(干货)高中数学必修知识点总结.pdf

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1、（干货）高中数学必修知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性

2、。3、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 1.用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52.集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA，相反，a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对

3、象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是x?R|x-32或x|x-324、集合的分类：1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=-5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能(1)A 是 B 的一部分，;(2)A与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 A B 或 B A2.“相等”关系(55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A 与

4、B，如果集合A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算 1.交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 AB(读作”A 交 B”)，即AB=x|xA，且

5、xB.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：AB(读作”A并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB.3、交集与并集的性质：AA=A,A=,AB=BA，AA=A,A=A,AB=BA.4、全集与补集(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作：CSA 即 CSA=x|x?S 且 x?A(2)全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。(3)性质：CU(C UA)=A(C UA)A=

6、(CUA)A=U二、函数的有关概念1.函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作：y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域.注意：2 如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式

7、有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如

8、果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同;定义域一致(两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合

9、 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象.C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C上.即记为 C=P(x,y)|y=f(x),xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4 三角函数)常用变换方法有三种，即平移

10、变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4.快去了解区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.5.什么叫做映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b叫做元素

11、a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;对于映射 f：AB 来说，则应满足：()集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的;()集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个;()不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解

12、析法：必须注明函数的定义域;3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数(参见课本 P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义

13、域的并集，值域是各段值域的并集.补充二：复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则y=fg(x)=F(x)，(xA)称为 f、g 的复合函数。例如:y=2sinX y=2cos(X2+1)7.函数单调性(1).增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2;当 x1(2)图象的特点 如

14、果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x18.函数的奇偶性(1)偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x，都有f(-x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数.注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函

15、数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).(3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论：若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0，则 f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.注意啊

16、：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定 f(-x)=f(x)比较困难，可考虑根据是否有 f(-x)f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=1 来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法;已知复合函数fg(x)的表达式时

17、，可用换元法，这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时，也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页)1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2 利用图象求函数的最大(小)值3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);第二章 基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数

18、幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么 叫做 的 次方根(n throot)，其中 1，且 *.当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.此时，的 次方根用符号 表示.式子叫做根式(radical)，这里 叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号-表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成(0).由此可得：负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0，2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：，0 的正分数指数

19、幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数(exponential)，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质 a1 0(1)在a，b上，值域是 或;(2)若，则;取遍所有正数当且仅当;(3)对于指数函数，总有;(4)当 时，若，则;二、对数函数(一)对数 1.对数的概念：一般地，如果，那么数 叫做以 为底 的对数，记作：(底

20、数，真数，对数式)说明：1 注意底数的限制，且;2;3 注意对数的书写格式.两个重要对数：1 常用对数：以 10 为底的对数;2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数.对数式与指数式的互化 对数式 指数式对数底数 幂底数 对数 指数 真数 幂(二)对数的运算性质 如果，且，那么：1 +;2-;3.注意：换底公式(，且;，且;).利用换底公式推导下面的结论(1);(2).(二)对数函数 1、对数函数的概念：函数，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是(0，+).注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.2 对数函数对底

21、数的限制：，且.2、对数函数的性质：a1 0(三)幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.2、幂函数性质归纳.(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1);(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当 时，幂函数的图象下凸;当 时，幂函数的图象上凸;(3)时，幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.3、函数零点的求法：求函数 的零点：1(代数法)求方程 的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.1)0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)=0，方程 有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)0，方程 无实根，二次函数的图象与轴无交点。