中考总复习：二次函数--知识讲解(基础).pdf

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1、-中考总复习中考总复习:二次函数知识讲解二次函数知识讲解(基础）基础）【考纲要求】【考纲要求】1二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；.二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点;3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现.【知识网络】【知识网络】【考点梳理】【考点梳理】考点一、二次函数的定义考点一、二次函数的定义一般地,如果y ax bxc（a、b、c 是常数,a）,那么 y 叫做 x 的二次函数要点诠释要点诠释:2二次函数y ax bxc(a0)的结构特征是：(1

2、)等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2.(2)二次项系数 a0考点二、二次函数的图象及性质考点二、二次函数的图象及性质2b4acb2,.二次函数y ax bxc（a0)的图象是一条抛物线,顶点为2a4a22.当0 时,抛物线的开口向上;当 a0 时，抛物线的开口向下3|的大小决定抛物线的开口大小.|a越大,抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大.c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置.c=时,抛物线过原点;c0 时,抛物线与 y 轴交于正半轴;c时，对称轴在 y 轴-左侧;当 ab）个单位，即得函数y a(xh)k的图象.要点诠释：要点诠释：求抛物线y

3、 ax bxc（a0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.考点三、二次函数的解析式考点三、二次函数的解析式1.1.一般式一般式:y ax+bx c(a0)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y ax bxc,将已知条件代入,求出 a、b、c 的值2.2.交点式（双根式）交点式（双根式）：y a(x x1)(x x2)(a 0)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(1，0)，(x2，0）,设所求二次函数为22222222222y a(x x1)(x x2),将第三点(m,n)的坐标（其中 m、n 为已知

4、数）或其他已知条件代入,求出待定系数，最后将解析式化为一般形式3.3.顶点式顶点式：y a(xh)k(a 0).若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值），设所求二次函数为2y a(xh)2 k，将已知条件代入，求出待定系数,最后将解析式化为一般形式对称点式对称点式:y a(x x1)(x x2)m(a 0).若已知二次函数图象上两对称点(x，m),(x2,),则可设所求二次函数为y a(x x1)(x x2)m(a 0),将已知条件代入，求得待定系数,最后将解析式化为一般形式要点诠释：要点诠释：已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式 已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点

5、式.（可以看成的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标(0）（由此得根与系数的关系:、,通常选用交点式：）.-考点四、二次函数考点四、二次函数y ax bxc(a(a0)0)的图象的位置与系数的图象的位置与系数 a a、b b、c c 的关系的关系1.开口方向：a0 时,开口向上，否则开口向下.2对称轴:2bb 0时,对称轴在轴的右侧;当 0时，对称轴在轴的左侧.2a2a2223.与 x 轴交点:b 4ac 0时,有两个交点;b 4ac 0时,有一个交点;b 4ac 0时，没有交点.要点诠释要点诠释:当 x1 时,函数b+c；当 x-1 时，函数 ya-b+c；当 a+c0 时,=1

6、 与函数图象的交点在x 轴上方,否则在下方；当 a-bc时,x-与函数图象的交点在轴的上方，否则在下方.考点五、二次函数的最值考点五、二次函数的最值4acb2b1.当 a时,抛物线y ax bxc有最低点，函数有最小值,当x 时,y最小.4a2a24acb2b2当 a0 时，抛物线y ax bxc有最高点,函数有最大值，当x 时,y最大4a2a2要点诠释：要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数y ax bxc的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值范围【典型例题】【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值类型一、应用二次函数的定义求值221二次函数 y=x-2（+1）x+3 有最小值-4，

7、且图象的对称轴在 y 轴的右侧，则 k 的值是 .【思路点拨】2因为图象的对称轴在 y 轴的右侧,所以对称轴 x=k+1,即 k-1;又因为二次函数 y=x-2（k+1)+k+324（k+3）-(2k+2)有最小值4，所以最小值=-4，可以求出 k 的值4【答案与解析】解:图象的对称轴在轴的右侧,对称轴 x=k+10,解得-，24（k+3）-(2k+2)2二次函数 y=-2（k+1)+k+有最小值-4,y最小值=k+3-(1)=-k-k+242-4，-整理得+-6=,解得 k=2 或=-,k=3-1，不合题意舍去,k2【总结升华】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出,第二

8、种是配方法，第三种是公式法.举一反三：举一反三：【变式变式】已知y (k 3)xk【答案】y (k 3)x22k4是二次函数,求的值k2k4k2k 4 2,是二次函数,则k 3 0，由k k 4 2得k k 6 0,即(k 3)(k 2)0，得k1 3,k2 2.显然,当 k-3 时,原函数为=，不是二次函数.k=2 即为所求类型二、二次函数的图象及性质的应用类型二、二次函数的图象及性质的应用222.把抛物线y x向左平移个单位,然后向上平移3 个单位,则平移后抛物线的解析式为()Ay (x1)3y (x1)3C.y (x1)3Dy (x1)3【思路点拨】抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,

