1990年考研数学三真题及全面解析.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 1 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)(1)极限lim(3)nnnnn_.(2)设函数()f x有连续的导函数,(0)0,(0)ffb,若函数()sin,0,(),0f xaxxF xxAx 在0 x 处连续,则常数A=_.(3)曲线2yx与直线2yx所围成的平面图形的面积为_.(4)若线性方程组121232343414,xxaxxaxxaxxa 有解,则常数1234,aaaa应满足条件_.(5)一射手

2、对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为_.二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数sin()tanxf xxx e,则()f x是 ()(A)偶函数 (B)无界函数 (C)周期函数 (D)单调函数(2)设函数()f x对任意x均满足等式(1)()fxaf x,且有(0),fb其中,a b为非零常 数,则 ()(A)()f x在1x 处不可导 (B)()f x在1x 处可导,且(1)fa(C)()f x在1x 处可导,且(1)fb (D)()f x在1x

3、 处可导,且(1)fab(3)向量组12,s 线性无关的充分条件是 ()(A)12,s 均不为零向量(B)12,s 中任意两个向量的分量不成比例(C)12,s 中任意一个向量均不能由其余1s个向量线性表示 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 2 (D)12,s 中有一部分向量线性无关(4)设,A B为两随机事件,且BA,则下列式子正确的是 ()(A)P ABP A (B)P ABP A(C)P B AP B (D)()P BAP BP A(5)设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为 m-1 1 P Xm 12 12 则下列式

4、子正确的是 ()(A)XY (B)0P XY (C)12P XY (D)1P XY 三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.)(1)求函数2ln()21xetI xdttt在区间2,e e上的最大值.(2)计算二重积分2yDxedxdy,其中D是曲线24yx和29yx在第一象限所围成的区域.(3)求级数21(3)nnxn的收敛域.(4)求微分方程sincos(ln)xyyxx e的通解.四、(本题满分 9 分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用1x(万元)及报纸广告费用2x(万元)之间的关系有如下经验公式:22121212

5、15 14328210.Rxxx xxx(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为 1.5 万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分 6 分)m-1 1 P Ym 12 12 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 3 设()f x在闭区间0,c上连续,其导数()fx在开区间(0,)c内存在且单调减少；(0)0f,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f abf af b,其中常数ab、满足条件0ababc.六、(本题满分 8 分)已知线性方程组 1234512345234512345,32

6、30,226,54332,xxxxxaxxxxxxxxxbxxxxx(1)ab、为何值时,方程组有解?(2)方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时,求出方程组的全部解.七、(本题满分 5 分)已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得0kA,试证明矩阵EA可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).八、(本题满分 6 分)设A是n阶矩阵,1和2是A的两个不同的特征值,12,XX是分别属于1和2的特征向量.试证明12XX不是A的特征向量.九、(本题满分 4 分)从0,1,2,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：1A 三个数字中不含 0 和 5；2A

7、三个数字中不含 0 或 5.十、(本题满分 5 分)一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为:0.50.50.5(),0,0,(,)0,xyx yeeexyF x y1-若其他.(1)问X和Y是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率.十一、(本题满分 7 分)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 4 某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为 72 分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的外语成绩在 60

8、分至 84 分之间的概率.附表 x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ()x 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中()x是标准正态分布函数.1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 5 (1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子3nnnn.3(3)(3)lim()lim13nnnnnnnnnnnnnnnnnn 3lim3nnnnnn

9、nnn,再分子分母同时除以n,有 原式4lim3111nnn.因为lim0nan,其中a为常数,所以原式42.1 1(2)【答案】ba【解析】由于()F x在0 x 处连续,故0(0)lim()xAFF x.0lim()xF x为“00”型的极限未定式,又()f x在点0处导数存在,所以 00()sin()coslimlim1xxf xaxfxaxAbax.【相关知识点】函数()yf x在点0 x连续：设函数()yf x在点0 x的某一邻域内有定义,如果00lim()(),xxf xf x则称函数()f x在点0 x连续.(3)【答案】142【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22xx,解

10、得1x 和2x,故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为 2212Sxxdx 223111124.232xxx(4)【答案】12340aaaa【解析】由于方程组有解()()r Ar A,对A作初等行变换,x y O 2 1欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 6 第一行乘以 1加到第四行上,有 11223341411001 100 01100 11000110 011 10010101aaaaaaaaa,第二行加到第四行上,再第三行乘以 1加到第四行上,有 11223312341241100110001101100011110

11、0110aaaaaaaaaaaaa.为使()()r Ar A,常数1234,aaaa应满足条件:12340aaaa.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是mn矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是()()r Ar A(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组).设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则（1）有唯一解 ()().r Ar An（2）有无穷多解 ()().r Ar An（3）无解 ()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.(5)【答案】23【解析】这是一个四重伯

12、努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次独立的射击,设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y服从参数804,81np的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p,它是至少命中一次的对立事件.依题意 48012(1)118133ppp .本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表示一次射击的命中率,则(4,)XBp,依题意 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 7 41101,81kP XP Xk 即412(1).813pp【相关知识点】二项分布的概率公

