(完整版)新人教版高中数学课堂笔记必修一.pdf

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1、第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念第一节第一节 集合集合一、集合有关概念一、集合有关概念1.1.集合的含义集合的含义2.2.集合的中元素的三个特性：集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性无序性如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）非负整数集（即自然

2、数集）记作：记作：NN正整数集正整数集N*N*或或 N+N+整数集整数集 Z Z有理数集有理数集 QQ实实数集数集 R R1 1）列列举法：举法：a,b,ca,b,c 2 2）描述法：描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号写在大括号内表示集合的方法。内表示集合的方法。xx R|x-32,x|x-32R|x-32,x|x-323 3）语语言描述法：例：言描述法：例：不是直角三角形的三角形不是直角三角形的三角形 4 4）V Vennenn 图图:4 4、集合的分类：、集合的分类：有限集有限集含有有限个元素的集合含有有限个元素的集合(1)(1)无限集无

3、限集含有无限个元素的集合含有无限个元素的集合(2)(2)空集空集不含任何元素的集合不含任何元素的集合例：例：x|xx|x2 2=5 5二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系1.1.“包含”关系子集“包含”关系子集注意：注意：A B有两种可能（有两种可能（1 1）A A 是是 B B 的一部分，的一部分，；（2 2）A A 与与 B B 是是同一集合。同一集合。B B反之反之:集合集合 A A 不包含于集合不包含于集合 B,B,或集合或集合 B B 不包含集合不包含集合 A,A,记作记作 A AA A或或 B B2 2“相等”关系：“相等”关系：A=BA=B(5(5 5 5，且，且 5 5 5

4、 5，则，则 5=5)5=5)实例：设实例：设A=x|xA=x|x2 2-1=0-1=0B=-1,1B=-1,1“元素相同则两集合相“元素相同则两集合相等”等”即：即：任何一个集合是它本身的子集。任何一个集合是它本身的子集。A A A A真子集真子集:如果如果 A A B,B,且且 A A B B 那就说集合那就说集合 A A 是集合是集合 B B 的真子集，的真子集，记作记作 A AB(B(或或 B BA)A)如果如果 A A B,BB,B C,C,那么那么 A A C C 如果如果 A A B B同时同时 B B A A 那么那么 A=BA=B3.3.不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任

5、何元素的集合叫做空集，记为规定规定:空集是任何集合的子集，空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。空集是任何非空集合的真子集。有有 n n 个元素的集合，含有个元素的集合，含有 2 2n n个子集，个子集，2 2n-1n-1个真子集个真子集三、集合的运算三、集合的运算运算运算类型类型定定由所有属于由所有属于 A A 且且由所有属于集合由所有属于集合 A A义义属于属于 B B 的元素所的元素所或属于集合或属于集合 B B 的元的元组成的集合组成的集合,叫做叫做素所组成的集合，素所组成的集合，A,BA,B 的的交集交集记记叫叫 做做A,BA,B的的 并并作作A AB B（读作（读作 A

6、 A集集 记作：记作：A AB B（读（读交交B B），），即即作作A A 并并 B B），即，即设设 S S 是一个集合，是一个集合，A A是是 S S 的一个子集，的一个子集，由由 S S 中所有不属于中所有不属于A A 的元素组成的集的元素组成的集合，合，叫做叫做 S S 中子集中子集 A A的的补集补集（或余集）（或余集）交交集集并并集集补补集集A AB=B=x|xx|xA A，A AB B=x|x=x|xA A，记作记作CSA，即，即且且 x xB B 或或 x xB)B)C CS SA=A=x|xS,且xA韦韦恩恩图图示示ABABSA图1图 2性性A AA=AA=A质质A A=A

7、AB=BB=BA AA AB BA AA AB BB BA AA=AA=AA A=A=AA AB=BB=BA AA AB BA AB BB B(C(Cu uA)A)(C(Cu uB)B)=C=Cu u(A(AB)B)(C(Cu uA)A)(C(Cu uB)B)=C=Cu u(A(AB)B)A A(C(Cu uA)=UA)=UA A(C(Cu uA)=A)=第二节第二节 函数的有关概念函数的有关概念1 1函数的概念：设函数的概念：设 A A、B B 是非空的数集，如果按照某个确定的对是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系应关系 f f，使对于集合使对于集合 A A 中的任意一个数中的任意一个数

