2018届中考数学复习《二次函数的综合问题》专题训练题及答案.pdf

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1、二次函数的综合问题例 1 1。如图 1，已知抛物线y=x-(b+1)x+（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交444于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求

2、出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由不存在，请说明理由121b例 2 2。20142014 年苏州市中考第2929题如图 1，二次函数 ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x轴分别交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过点 A 作射线 AE交二次函数的图像于点 E，AB平分DAE（1）用含 m 的式子表示 a；AD（2）求证：为定值；为定值；AE（3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结GF，以线段 GF、AD、AE 的长度为

3、三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图 1图 1练习 1 1、如图 1，抛物线y=14x2-32，与 yx-4与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧）轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m,0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l交抛物线于点 Q（1）求点 A、B、C 的坐标；的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 B

4、D、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时，四边形 CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由图 133练习 2 2、如图 1，抛物线y=-x2-x+3与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y84轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；的坐标；（3）若

5、直线 l 过点 E(4,0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式的解析式图 1练习 3 3（2015 苏州）如图，已知二次函数y=x+(1-m)x-m（其中 0m1）的图像与x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y轴交于点 C，对称轴为直线 l设 P 为对称轴l 上的点，连接 PA、PC，PA=PC；（1）ABC 的度数为 ；2（2）求 P 点坐标（用含 m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合），使得以 Q、B、C 为顶点的三角形与PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？如果存

6、在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由在，请说明理由lyPAOBxC（第 27题）题）练习 4 4（2016苏州）如图，直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于 A、B 两点，抛物线2y=ax-2ax+a+4(a 0)经过点 B (1)求该地物线的函数表达式；求该地物线的函数表达式；(2)已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM设点 M 的横坐标为m，ABM 的面积为 S求 S 与m的函数表达式，并求出 S的最大值；的最大值；(3)在(2)的条件下，当 S取得最大值时，动点 M 相应的位置记为点M.写出点M 的坐标；的坐标；将直线l

7、绕点 A 按顺时针方向旋转得到直线l，当直线l与直线AM 重合时停止旋转在旋转过程中，直线l与线段BM 交于点 C设点 B、M 到直线l的距离分别为的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l旋转的角度（即BAC 的度数）A、B 两点，与 y 轴交于练习 5 5（2017 苏州）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于轴交于点 C，OB=OC点 D 在函数图象上，CDx轴，且 CD=2，直线 l是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点物线的顶点（1）求 b、c的值；的值；（2）如图，连接 BE，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F恰好在线段 BE 上，求点 F

8、的坐标；的坐标；（3）如图，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M，与抛物线交于点 N试问：抛物线上是否存在点 Q，使得PQN 与APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由的坐标；如果不存在，说明理由参考答案：例 1。思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点

9、 A 与 x 轴垂直的直线上轴垂直的直线上满分解答b（1）B的坐标为(b,0)，点 C 的坐标为(0,)4（2）如 图 2，过 点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂 足 分 别 为 D、E，那 么PDBPEC因此 PDPE设点 P 的坐标为(x,x)如图 3，联结 OP1b15所以 S四边形PCOBSPCOSPBOx+bx=bx2b242816 1616解得x=所以点 P 的坐标为(,)555图 2图 311b1(1)(2(1)（3）由y=x-b+x+=x-x-b)，得 A(1,0)，OA14444如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOABAQA，即2当QA=BA

10、OA时，BQAQOA=QAOAb所以()2=b-1解得b=84 3所以符合题意的点 Q 为(1,2+3)4如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1交于点 Q，那么OQC90。BAQA因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90=QAOABOQA所以 C、Q、B 三点共线因此，即b=QA解得QA=4此时 Q(1,4)=COOAb14图 4图 5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，

11、再根据两直角边对应成比例确定点 B的位置的位置如图中，圆与直线 x1的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾矛盾例 2。思路点拨1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F 的坐标后，点 D 的坐标也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的的纵坐标为定值是算出来的12在计算的过程中，第（1）题的结论a=2及其变形am2=1反复用到反复用到m3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点 F作 AD的平行线与 x 轴的交点，就是要求的点 G满分解答1（

12、1）将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2)，得33am2因此a=2m2222（2）由 ya(x 2mx3m)a(xm)(x3m)a(xm)4axm a(xm)24，得 A(m,0)，B(3m,0)，F(m,4)，对称轴为直线 xm所以点 D 的坐标为(2m,3)设点 E的坐标为(x,a(xm)(x3m)如图 2，过点 D、E分别作 x轴的垂线，垂足分别为 D、EEEDDa(x+m)(x-3m)3由于EAEDAD，所以因此=AEADx+m3m所以 am(x3m)1结合a=12，于是得到x4mm当 x4m 时，ya(xm)(x3m)5am25所以点 E 的坐标为(4m,5)ADDD3所以=