13、式：若(,)YB n p,则(1)kkn knP YkC pp,0,1,kn.二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】(B)【解析】由于sin2lim2xxx ee,而2limtanxx,所以,sin2limtanxxxx e,故()f x无界.或考察()f x在2(1,2,)4nxnn的函数值,有22lim()limnnnnf xx e,可见()f x是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确.由444444sinsinfefe,知(A)不正确；由0044f,f,而 00f,知(D)不正确.证明(C)不正确可用反证法.设 sinxg xtan x e,于是 g

14、x的定义域为0122Dx|xk,k,且 g x的全部零点为012nxn,n,.若 f xxg x以T0T 为周期,则有 xT g xTxg x,xD.令0 x,有 0Tg T,即 0g T.从而Tk,其中k为某一正数.于是2k也是 xg x的周期.代入即得,对xD 有 222xkg xkxkg xxg x.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 8 这表明 20k g x在xD上成立,于是 0g x 在xD上成立,导致了矛盾.故 f xxg x不可能是周期函数.【相关知识点】极限的四则运算法则:若0lim()xxf xA,0li

15、m()xxg xB,则有 0lim()()xxf xg xAB.(2)【答案】(D)【解析】通过变量代换1tx或按定义由关系式(1)()fxaf x将()f x在1x 的可导性与()f x在0 x 的可导性联系起来.令1tx,则()(1)f taf t.由复合函数可导性及求导法则,知()f t在1t 可导,且 11()(1)(1)(0)ttf taf ttafab,因此,应选(D).【相关知识点】复合函数求导法则:如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx.(3)

16、【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,s 线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,s 线性无关.例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0),该向量组线性相关.但(A)(B)(D)均成立.根据“12,s 线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,)iis可以由 111,iis线性表出.”或由“12,s 线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,)iis均不能由111,iis线性表出.

17、”故选(C).(4)【答案】A【解析】由于BA,所以ABA,于是有 P ABP A.故本题选 A.对于 B 选项,因为BA,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以 P ABP B,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 9 而不是 P ABP A,故 B 错.对于 C 选项,因为BA,由条件概率公式()()P ABP B AP A,当,B A是相互独立的事件时,才会有 P B AP B；所以 C 错.对于 D 选项,因为BA,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故0P BA,所以(D)错.(5)【答案】(C)【解析】由离散

18、型随机变量概率的定义,有 1,11,1P XYP XYP XY 1111P XP YP XP Y 1111122222.故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错.三、计算题(本题满分 20 分,每小题 5 分.)(1)【解析】在2,xe e上,22lnln()0211xxI xxxx,故函数()I x在2,e e上单调增加,最大值为2()I e.由22(1)1(1)(1)(1)dxdxdxxx,有 2222ln1()ln11eeeetI edttdt

19、t 2222lnln11()1111eeeeeeeetdttdttt tttt 2221ln(1)2ln(1)111eeee 11ln1eee.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 10 ()()()()()F ttfttft.2.假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则,uv dxuvu vdx 或者.udvuvvdu(2)【解析】区域D是无界函数,设 0,0,32byyDDybx yybx,不难

20、发现,当b 时有bDD,从而 222203limlimbybyyyybbDDxedxdyxedxdyedyxdx 20111lim()249bybyy edy 2220055lim lim72144bbytbbyedytye dt 255lim(1).144144bbe(3)【解析】因系数21(1,2,)nann,故 2212211limlimlim111nnnnnnanann,这样,幂级数的收敛半径11R.因此当131,x,即24x时级数绝对收敛.当2x 时,得交错级数211(1)nnn；当4x 时,得正项级数211nn,二者都收敛,于是原级数的收敛域为2,4.【相关知识点】1.求收敛半径的

21、方法：如果1nlimnnaa,其中1,nnaa是幂级数0nnna x的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径 29yx 24yxO x y 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 11 1,0,0,0,.R 2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)nnnu满足：(1)1,1,2,;nnuun (2)lim0.nnu 则11(1)nnnu收敛,且其和满足1110(1),nnnuu余项1.nnru 3p级数：11pnn当1p 时收敛；当1p 时发散.(4)【解析】方法 1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解.

22、coscossinlnxdxxdxxyeexedxC sinsinln lnxxexdxCexxxC.方法 2:用函数()cossinP x dxxdxxeee同乘方程两端,构造成全微分方程.方程两端同乘sin xe,得sinsinsinsincos()()lnxxxxeyyexyeyex,再积分一次得 sinlnlnxyeCxdxCxxx.最后,再用sin xe同乘上式两端即得通解sin lnxyexxxC.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()yP x yQ x的通解为 ()()()P x dxP x dxyeQ x edxC,其中C为任意常数.四、(本题满分 9 分)【解析】(1)利润

23、为销售收入减去成本,所以利润函数为 22121212121514328210()xxx xxxxx 221212121513318210.xxx xxx 由多元函数极值点的必要条件,有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 12 1211212248130,0.75,1.25.820310,xxxxxxxx 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用 0.75 万元,报纸广告费用 1.25 万元可获最大利润.(2)若广告费用为 1.5 万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)221212121513318210

