 1,0)1,)U 所以221011011(0)(0)(1)22ttft edtee 是极大值.(1)0f 为极小值.(16)(本题满分 10 分)(I)比较10lnln 1nttdt与10lnntt dt1,2,n L的大小，说明理由；(II)记10lnln 1nnuttdt1,2,n L，求极限limn

21、nu.【考点】定积分的基本性质；夹逼准则 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：夹逼定理：设()()()g xf xh x，若lim(),lim()g xAh xA，则lim()f xA。在本题中，当0t 时，lnln(1)0,ln0nnttt t，所以10lnln 1nttdt与 10lnntt dt均为定积分，故(I)当01t 时0ln(1)tt，故ln(1)nntt，所以lnln(1)lnnnttt t 1100lnln(1)lnnnttdtt t dt1,2,n L (II)1111000

22、1lnlnln1nnnt t dtt t dttd tn 211n 故由12010ln1nnut t dtn，根据夹逼定理得210limlim01nnnun 故lim0nnu.(17)(本题满分 11 分)设函数()yf x由参数方程22(1)()xtttyt 所确定，其中()t具有二阶导数，且5(1)2，(1)6，已知2234(1)d ydxt，求函数()t.【考点】一阶线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程()()yp x yq x的通解为()()()p x dxp x dxyeq x edxC 在本题中，根据题意得 ,2

23、2dytdydtdxdxtdt 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！22222222223224 1tdtttttd ydtdxdxttdt 即 222261tttt 整理有 2131tttt 解 31151,162tttt 令 yt即13 11yytt 11113 113dtdtttyet edtCttC 1160yC Q31yt t即 31tt t 故 2313312tt tdtttC 又由 2315310.22Cttt (18)(本题满分 10 分)一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，

24、当油罐中油面高度为32b时(如图)，计算油的质量.(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数3/kg m)【考点】定积分的应用【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：将实际问题抽象成对应的数学模型，物理学中一些基本概念和其相互关系的公式。将曲线曲面积分转换成二次积分的求解方法。在本题中，油的质量MV，其中油的体积VShl S 底底高 又112SSSSabdxdyQ底椭圆 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！22312022xbaababdxdy 32220212axbabbdxa 322203212axabbdxbaa 322

25、203212axxabababdaa 322031112arcsin1222axabababxxaa 3323226834ababababab 故2334MS habl (19)(本题满分 11 分)设函数(,)f x y具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250 xx yy，确定,a b的值，使等式在变换,xayxby下化简为20 .【考点】多元函数的偏导数【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：利用复合函数的链式求导法则求多元函数的偏导数的方法。在本题中，由复合函数链式法则得 uuuuuxxyx uuuuuabyyy 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除

26、！我们将竭诚为您提供优质的文档！22222222uuuxxuuuuxxxx 222222uuu 222222222222()uuux yyuuuuyyyyuuuabab 22uuuabyy222222()()uuuua abb aa 22222222uuuabab 故222224125uuuxx yy 2222222(5124)(5124)(12()108)0uuuaabbabab 当225124051240(2)12()1080(3)aabbabab 时满足等式，则25a 或2，25b 或2 又因为当(,)a b为22(2,2),(,)55时方程(3)不满足，所以当(,)a b为22(,2)

27、,(2,)55 满足题意.(20)(本题满分 10 分)计算二重积分22 sin1cosDIrrdrd，其中,|0sec,04Drr.【考点】二重积分的计算 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：(,)(cos,sin)DDf x y dxdyf rrrdrd.在本题中，22sin1cos2DIrrdrd 222sin1cossinDrrrdrd 221Dyxy dxdy 12200122220011112xxdxyxy dydxxy dxy 312201113xdx 3112200113dxxd

28、x 20113cos43316d (21)(本题满分 10 分)设函数 f x在闭区间 0,1上连续，在开区间0,1内可导，且ff1(0)=0,(1)=3.证明：存在110122，使得22()()=.ff【考点】微分中值定理【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：设函数 f x满足条件：在,a b上连续；在,a b内可导，则在,a b内至少一个,使 f bf afba 在本题中，证明：令 313F xf xx 对于 F x在10,2上利用L中值定理，得 1110,0222FFF 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！对于 F x在1,1

29、2上利用L中值定理，得 111,1,1222FFF 两式相加得 22ff (22)(本题满分 11 分)设110111aAb ，已知线性方程组Axb存在 2 个不同的解(I)求,a;(II)求方程组Axb的通解.【考点】非齐次线性方程组的解；非齐次线性方程组的通解【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）非齐次线性方程组有解的充分必要条件()(,)r Ar A b。（ii）非齐次线性方程组解的结构式齐次线性方程组的通解加上特解。在本题中，（I）方法一：已知Axb有 2 个不同的解()(,)3r Ar A b，对增广矩阵进行初等行变换，得 2211111(,)010101011111111

30、1111010101010110011aA baaa 当1时，11111111(,)000100010000000A ba 此时，()1(,)2r Ar A b，Axb无解，所以1。当1，1111(,)02010002A ba 由于()(,)3r Ar A b，所以2a 。因此，1，2a 。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！方法二：已知Axb有 2 个不同的解 ()(,)3r Ar A b 又0A，即211010(1)(1)011A，知1或-1。当1时，()1(,)2r Ar A b，此时，Axb无解，1。代入由()(,)r Ar A

31、 b得2a 。（II）310111112111111(,)020101001022000000000000A b 原方程组等价为1323212xxx，即132333212xxxxx，123332110210 xxxx 。Axb的通解为32110210 xk ，k为任意常数。(23)(本题满分 11 分)设0141340Aaa，正交矩阵Q使得TQ AQ为对角矩阵，若Q的第 1 列为1(1,2,1)6T，求,a Q【考点】实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵【难易度】【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）设 A 是 n 阶矩阵，若存在数 及非 0 的 n 维列向量，使得(0)A 成立，欢迎您

32、阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！则称 是矩阵 A 的特征值，称非零向量 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。（ii）如果 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 相似，则称 A 可以相似对角化，记成 A:，并称 是 A 的相似标准形。（iii）相似对角化化 A 为对角矩阵 的解题步骤：第一步，想求出 A 的特征值12,n K；第二步，再求所对应的线性无关的特征向量12,n K；第三步，构造可逆矩阵12(,),nP K则121nP APO 在本题中，由于0141340Aaa，存在正交矩阵Q，使得TQ AQ为对角阵，且Q的第一列为1(1,2,1)6T，故

33、A对应于1的特征向量为11(1,2,1)6T，故1116622661166A，即10141113224011aa ，由此可得11,2a.014131410A，由14131041EA，可得 14144141311312314140400441(4)(4)(2)(5)023 故A的特征值为1232,4,5，且对应于12的特征向量为11(1,2,1)6T.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由2()0EA x，即1234141710414xxx 4141711011710270010414000000 可得对应于24 的特征向量为2(1,0,1)T.由3()0EA x，即1235141210415xxx 514121121101121099011011415099000000 可得对应于35的特征向量为3(1,1,1)T.由于A为实对称矩阵，123,为对应于不同特征值的特征向量，所以123,相互正交，只需单位化：312123123111(1,2,1),(1,0,1),(1,1,1)623TTT，取12311162321,063111623Q ，则245TQ AQ .