2020年中考数学 压轴专题 二次函数中的最值问题(含答案).pdf

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1、20202020 中考数学中考数学 压轴专题压轴专题 二次函数中的最值问题（含答案）二次函数中的最值问题（含答案）1.如图,已知 c0,抛物线 y=x2bxc 与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点(x2x1),与 y 轴交于点 C.()若 x2=1,BC=5,求函数 y=x2bxc 的最小值;()过点 A 作 APBC,垂足为 P(点 P 在线段 BC 上),AP 交 y 轴于点 M.若OA=2,求抛物线 y=x2OMbxc 顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第 1 题图解:()x2=1,OB=1,BC=OC=5,BC2OB2=2,C(0,2),把

2、 B(1,0),C(0,2)代入 y=x2bxc,得:0=1 b2,解得:b=1,抛物线的解析式为:y=x2x2.转化为 y=(x129);249的最小值为;4函数 y=x2bxc()OAMOBC=90,OCBOBC=90,OAM=OCB,又AOM=BOC=90,AOMCOB,OAOMOCOB,OC=OAOMOB=2OB,c0,x20,c=2x2,即 x2=c.2x22bx2c=0,将 x2=c代入化简得:c=2b4.2b4c b2,24).抛物线的解析式为:y=x2bxc,其顶点坐标为(令 x=b,则2b=2x.4c b2y=4=cb24=2b4b24=4x4x2,满足点 P 在线段 BC

3、上的 x 最小取值,使 P、C、M 重合,此时 C(0,c),B(c,0),A(2c,0),2根据根与系数的关系,对于 x2bxc=0,b=c32c=c,22由 c=2b4,解得 c=1,所以 b=33c=,22x=b3=;42343).4所以自变量 x 的取值范围 x顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为:y=x24x4(x2.已知抛物线 y=ax2bxc(a0)过(m,b),(m1,a)两点,()若 m=1,c=1,求抛物线的解析式;()若 ba,求 m 的取值范围;()当 ba,m0 时,二次函数 y=ax2bxc 有最大值2,求 a 的最大值.解:()m=1,c=1,抛物线的解析式为

4、y=ax2bx1(a0)过(1,b),(2,a)两点,a b1b,4a 2b1 aa 1解得,b 1抛物线的解析式为 y=x2x1;2am bmc b()依题意得,2a(m1)b(m1)c a由得 b=am,ba,ama,a0,m1;()由()得 b=am,代入得 am2am2c=b,c=b=am,ba,m0,1m0,二次函数 y=ax2bxc 有最大值2,4ac b2=2,4a82=m 4m,a8=(m2)24,a1m0,3(m2)240,a8,38.3a 的最大值为3.平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=mx22m2x2 交 y 轴于 A 点,交直线 x=4 于 B 点.()求抛物线的

5、对称轴(用含 m 的代数式表示);()若 ABx 轴,求抛物线的解析式;()若抛物线在 A,B 之间的部分任取一点 P(xp,yp),一定满足 yp2,求 m 的取值范围.解:()由抛物线的对称轴公式可得抛物线的对称轴为直线 x=m;()当 x=0 时,y=mx22m2x2=2,点 A(0,2).ABx 轴,且点 B 在直线 x=4 上,点 B(4,2),抛物线的对称轴为直线 x=2,m=2,抛物线的解析式为 y=2x28x2;()当 m0 时,如解图,A(0,2),要使 0 xp4 时,始终满足 yp2,只需使抛物线 y=mx22m2x2 的对称轴与直线 x=2 重合或在直线 x=2 的右侧

6、.m2当 m0 时,如解图,m0 时,yp2 恒成立.综上所述,m 的取值范围为 m0 或 m2.2m2bx=2m2a=m,第 3 题解图4.已知抛物线 y=ax2bxc 的顶点为(2,5),且与 y 轴交于点 C(0,1).()求抛物线的表达式;()若1x3,试求 y 的取值范围;()若 M(n24n6,y1)和 N(n2n7,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断 y1与 y2的大4小,并说明理由.解:()抛物线 y=ax2bxc 的顶点为(2,5),设抛物线的表达式为:y=a(x2)25,把(0,1)代入得:a(02)25=1,a=1,抛物线的表达式为:y=(x2)25=x24x1;()

7、抛物线的顶点为(2,5),a=1,对称轴为直线 x=2,且1x3,当 x=1 时,y 有最小值,最小值为 y=(12)25=4,当 x=2 时,y 有最大值,最大值为 y=5,y 的取值范围是4y5()n24n6=(n2)222,n2n712=(n)22,42点 M 在抛物线对称轴右侧,点 N 在抛物线对称轴左侧,N(n2n7,y2),4点 N 关于对称轴对称的点坐标为(n2n9,y2),4在抛物线对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小,当 n24n6n2n9时,即4n=n5时,y1y2;4当 n24n6=n2n当9时,即45时,y1=y2;4n24n6n2n9时,即45n时,y1y2.41)和

