2017年专升本高数真题答案解析(浙江).pdf

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1、浙江省浙江省 20172017 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案高等数学参考答案选择题部分选择题部分一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 5 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,共共 2020 分。分。题号答案x01D1x2A3C1x4D5D1.D 解析:lim f(x)lime0，lim f(x)lim e;所以x0是f(x)的无穷x0 x0 x0间断点，即属于第二类间断点，选项D 正确。2.A 解析:选项 A：由积分中值定理：若f(x)在a,b连续，则至少存在一点(a,b)，使得baf(x)dxf()(ba)，

2、选项 A 正确。选项 B：由拉格朗日中值定理：f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点(a,b)，使得f(b)f(a)f()(ba)，选项 B 错误。选项 C：由零点定理：若f(x)在a,b连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点(a,b)，使得f()0，选项 C 错误。选项 D：由罗尔定理：若f(x)在a,b连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，则至少存在一点(a,b)，使得f()0，选项 D 错误。3.C 解析:f(x)dx f(x)C;df(x)f(x)C;ddxf(x)dx f(x);df(x)dx f(x)dx，可见选项 C 正确。111112dxxdx2

3、 x|02；所以4.D 解析:dx收敛，故选项 A 错误。000 xx11111；所以dxarcsin x|dx收敛，故选项 B 错误。001x22021x111111；所以dx收敛，故选项 C 错误。1x2dx(x)|1 xlim1xx21111111；所以dx()|1lim dx发散，故选项 D 正确。020 x20 x0 xxx115.D 解析:特征方程为：r23r 20，(r 1)(r 2)0，即：r11，r2 2因为i 1i不是r23r 2 0的根，所以：k 0。所以y3y2yesinx特解可设为：y e(acosxbsinx)，故选项 D 正确。*xx非选择题部分非选择题部分二、填

4、空题二、填空题:本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。分。6.(,0)解析:由0 2x1，解得：x 0，故定义域为：(,0)7.ln2解析:由第二个重要极限可得：lim(1kx)lim(1kx)x0 x01x1kkxek2,所以kln28.3f(3)f(3h)解析:由导数定义可得：limf(3)，又因为f(x)ln(1 x2)，h05h2x3，故f(3)1x25所以f(x)9.1x解析:令函数f(x)x5 2x 5，x(0,)，且f(0)5 0 xlim f(x)limx52x5，f(x)5x4 2 0，由零点定理和单调性可知，方程x52x5

5、 0有且仅有1个正根110.dx解析:方程ey xye 0两边同时对x求导，即：eyy y xy 0，e把x0代入原方程，可得y 1，再把x0，y 1代入eyy y xy 0可得：11yx0，故dyx0 dxee11lnx)解析:方法一（指数对数化）：对函数进行指数对数化：22xx1111ln xln x1111yxxex，y ex(2lnx2)xx(2lnx2)xxxx1方法二（对数求导法则）：两边同时取对数：ln y lnx，两边再同时对x求导：x11.x(1y1111 2lnx2，y xx(2lnx2)yxxxx1x12.0解析:因为f(x)sin xcos x是奇函数，所以根据偶倍奇零

6、，该定积分sinxcosxdx013.xf(x)解析:积分上限函数求导，2dx22tf(t)dt xf(x)0dx14.S3 S1 S2解析:由题意可知：f(x)0，f(x)在a,b上单调递减，且图形是凹的，所以根据图像可得：S3 S1 S2yy f(a)S3S1y f(b)S2ox 1x2x15.4n1解析:中心点为：x 1，因为在点x 3处条件收敛，根据阿贝尔定理可知，na(x1)在x1 4内绝对收敛，在x1 4发散，所以收敛半径为R 4n处处发散处处绝对收敛处处绝对收敛处处发散x 3x 1x 5三、计算题：本题共有三、计算题：本题共有 8 8 小题，其中小题，其中 16-1916-19