13、AEEE5图 2图 3（3）如图 3，由 E(4m,5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3那么过点 F作 AD的平行线与 x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点 G证明如下：作 FFx轴于 F，那么GFFF 4AD=DD=3AEADGF因此所以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形的长围成一个直角三角形=534此时 GF4m所以 GO3m，点 G 的坐标为(3m,0)考点伸展第（3）题 中 的 点 G 的 另 一 种 情 况，就 是 GF 为 直 角 三 角 形 的 斜 边 此 时AEADGF=因此GF=34m所以GO=(34-1)m

14、 此时G(m-34m,0)5334练习 1、思路点拨1第（2）题先用含 m 的式子表示线段 MQ的长，再根据 MQDC 列方程列方程2第（2）题要判断四边形 CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一个准确的示意图，先得到结论准确的示意图，先得到结论3第（3）题BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形可以构造相似三角形满分解答（1）由y=1431x2-x-4=(x+2)(x-8)，得 A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)241（2）直线 DB的解析式为y=-x+421132由点 P的坐标为(m,0)，可得M(m,-m-4)，Q(m

15、,m-m-4)242112312所以 MQ(-2 m+4)-(4 m-2 m-4)=-4 m+m+8当 MQDC8 时，四边形 CQMD是平行四边形是平行四边形解方程-12m+m+8=8，得 m4，或 m0（舍去）4此时点 P 是 OB 的中点，N 是 BC的中点，N(4,2)，Q(4,6)MNNQBC与 MQ所以4所以互相平分互相平分CQBM所以四边形是平行四边形是平行四边形图 2图 3（3）存在两个符合题意的点 Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展：第（3）题可以这样解：设点 Q 的坐标为(x,1(x+2)(x-8)41(x+2)(x-8)-QGBH114如图 3，当DBQ90时，时，

16、=所以=GBHD28-x2解得 x6此时 Q(6,4)4-(x+2)(x-8)QGDH4如图 4，当BDQ90时，时，=2所以=2GDHB-x解得 x2此时 Q(2,0)1图 3图 4练习 2、思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个有两个2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB90的点 M 有 2个；当直线 l 与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1个个3灵活应用相似比解题比较简便灵活应用相似比解题比较简便满分解答333（1）由y=-x2-x+3=-(x+4)(x-2)，848得抛物线与 x轴的交点坐标为 A(4,0)

17、、B(2,0)对称轴是直线 x1（2）ACD 与ACB 有公共的底边 AC，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，点 B、D 到直线 AC 的距离相等的距离相等过点 B作 AC的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC的另一侧有对应的点 D设抛物线的对称轴与 x轴的交点为 G，与 AC 交于点 HDGCO3由 BD/AC，得DBGCAO所以=BGAO4939(1,所以DG=BG=，点 D的坐标为-)444因为 AC/BD，AGBG，所以 HGDG2727而 DHDH，所以 DG3DG=所以 D的坐标为(1,)44图 2图 3（3）过点 A、B 分别作 x轴的垂线，这两条垂线与直线 l总是有交点

18、的，即 2个点 M以 AB 为直径的G 如果与直线 l 相交，那么就有 2 个点 M；如果圆与直线 l 相切，就只有 1个点 M 了联结 GM，那么 GMl在 RtEGM中，GM3，GE5，所以 EM4M1A3在 RtEM1A 中，AE8，tanM1EA=，所以 M1A6AE4所以点 M1的坐标为(4,6)，过 M1、E 的直线 l为根据对称性，直线 l还可以是y=33y=-4x+3x+34考点伸展第（3）题中的直线 l恰好经过点 C，因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式在 RtEGM中，GM3，GE5，所以 EM4在 RtECO 中，CO3，EO4，所以 CE5因此三角形EGMECO，

19、GEMCEO所以直线 CM 过点 C3解：（1）45理由如下：令 x=0，则 y=-m，C 点坐标为（0，-m）令 y=0，则 x2+(1-m)x-m=0，解得x1=-1，x2=m0m1，点 A 在点 B 的左侧，B 点坐标为（m，0）OB=OC=mBOC90，BOC是等腰直角三角形，OBC45（2）解法一：如图，作 PDy轴，垂足为 D，设 l 与 x 轴交于点 E，-1+m-1+m由题意得，抛物线的对称轴为x=，n）设点 P 坐标为（22222222A1=+PCPA=PC，即AEP PE2-2=CD+PD1m，1-+mm-1+m 1-m-2+1+n2=n+m+,解得Pn点的坐标为=()22

20、222-1+m解法二：连接 PB由题意得，抛物线的对称轴为x=2P 在对称轴 l 上，PA=PBPA=PC，PB=PCBOC是等腰直角三角形，且 OB=OC，P 在 BC的垂直平分线y=-x上-1+m 1-m-1+m,P 点即为对称轴x=与直线y=-x的交点P点的坐标为222lPAQEyDOC图图BxAPElyQDOCBx（3）解法一：存在点 Q 满足题意满足题意-1+m 1-m,，PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2P 点的坐标为22-1+m+2+1-m2+1-m+2+1-m2=+11m2=m22222AC2=1+m，PA2+PC2=AC2APC90 PAC是等腰直角三角形是等腰直