8、(m25.已知抛物线 y=ax2bxc 与直线 y=mxn 相交于两点,这两点的坐标分别是(0,b,m2mbn),其中 a,b,c,m,n 为实数,且 a,m 不为 0.()求 c 的值;()求证:抛物线 y=ax2bxc 与 x 轴有两个交点;()当1x1 时,设抛物线 y=ax2bxc 上与 x 轴距离最大的点为 P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.11解:()把点(0,)代入抛物线,得:c=;22()把点(0,11)代入直线得:n=.22把点(mb,m2mbn)代入抛物线,得:a(mb)2b(mb)c=m2mbnc=n=1,2a(mb)2b(mb)=m2mb,am22abmab2b

9、mb2m2mb=0,(a1)m2(a1)2 bm(a1)b2=0,(a1)(m22bmb2)=0,(a1)(mb)2=0,若 mb=0,则(mb,m2mbn)与(0,a=1,1)重合,与题意不合,2抛物线 y=ax2bxc=x2bx12,b 4ac=b242(12)=b 20,2抛物线 y=ax2bxc 与 x 轴有两个交点;21b1b()y=x2bx,顶点(,),2224设抛物线 y=x2bx1在2x 轴上方与 x 轴距离最大的点的纵坐标为 H,在 x 轴下方与 x 轴距离最大的点的纵坐标为 h,b当1 时,即2|H|=y0=b2 时,在 x 轴上方与 x 轴距离最大的点是(1,y0),15

10、b,22在 x 轴下方与 x 轴距离最大的点是(1,y0),|h|=|y0|=|H|h|,这时|y0|的最小值大于113b|=b,2225,2当1b0 时,即20b2 时,在 x 轴上方与 x 轴距离最大的点是(1,y0),11|H|=y0=b,当22在 x 轴下方与b=0 时等号成立,b1b2x 轴距离最大的点是(,),224|h|=|1b2b2+21|=,2244当 b=0 时等号成立,这时|y0|的最小值等于1,2当 0b1,即2b0 时,2在 x 轴上方与 x 轴距离最大的点是(1,y0),1111|H|=y0=|1(1)b|=|b|=b,2222在 x 轴下方与b1b2x 轴距离最大

11、的点是(,224),|h|=|y0|=|1b2b2+21|=,2244这时|y0|的最小值大于1;2当b1时,即215b,22b2 时,在 x 轴上方与 x 轴距离最大的点是(1,y0),|H|=在 x 轴下方与 x 轴距离最大的点是(1,y0),311|h|=|b|=(b),222|H|h|,这时|y0|的最小值大于5,21.2综上所述:当 b=0,x0=0 时,这时|y0|取最小值为6.在平面直角坐标系中,直线 l:y=x3 与 x 轴交于点 A,抛物线 C:y=x2mxn 的图象经过点 A.()当 m=4 时,求 n 的值;()设 m=2,当3x0 时,求二次函数 y=x2mxn 的最小

12、值;()当3x0 时,若二次函数 y=x2mxn 时的最小值为4,求 m、n 的值.解:()当 y=x3=0 时,x=3,点 A 的坐标为(3,0).二次函数 y=x2mxn 的图象经过点 A,0=93mn,即 n=3m9,当 m=4 时,n=3m9=3;()抛物线的对称轴为直线x=m,2当 m=2 时,对称轴为 x=1,n=3m9=15,当3x0 时,y 随 x 的增大而减小,当 x=0 时,二次函数 y=x2mxn 取得最小值,最小值为15.m()当对称轴3,即 m6 时,2在3x0 范围内,y 随 x 的增大而增大,当 x=3 时,y 取得最小值 0,不符合题意;mm4nm2当30,即

13、0m6 时,在3x0 范围内,x=时,y 取得最小值224二次函数最小值为4,4nm2=4,4n93m n=0m2m10解得:或(舍去),n3n21m=2,n=3;m当0,即 m0 时,在3x0 范围内,y 随 x 的增大而减小,当 x=0 时,y 取最小值,即 n=4,2n4,93m n05m解得:(舍去).3n4综上所述:m=2,n=3.7.在平面直角坐标系中,抛物线 y=x22xc(c 为常数)的对称轴为 x=1.()当 c=3 时,点(x1,y1)在抛物线 y=x22xc 上,求 y1的最小值;()若抛物线与 x 轴有两个交点,点 A 在点 B 左侧,且1OA=OB,求抛物线的解析式;