7、小题每小题小题每小题 7 7 分，分，20-20-2323 小题每小题小题每小题 8 8 分，共分，共 6060 分。计算题必须写出必要的计算过程，分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。只写答案的不给分。洛ln(1x3)x33x23x2limlimlim616.解:limx0 xsin xx0 xsin xx01cos xx012x2【注】：此处用到的等价无穷小为：当x0时，ln(1 x)x，1cosx 12x2dydy12tdxdydt 2t1 2t17.解:，dxdx2tdtdtdt4t(12t)21ddy12t()()221d2ydt dx4t2t2t dx2t2t4t3d

8、x22tdt18.解:原式arcsinxdxxarcsinxxdarcsinxxarcsinxx1x2dxxarcsinxx1x2dxxarcsinx1122d1xxarcsinx 1xC221x（C为任意常数）19.解:令tx2，xt2，dxdt，故：原式fx2dxftdt1131ftdt1010114171ftdt1t dte dt(tt3)(et)(1)010313e3e0210t20.解:因为在x 1处连续，limx1x1x12f(x)limx1，f(1)1，x1lim f(x)lim(axb)ab，因为f(x)在x 1处连续，所以ab 1f(x)f(1)x21lim lim(x1)2

9、，因为f(x)在x 1处可导，f(1)limx1x0 x1x0 x1f(x)f(1)axb1洛af(1)limlimlima，因为在x 0处可导，所以a 2，x1x1x01x1x1联立后可得：当a 2，b 1时，函数f(x)在x 1处连续且可导un1(x)(n1)xnlimx1，所以收敛区间为：(1,1)21.解:(x)limnnun(x)nxn1当x1时，级数(1)n1n1n发散；当x 1时，级数n发散，所以收敛域为：(1,1)，n111xn1nnxx 令S(x)，所以和函数为：，收敛域为：(1,1)S(x)22(1x)n1n11x(1x)22.解:根据题意可知：直线的方向向量分别为：s1(

10、1,2,3)，s2(0,1,1)，所求平面的 231312 法向量为：ns1s2123ijkijk，故n(1,1,1)，由点法式110 10 1011ijk)(y2)(z1)0，即：xyz0可知，过点(1,2,1)且以n为法向量的平面方程为：(x1x123.解:f(x)的定义域：(,)，f(x)e2(x)，令f(x)0，解得：2x 0，由驻点划分定义域，得如下表格：2xf(x)f(x)(,0)增00极大值(0,)减故单调递增区间为：(,0)；单调递减区间为：(0,)；极大值为：f(0)x1e2(x21)，令f(x)0，x1 1，x21，所以得到表格：221，2f(x)xf(x)f(x)(,1)

11、凹10拐点(1,1)凸10拐点(1,)凹1111,e2)，和(1,e2)故凹区间为：(,1)，(1,)；凸区间为：(1,1)；拐点为：(122因为f(x)没有无定义点，所以无垂直渐近线；x1因为lim f(x)lime20，即f(x)有且仅有一条水平渐近线为：y 0 xx22四、综合题：四、综合题：本大题共本大题共 3 3 小题，小题，每小题每小题 1010 分，分，共共 3030 分。分。452424.解:（1）方法一：圆盘法：V1(2x)dx4x dx(x)(32a5)aaa5522 224V2a2a222a20(y2)dya42方法二：柱壳法：V22a01x(2x2)dx4x4a440a

12、（2）VaV1V212845a a4，Va4a44a34a3(1a)，令55Va0，得到：a 1，所以得到如下表格：aVaVa(0,1)增10极大值(1,2)减所以Va在a 1取得极大值，也为最大值。最大值为：V1yy 2x21295D20D1x 2x ax25.解:根据题意可知：初值条件为f(1)1，由导数几何意义可知，曲线y f(x)上任意一点(x0,f(x0)处的切线方程为：yf(x0)f(x0)(xx0)，令x 0，得到：1yf(x0)x0 f(x0)，由题意可得：x0f(x0)x0 f(x0)，即yy1，由一阶线性微x11dx1xdxxedxCelnx dxCxlnxC，因为分方程通解公式得到：yexf(1)1，C 1，故所求曲线方程为：y x(lnx 1)xlnx x26.证:设F(x)xf(x)，x0,1因为f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，所以F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，又因为 f(1)0，所以F(0)0，F(1)f(1)0，由罗尔定理，得：至少存在一点0,1，使得F()0，即：f()f()0