21、角三角形以 Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，QBC 是等腰直角三角形由题意知满足条件的点 Q 的坐标为（-的坐标为（-m，0）或（0，m）如图，当 Q点的坐标为（-点的坐标为（-m，0）时，）时，11-1+m若 PQ与 x 轴垂直，则=-m，解得m=，PQ=233若 PQ与 x 轴不垂直，轴不垂直，1-m2+-1+m+2=51=5-22+1=+=-+m则PQ2PE2EQ2mm22m22222510210210m1 ，当m=时，PQ 取得最小值，PQ取得最小值1051010122，当m=，即 Q 点的坐标为（-，0）时，PQ的长度最小10355如图，当 Q点的坐标为（0，m）时，）时，若

22、PQ与 y 轴垂直，则1-m=m，解得m=1，PQ=1233若 PQ与 y 轴不垂直，轴不垂直，1-m2+-1-m2=51=5-22+1=+=-+mmm22m则PQ2PD2DQ2222251020m1，当m=2时，PQ2取得最小值1，PQ取得最小值101051010221，当m=，即 Q 点的坐标为（0，）时，PQ的长度最小1055322综上：当 Q 点坐标为（-，0）或（0，）时，PQ的长度最小的长度最小55解法二：如图，由（2）知 P 为ABC的外接圆的圆心解法二：的外接圆的圆心APC 与ABC对应同一条弧AC，且ABC45，APC2ABC90下面解题步骤同解法一下面解题步骤同解法一4解：

23、（1）令 x=0 代入 y=3x+3，y=3，B（0，3），2B（0，3）代入 y=ax2ax3=a+4，a=1，2+a+4把y=二次函数解析式为：x+2x+3，；22（2）令 y=0 代入 y=x+2x+3，0=x+2x+3，x=1 或 3，抛物线与 x 轴的交点 横坐标为 1 和 3，M 在抛物线上，且在第一象限内，0m3，过点 M 作 MEy 轴于点 E，交 AB 于点 D，由题意知：M 的坐标为（m，m2+2m+3），2D 的纵坐标为：m+2m+3，把 y=m2+2m+3 代入 y=3x+3，x=DM=m=DMOB=，D 的坐标为（=3=2，m+2m+3），S=DMBE+DMOE=DM

24、（BE+OE）=2（m）+0m3，当 m=时，S 有最大值，最大值为；（3）由（2）可知：M 的坐标为（，）；过点 M 作直线 l1l，过点 B 作 BFl1于点 F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF 的最大值即可，BFM=90，点 F 在以 BM 为直径的圆上，设直线 AM 与该圆相交于点H，点 C 在线段 BM 上，F 在优弧BF 可取得最大值，此时BM l1，A（1，0），B（0，3），M（由勾股定理可求得：AB=上，当 F 与 M 重合时，），M B=，M A=，过点 M 作 M GAB 于点 G，设 BG=x，由勾股定理可得：M B2BG2=M A2AG2，（2x）=x

25、，x=2，cos M BG=，l1l，BCA=90，BAC=45 5解：（1）CDx 轴，CD=2，抛物线对称轴为 x=1OB=OC，C（0，c），B 点的坐标为（c，0），20=c+2c+c，解得 c=3或 c=0（舍去），c=3；（2）设点 F的坐标为（0，m）对称轴为直线 x=1，点 F关于直线 l的对称点 F的坐标为（2，m）2由（1）可知抛物线解析式为 y=x 2x3=（x1）24，E（1，4），直线 BE经过点 B（3，0），E（1，4），利用待定系数法可得直线 BE的表达式为 y=2x6点 F在 BE上，m=226=2，即点 F的坐标为（0，2）；（3）存在点 Q 满足题意设点P

26、 坐标为（n，0），则 PA=n+1，PB=PM=3n，PN=n2+2n+3作 QRPN，垂足为 R，SPQN=SAPM，QR=1点 Q 在直线 PN 的左侧时，Q 点的坐标为（n1，n24n），R 点的坐标为（n，n24n），N222点的坐标为（n，n 2n3）在 RtQRN 中，NQ=1+（2n3），时，NQ取最小值 1此时 Q 点的坐标为时，NQ取最小值 1此时 Q 点的坐标为或；点 Q 在直线 PN 的右侧时，Q 点的坐标为（n+1，n24）同理，NQ2=1+（2n1）2，综上可知存在满足题意的点 Q，其坐标为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用 F 点的坐标表示出 F的坐标是解题的关键，在（3）中求得 QR 的长，用勾股定理得到关于 n 的二次函数是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大特别是最后一问，难度很大