14、2()当1x0 时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,求 c 的取值范围.解:()当 c=3 时,抛物线为 y=x22x3,抛物线开口向上,有最小值,y24ac b241(3)(2)=4a4最 小 值=4,y1的最小值为4;()抛物线与 x 轴有两个交点,当点 A、B 都在原点的右侧时,如解图,设 A(m,0),OA=B(2m,0),二次函数 y=x22xc 的对称轴为 x=1,由抛物线的对称性得 1m=2m1,解得 m=1OB,22,32A(,0),3点 A 在抛物线 y=x22xc 上,0=44c,解得93c=8,98;9此时抛物线的解析式为 y=x22x当点 A 在原点的左侧,点 B

15、在原点的右侧时,如解图,设 A(n,0),OA=B(2n,0),由抛物线的对称性得 n1=2n1,解得 n=2,A(2,0),1OB,且点2A、B 在原点的两侧,点 A 在抛物线 y=x22xc 上,0=44c,解得 c=8,此时抛物线的解析式为 y=x22x8,综上,抛物线的解析式为 y=x22x8或9y=x22x8;()抛物线 y=x22xc 与 x 轴有公共点,对于方程 x22xc=0,判别式 b24ac=44c0,c1.当 x=1 时,y=3c;当 x=0 时,y=c,抛物线的对称轴为 x=1,且当1x0 时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,3c0 且 c0,解得3c0,综上,当1

16、x0 时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点时,c 的取值范围为3c0.第 7 题解图8.已知抛物线 y=(m1)x2(m2)x1 与 x 轴交于 A、B 两点.()求 m 的取值范围;()若 m0,且点 A 在点 B 的左侧,OA:OB=3:1,试确定抛物线的解析式;()设()中抛物线与 y 轴的交点为 C,过点 C 作直线 lx 轴,将抛物线在 y 轴右侧的部分沿直线 l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线 yxb 与新图象只有一个公共点 P(x0,y0)且 y05 时,求 b 的取值范围.解:()抛物线 y=(m1)x2(m2)x1 与 x 轴交于 A、B 两点,m1

17、 0,2(m2)4m10由得 m1,由得 m0,m 的取值范围是 m0 且 m1()点 A、B 是抛物线 y=(m1)x2(m2)x1 与 x 轴的交点,令 y=0,即(m1)x2(m2)x1=0.解得 x1=1,x2m0,11.m110.m111m点 A 在点 B 左侧,点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(,0).1OA=1,OB=1mOA:OB=3:1,.11m1.3m2.抛物线的解析式为 y3x24x1.()点 C 是抛物线 y3x24x1 与 y 轴的交点,点 C 的坐标为(0,1).依题意翻折后的图象如解图所示.令 y=5,即3x24x15.解得 x1=2,x2=2.3新图

18、象经过点 D(2,5).当直线 yxb 经过 D 点时,可得 b=7.当直线 yxb 经过 C 点时,可得 b=1.当直线 yxb(b1)与函数 y3x24x1 的图象仅有一个公共点 P(x0,y0)时,得x0b3x024x01.整理得 3x023x0b10.由 3212(b1)=12b3=0,得 b1.41.4结合图象可知,符合题意的 b 的取值范围为7b1 或 b第 8 题解图9.如图,二次函数 y=x22(m2)x3 的图象与 x、y 轴交于 A、B、C 三点,其中 A(3,0),抛物线的顶点为D.()求 m 的值及顶点 D 的坐标;7()当 axb 时,函数 y 的最小值为,最大值为

19、4,求 a,b 应满足的条件;4()在 y 轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得PDC 是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.解:()把 A(3,0)代入 y=x22(m2)x3,得96(m2)3=0,解得 m=3,则二次函数为 y=x22x3,y=x22x3=(x1)24,顶点 D 的坐标为(1,4);()把 y=7代入 y=x22x3 中,47得=x22x3,4解得 x1=51,x2=,22又函数 y 的最大值为 4,顶点 D 的坐标为(1,4),1结合图象知a1.2当 a=51时,1b,2251当a1 时,b=;22()存在点 P,使得PDC 是等腰三

20、角形,当 x=0 时,y=3,点 C 坐标为(0,3).当PDC 是等腰三角形时,分三种情况:如解图,当 DC=DP 时,由抛物线的对称性知:点 P 与点 C 关于抛物线的对称轴x=1 对称,点 P 坐标为(2,3);如解图,当 PC=PD 时,则线段 CD 的垂直平分线 l 与抛物线的交点即为所求的点P,过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 H,过点 P 作 PMy 轴于点 M,PNDH 的延长线于点 N,HD=HC=1,PC=PD,HP 是线段 CD 的垂直平分线.HD=HC,HPCD,HP 平分MHN,PMy 轴于点 M,PNHD 的延长线于点 N,PM=PN.设 P(m,m22m3),则 m=4(m22m3),解得35m=,2点 P 的坐标为(3 5 5 53 5 5 5,)(解图中未标记此点)或(,);2222如解图,当 CD=CP 时,点 P 在 y 轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点 P 的坐标为(2,3)或(3 5 5 53 5 5 5,)或(,).图图第 9 题解图2222图