1996考研数二真题及解析.pdf
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1、欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!第 1 页 共 16 页1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设232()xyx e,则0 xy.(2)1221(1)xx dx.(3)微分方程250yyy的通解为.(4)31lim sinln(1)sinln(1)xxxx.(5)由曲线1,2y xxx 及2y 所围图形的面积S.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字
2、母填在题后的括号内.)(1)设当0 x 时,2(1)xeax bx是比2x高阶的无穷小,则()(A)1,12ab(B)1,1ab(C)1,12ab (D)1,1ab(2)设函数()fx在区间(,)内有定义,若当(,)x时,恒有2|()|fxx,则0 x 必是()fx的()(A)间断点(B)连续而不可导的点(C)可导的点,且(0)0f (D)可导的点,且(0)0f (3)设()fx处处可导,则()(A)当lim()xfx,必有lim()xfx (B)当lim()xfx ,必有lim()xfx(C)当lim()xfx,必有lim()xfx (D)当lim()xfx ,必有lim()xfx(4)在区
3、间(,)内,方程1142|cos0 xxx()(A)无实根(B)有且仅有一个实根欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!第 2 页 共 16 页(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根(5)设(),()fx gx在区间,ab上连续,且()()gxfx m(m为常数),由曲线(),y gx(),y fx x a及x b所围平面图形绕直线y m旋转而成的旋转体体积为()(A)2()()()()bam fx gx fx gx dx(B)2()()()()bam fx gx fx gx dx(C)()()()()bam fx gx fx gx d
4、x(D)()()()()bam fx gx fx gx dx三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)(1)计算ln2201xe dx.(2)求1 sindxx.(3)设2022(),(),txfu duyft 其中()fu具有二阶导数,且()0fu,求22dydx.(4)求函数1()1xfxx在0 x 点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.(5)求微分方程2yy x 的通解.(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为22a b、,用过此柱体底面的短轴与底面成角(02)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V.四、(本题满分 8 分)计算不定积分22arcta
5、n(1)xdxxx.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!第 3页 共 16页五、(本题满分 8 分)设函数231 2,1,(),12,1216,2.xxfxxxxx (1)写出()fx的反函数()gx的表达式;(2)()gx是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.六、(本题满分 8 分)设函数()y yx由方程3222221yyxyx所确定,试求()y yx的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分 8 分)设()fx在区间,ab上具有二阶导数,且()()0fafb,()()0fafb,试证明:存在(,)ab和(,)ab,使()0f
6、及()0f.八、(本题满分 8 分)设()fx为连续函数,(1)求初值问题0(),0 xy ayfxy 的解()yx,其中a为正的常数;(2)若|()|fxk(k为常数),证明:当0 x 时,有|()|(1)axkyxea.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!第 4 页 共 16 页2121yxx xyO1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】13【解析】132221132xxyx ee,02111323xy.(2)【答案】2【解析】注意到对称区间
7、上奇偶函数的积分性质,有原式 112222112112110 22xxxxdxxxdx .【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质:若()fx在,aa上连续且为奇函数,则()0aafxdx;若()fx在,aa上连续且为偶函数,则0()2()aaafxdxfxdx.(3)【答案】12cos2sin2xye cx cx【解析】因为250yyy是常系数的线性齐次方程,其特征方程2250rr 有一对共轭复根1212r,ri.故通解为12cos2sin2xye cx cx.(4)【答案】2【解析】因为x 时,sinln 1ln 1kkkxxx(k为常数),所以,原式3131limsinln 1lims