24、,xxx xxx 在121.5xx时的条件最大值.拉格朗日函数为 221212121212(,)1513318210(1.5),L x xxxx xxxxx 由 1211221248130,820310,1.50LxxxLxxxLxx 120,1.5.xx 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费 1.5 万元全部用于报纸广告,可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法:要找函数(,)zf x y在附加条件(,)0 x y下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,),L x yf x yx y 其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：(,)(,

25、)0,(,)(,)0,(,)0.xxyyfx yx yfx yx yx y 由这方程组解出,x y及,这样得到的(,)x y就是函数(,)f x y在附加条件(,)0 x y下的可能极值点.五、(本题满分 6 分)【解析】方法 1:当0a 时,()()()()f abf bf af b,即不等式成立；若0a,因为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 13 2121 ()()()(0)()()()(0)()()()(),f abf af bff abf bf affafaa ff 其中120abab.又()fx单调减少,故21

26、()()ff.从而有()()()(0)0f abf af bf,即()()()f abf af b.方法 2:构造辅助函数,将式子移到不等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令()()()(),0,F xf xf af ax xb,由于(0)0f,所以(0)0F,又因为()()(),F xfxfax且0a,()fx在(0,)b单调减少,所以()0F x,于是()F x在0,b上单调递增,故()(0)0F bF,即()()()f abf af b,其中0ababc.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x满足在闭区间,a b上连续；在开区间,a b内可导,那么在,a b内至少有一点(

27、)ab,使等式()()()()f bf afba成立.六、(本题满分 8 分)【解析】本题中,方程组有解()()r Ar A.(相关定理见第一题(4)对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以 3、5分别加到第二、四行上,有 111111111132113001226301226012265433120122625aaabba,第二行乘以1、1分别加到第三、四行上,第二行再自乘 1,有 1111112263.322aabaa(1)当30ba且220a,即1,3ab时方程组有解.(2)当1,3ab时,方程组的同解方程组是 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供

28、优质的文档！超级狩猎者 14 1234523451,2263,xxxxxxxxx 由()523nr A,即解空间的维数为 3.取自变量为345,x xx,则导出组的基础解系为 123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)TTT.(3)令3450 xxx,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)T.因此,方程组的所有解是1 12233kkk,其中123,k k k为任意常数.【相关知识点】若1、2是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系,则Axb的通解形式为1 122,kk其中12,是0Ax 的基础解系,是Axb的一个特解.七、(本题满分 5 分)【解析】若A、B是n

29、阶矩阵,且,ABE则必有.BAE于是按可逆的定义知1AB.如果对特征值熟悉,由0kA 可知矩阵A的特征值全是 0,从而EA的特征值全是 1,也就能证明EA可逆.由于0kA,故 21()kkkEAEAAAEAE.所以EA可逆,且121kEAEAAA.八、(本题满分 6 分)【解析】(反证法)若12XX是A的特征向量,它所对应的特征值为,则由定义有：1212()()A XXXX.由已知又有 12121122()A XXAXAXXX.两式相减得 1122()()0XX.由12,知12,不全为 0,于是12,XX线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12XX不是A的特征向量.【相关知

30、识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 15 向量.九、(本题满分 4 分)【解析】样本空间含样本点总数为310C；即十个数字任意选三个有多少种选择方案.有利于事件1A的样本点数为38C；十个数字除去 0 和 5 任意选三个有多少种选择方案.有利于事件2A的样本点数为33982CC；十个数字除去 0 任意选三个的选择方案和十个数字除去 5 任意选三个的选择方案再减去中间多算了一次的方法数,

31、即是事件1A被加了两次,所以应该减去38C.由古典型概率公式,3813107();15CP AC33982310214()15CCP AC.【相关知识点】古典型概率公式：()iiAP A 有利于事件 的样本点数样本空间的总数.十、(本题满分 5 分)【解析】(1)由连续型随机变量边缘分布的定义,且lim0,axxe(a为常数)有 X和Y的边缘分布函数分别为 0.51,0,()(,)lim(,)0,0;xXyexFxF xF x yx 若若 0.51,0,()(,)lim(,)0,0.yYxeyFyFyF x yy 若若 由于对任意实数,x y都满足(,)()()XYF x yFx Fx.因此X

32、和Y相互独立.(2)因为X和Y相互独立,所以有 0.1,0.10.10.1P XYP XP Y 0.050.050.11(0.1)1(0.1)XYFFeee.十一、(本题满分 7 分)【解析】若已知正态分布的期望和方差,在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率,通过()x表计算.但是正态分布的参数与2未知时,则应先根据题设条件求出欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！超级狩猎者 16 与2的值,再去计算有关事件的概率.设X为考生的外语成绩,依题意有2(,)XN,且72,但2未知.所以可标准化得72(0,1)XN.由标准正态分布函数概率的计算公式,有 96722496196110.023,P XP X 241 0.0230.977.查表可得 242,12,即2(72,12)XN,72608412(1)10.68212XPXP .