9、原抛物线 y=x 顶点坐标为(0，0)，向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位后，顶点坐标为(-,3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式.【答案】D；【解析】根据抛物线的平移规律可知：y x向左平移 1 个单位可变成y (x1),再向上平移 3 个单位后可变成y (x1)3.【总结升华】(1)y ax图象向左或向右平移|h|个单位，可得y a(xh)的图象(h0 时向左,h0时向右).(2）y ax的图象向上或向下平移k|个单位，可得y ax k的图象(0 时向上,k3 时,y0;3a+b8a；其中正确的结论是（）.【思路点拨】B.D.先由抛物线的对称性求得抛物线与x 轴令一

10、个交点的坐标为(3,0）,从而可知当 x3 时,0；由抛物线开口向下可知a 得23 时，y0,故正确;抛物线开口向下，故a0，x=1，ab=0.a+b=0+aab2，a0，c2 c20 2,与 2c3 矛盾,故错误.故选：.【总结升华】本题主要考查的是二次函数的图象和性质,掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、c 之间的关系是解题的关键.举一反三：举一反三：【变式变式】如图所示是二次函数y ax bxc图象的一部分,图象经过点（-3,）,对称轴为x 1.给出四个结论：b 4ac;2ab 0；abc 0；5a b其中正确结论是().22 AB C.D【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、

11、的和、差、积的符号问题,其中利用直线x 1，x 1交抛物线的位置来判断abc，abc的符号问题应注意理解和掌握.-由图象开口向下,可知 a0，图象与 x 轴有两个交点,所以 b 4ac 0,b 4ac,确对称轴为x 故选 B.类型五、求二次函数的最值类型五、求二次函数的最值5 某商品的进价为每件 40 元,售价为每件 50 元,每个月可卖出 2件;如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元).设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数),每个月的销售利润为)y 元（1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围 ()每件商品的售价定为多少

12、元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为 2200 元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于220 元?【思路点拨】（1)每件商品的售价每上涨元,则每个月少卖 10 件，当每件商品的售价上涨x 元时，每个月可卖出(20-0 x)件,每件商品的利润为+50-40=10+x;(2)每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即(20-1x）(1x),当每个月的利润恰为2200 元时得到方程（0-0）(1+x)220求此方程中 x 的值【答案与解析】（)y=(21-l0 x)(50+x-4)=-10 x+10 x

13、+2100（01且为整数）2(2)y-10(5.5)+202.5-100,当 x=5 时,y 有最大值 240.5.0 x15,且 x 为整数，当 x=5 时,5+x5，00(元)；当 x=6 时，50+x=5，y240(元).当售价定为每件 55 元或 56 元时，每个月的利润最大，最大的月利润是0 元 ()当 y=220时,-10 x+210220，解得 x1=1,x2=10当 x=1 时，0=51；当0 时,50+=60.当售价定为每件 5元或 60 元时,每个月的利润为 220 元.【总结升华】做此类应用题时,要明确题目中所给的信息,并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方

14、程举一反三：举一反三：【变式变式】某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售0 箱，价格每提高 l 元，平均每天少销售箱。(1)求平均每天销售量 y(箱)与销售价 x（元/箱)之间的函数关系式.(2)求该批发商平均每天的销售利润(元)与销售价（元/箱）之间的函数关系式（)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】解：(1)y 903(x50),22b 1,所以b 2a，又由 a，ba，可得 5ab，正确.2a-化简得 y=-3+0(50 x55）.（2）w(x40）(

15、-3x+24)3x2360 x9600(50 x55).（3)w=3x 360 x9600，a0，抛物线开口向下当x 2b 60时,有最大值，2a又 x1 的图象是在直线 y上方的两部分.答案:D【变式变式 2 2】已知:抛物线y x(a 2)x2a(a为常数，且a 0）2-（1)求证:抛物线与x轴有两个交点；（2)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B左侧),与y轴的交点为C.当AC 2 5时,求抛物线的解析式;将中的抛物线沿x轴正方向平移t个单位(t0)，同时将直线l：y 3x沿y轴正方向平移t个单位.平移后的直线为l,移动后A、B的对应点分别为A、B.当t为何值时,在直线l上存在点

16、P，使得ABP为以AB为直角边的等腰直角三角形?【答案】（)证明：令y 0,则x(a 2)x2a 0.=(a2)8a (a2).a 0,a 2 0.0方程x(a 2)x2a 0有两个不相等的实数根.抛物线与x轴有两个交点.()令y 0,则x(a 2)x2a 0,解方程,得x1 2,x2 aA在B左侧,且a 0,抛物线与x轴的两个交点为A(a,0),B(2,0)抛物线与y轴的交点为C,C(0,2a).AO a,CO 2a.222在 RtAOC中,AO CO (2 5),22222a2(2a)2 20-可得a 2a 0，a 2.抛物线的解析式为y x 4.依题意,可得直线l的解析式为y 3xt,2A(t 2,0),B(t 2,0)，AB AB 4.ABP为以AB为直角边的等腰直角三角形,当PAB90时,点P的坐标为(t 2,4)或(t 2,4).3(t 2)t 4.解得t 51或t 22当PBA90时,点P的坐标为(t 2,4)或(t 2,4).3(t 2)t 4.解得t 51或t （不合题意，舍去）2251或t 22综上所述，t-