8、 x x，在集合在集合 B B 中都有唯一中都有唯一确定的数确定的数 f(x)f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称 f f：A AB B 为从集合为从集合 A A 到集合到集合 B B的一个函数记作：的一个函数记作：y=f(x)y=f(x)，x xA A其中，其中，x x 叫做自变量，叫做自变量，x x 的的取值范围取值范围 A A 叫做函数的定义域；与叫做函数的定义域；与 x x 的值相对应的的值相对应的 y y 值叫做函数值叫做函数值，函数值的集合值，函数值的集合f(x)|xf(x)|xA A 叫做函数的值域叫做函数的值域注意：注意：1 1 定义域：定义域：能使函数式有意义的实数能

9、使函数式有意义的实数x x的集合称为函数的定义域。的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(2)(2)偶次方根的被开方数不小于零；偶次方根的被开方数不小于零；(3)(3)对数式的真数必须大于零；对数式的真数必须大于零；(4)(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.1.(5)(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它那么，它的定义域是使各部分都有意义的的定义域是使各部分都有意义

10、的x x的值组成的集合的值组成的集合.(6)(6)指数为零底不可以等于零，指数为零底不可以等于零，(7)(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）的字母无关）；定义域一致；定义域一致(两点必须同时具备两点必须同时具备)(见课本见课本 2121 页相关例页相关例 2)2)2 2值域值域:先考虑其定义域先考虑其定义域(1)(1)观察法观察法(2)(2)配方法配方法(3)(3)代换法代换法3.3.函数图象知识归纳函数图象知识归纳

11、(1)(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)y=f(x),(x(xA)A)中的中的x x为横坐标，函数值为横坐标，函数值y y为纵坐标的点为纵坐标的点 P P(x(x，y)y)的集合的集合 C C，叫做函数，叫做函数y=f(x),(xy=f(x),(xA)A)的图象的图象C C 上每一点的坐标上每一点的坐标(x(x，y)y)均满足函数关系均满足函数关系y=f(x)y=f(x)，反过来，以满足，反过来，以满足y=f(x)y=f(x)的每一组有序实数对的每一组有序实数对x x、y y为坐为坐标的点标的点(x(x，y)y)，均在，均在 C C 上上.(2)

12、(2)画法画法A A、B B、1)1)平移变换平移变换2)2)伸缩变换伸缩变换3)3)对称变换对称变换4 4区间的概念区间的概念（1 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2 2）无穷区间）无穷区间（3 3）区间的数轴表示）区间的数轴表示5 5映射映射一般地，一般地，设设 A A、B B 是两个非空的集合，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对如果按某一个确定的对应法则应法则 f f，使对于集合使对于集合 A A 中的任意一个元素中的任意一个元素 x x，在集合在集合 B B 中都有唯中都有唯一确定的元素一确定的元素 y y 与之对应，与之对应

13、，那么就称对应那么就称对应 f f：A AB B 为从集合为从集合 A A 到到集合集合 B B 的一个映射。记作“的一个映射。记作“f f（对应关系）（对应关系）：A A（原象）（原象）B B（象）（象）”描点法：描点法：图象变换法图象变换法常用变换方法有三种常用变换方法有三种对于映射对于映射f f：A AB B来说，则应满足：来说，则应满足：(1)(1)集合集合A A中的每一个元素，中的每一个元素，在集合在集合B B中都有象，中都有象，并且象是唯一的；并且象是唯一的；(2)(2)集合集合A A中不同的元素，在集合中不同的元素，在集合B B中对应的象可以是同一个；中对应的象可以是同一个；(3

14、)(3)不要求集合不要求集合B B中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合A A中都有原象。中都有原象。6.6.分段函数分段函数(1)(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)(2)各部分的自变量的取值情况各部分的自变量的取值情况(3)(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集集补充：复合函数补充：复合函数如果如果 y=f(u)(uy=f(u)(uM),u=g(x)(xM),u=g(x)(xA),A),则则 y=fg(x)=F(x)(xy=fg(x)=F(x)

15、(xA)A)称为称为 f f、g g 的复合函数。的复合函数。第三节第三节 函数的性质函数的性质1.1.函数的单调性函数的单调性(局部性质局部性质)（1 1）增函数）增函数设函数设函数 y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为 I I，如果对于定义域，如果对于定义域 I I 内的某个区间内的某个区间D D 内的任意两个自变量内的任意两个自变量 x x1 1，x x2 2，当，当 x x1 1xx2 2时，都有时，都有 f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)，那么就说那么就说 f(x)f(x)在区间在区间 D D 上是增函数上是增函数.区间区间 D D 称为称为 y=f(x)y=f(x)