8、inln 1limlim3 12xxxxxxxxxxxx .(5)【答案】1ln22【解析】曲线1yx,x 2y 的交点是 1 2,2211,xyxxx 当1x 时1yxx(单调上升)在2y 上方,于是212211211ln 2ln2.22Sxdxxxxx 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!第 5页 共 16页(1)【答案】(A)【解析】方法 1:用带皮亚诺余项泰勒公式.由21xeax bx222112!xxxax bx 222112bxaxxx 令,可得10111202
9、b,a,b.a,应选(A).方法 2:用洛必达法则.由2200(1)2limlim0,2xxxxeax bxeaxbxx洛有0lim 2101.xxeaxbbb 又由00221 21limlim02222xxxxeaxbeaaax.应选(A).(2)【答案】(C)【解析】方法一:首先,当0 x 时,|(0)|0(0)0ff.而按照可导定义我们考察2()(0)()00(0)fxffxxxxxxx,由夹逼准则,0()(0)(0)lim0 xfxffx,故应选(C).方法二:显然,(0)0f,由2|()|fxx,(,)x,得2()1(,0)(0,)fxxx,即2()fxx有界,且200()(0)()
10、(0)limlim0 xxfxffxfxxx .故应选(C).方法三:排除法.令3(),(0)0,fxx f 故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!第 6页 共 16页【相关知识点】定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)【答案】(D)【解析】方法一:排除法.例如()fxx,则(A),(C)不对;又令()xfx e,则(B)不对.故应选择(D).方法二:由lim()xfx ,对于0M,存在0 x,使得当0 x x时,()fxM.由此,当0 x x时,由拉格朗日中值定理,0000()()()(
11、)()()()fxfxfx xfxM x xx ,从而有lim()xfx,故应选择(D).【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数()fx满足(1)在闭区间,ab上连续;(2)在开区间(,)ab内可导,那么在(,)ab内至少有一点(ab),使等式()()()()fbfafb a成立.(4)【答案】(C)【解析】令1142()|cosfxxxx,则()()f xfx,故()fx是偶函数,考察()fx在(0,)内的实数个数:1142()cosfxxxx(0 x).首先注意到(0)10f,1142()()()10,222f 当02x 时,由零值定理,函数()fx必有零点,且由314211()sin0
12、42fxxxx,()fx在(0,)2单调递增,故()fx有唯一零点.当2x时,11114242()cos()()10,22fxxxx 没有零点;因此,()fx在(0,)有一个零点.又由于()fx是偶函数,()fx在(,)有两个零点.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!第 7页 共 16 页a x x dxx()y gx()y fxOymb故应选(C).【相关知识点】零点定理:设函数()fx在闭区间,ab上连续,且()fa与()fb异号(即()()0fa fb),那么在开区间(,)ab内至少有一点,使()0f.(5)【答案】(B)【解析】
13、见上图,作垂直分割,相应于,xx dx的小竖条的体积微元22()()dVm gx dxm fx dx()()()()m gxm fxm gxm fx dx 2()()()()m gxfxfx gx dx,于是 2()()()()baVm gxfxfx gx dx,故选择(B).三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)(1)【解析】方法一:换元法.令21xeu,则221ln(1),21uxu dxduu,所以3332ln2222222000011111(1)(2)11211xue dxdududuuuuu3201133lnln(2 3)2 122uu.方法二:换元法.令sinx
14、et,则coslnsin,sintxt dxdtt ,:0ln2:26xt,ln2262026cos11cossinsinsinxte dxtdtt dttt欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!第 8页 共 16页22663ln(csccot)cos ln(23)2ttt.方法三:分部积分法和换元法结合.原式ln2ln2220011()xxxxeedxed e2ln2ln2220011xxxxxeeeedxe 令xet,则:0ln2:1 2xt,原式22221133ln(1)221dtttt 3ln(23)2.【相关知识点】1.1csc
15、lncsc cotsinxdxdxxx Cx,2.0a 时,2222lndxxx aCx a.(2)【解析】方法一:2(1 sin)1 sin1 sin(1 sin)(1 sin)cosdxxdxxdxxxxx22221sincosseccoscoscosxdxdxdxxdxxxx1tancosxCx.方法二:21 sin(cossin)22dxdxxxx222(1 tan)sec222(1 tan)(1 tan)1tan222xdxdxCxxx.方法三:换元法.令tan2xt,则22222tan22arctan,sin11tan1ttxt dxxttt,原式2221222221(1)111t
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