16、的单调增的单调增区间区间.如果对于区间如果对于区间 D D 上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值 x x1 1，x x2 2，当当 x x1 1xx2 2时，时，都有都有 f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)，那么就说，那么就说f(x)f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数.区间区间 D D称为称为 y=f(x)y=f(x)的单调减区间的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2 2）图象的特点图象的特点如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(

17、x)y=f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，单调性，在单调区间上增函数的在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).(3).函数单调区间与单调性的判定方法函数单调区间与单调性的判定方法(A)(A)定义法：定义法：1 1 任取任取 x x1 1，x x2 2D D，且，且 x x1 1x11，且，且nN*负数没有偶次方根；负数没有偶次方根；0 0 的任何次方根都是的任何次方根都是 0 0，记作，记作n0 0。a(a 0)nnnnnn当当是奇数时，是奇数时，aa，当，当是偶数时，是偶数

18、时，a|a|a(a 0)2 2分数指数幂分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：正数的分数指数幂的意义，规定：amnnam(a 0,m,n N*,n 1)，amn1mn1na0 0 的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于 0 0，0 0 的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义3 3实数指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质rrsr（1 1）a a aam(a 0,m,n N*,n 1)(a 0,r,sR)；(a 0,r,sR)；rsrs(a)a（2 2）rrs(ab)a a（3 3）(a 0,r,sR)（二）指数函数及其性质（二）指数函数及其性质1 1、指数函数的概念：一般地，函数、指数函数

19、的概念：一般地，函数y ax(a 0,且a 1)叫做指数叫做指数函数，其中函数，其中 x x 是自变量，函数的定义域为是自变量，函数的定义域为 R R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 12 2、指数函数的图象和性质、指数函数的图象和性质a1a10a10a1a1x都不是对数函数，而只能称其都不是对数函数，而只能称其50a10a1110101定义域定义域x x0 0值域为值域为 R R在在 R R 上递增上递增函数图象都函数图象都过定点（过定点（1 1，0 0）定义域定义域 x x0 0值域为值域为 R R在在 R R 上

20、递减上递减函函数数图图象象都都过过定定点（点（1 1，0 0）三、三、幂函数幂函数1 1、幂函数定义：一般地，形如、幂函数定义：一般地，形如y x(aR)的函数称为幂函数，的函数称为幂函数，其中其中为常数为常数2 2、幂函数性质归纳、幂函数性质归纳（1 1）所有的幂函数在（）所有的幂函数在（0 0，+）都有定义并且图象都过点（）都有定义并且图象都过点（1 1，1 1）；（2 2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,)上是上是增函数特别地，当增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象下凸；当0 1时，时，幂函数的图象上凸；幂函数的图象上凸

21、；（3 3）0时，幂函数的图象在区间时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数在第一上是减函数在第一象限内，当象限内，当x从右边趋向原点时，图象在从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近y轴轴正半轴，正半轴，当当x趋于趋于 时，时，图象在图象在x轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近x轴正半轴轴正半轴第三章第三章 函数的应用函数的应用一、方程的根与函数的零点一、方程的根与函数的零点1 1、函数零点的概念：对于函数、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使，把使f(x)0成成立的实数立的实数x叫做函数叫做函数y f(x)(x D)的零点。的零点。2 2、函数零点的意义：函数

22、、函数零点的意义：函数y f(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)0实数实数根，亦即函数根，亦即函数y f(x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。即：方程即：方程f(x)0有实数根有实数根函数函数y f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y f(x)有零点有零点3 3、函数零点的求法：、函数零点的求法：1 1（代数法）求方程（代数法）求方程f(x)0的实数根；的实数根；2 2（几何法）几何法）对于不能用求根公式的方程，对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数可以将它与函数y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点

23、4 4、二次函数的零点：、二次函数的零点：二次函数二次函数y ax2 bx c(a 0)（1 1），方程，方程ax2bx c 0有两不等实根，二次函数的图象有两不等实根，二次函数的图象与与x轴有两个交点，二次函数有两个零点轴有两个交点，二次函数有两个零点（2 2），方程方程ax2bx c 0有两相等实根，有两相等实根，二次函数的图象与二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3 3），方程），方程ax2bx c 0无实根，二次函数的图象与无实根，二次函数的图象与x轴轴无交点，二次函数无零点无交点，二次函数无零点5.5.函数的模型函数的模型不符选择函数模型收集数据画散点图检验