1992考研数二真题及解析.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设3(),(1),txf tyf e其中f可导,且(0)0f,则0tdydx.(2)函数2cosyxx在0,2上的最大值为.(3)2011limcosxxxex.(4)21(1)dxx x.(5)由曲线xyxe与直线yex所围成的图形的面积S.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

2、是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0 x 时,sinxx是2x的 ()(A)低阶无穷小 (B)高阶无穷小(C)等价无穷小 (D)同阶但非等价的无穷小(2)设22 ,0(),0 xxf xxx x,则 ()(A)22 ,0()(),0 xxfxxx x (B)22(),0(),0 xx xfxxx(C)22 ,0(),0 xxfxxx x (D)22,0(),0 xx xfxxx(3)当1x 时,函数12111xxex的极限 ()(A)等于 2 (B)等于 0(C)为 (D)不存在但不为(4)设()f x连续,220()()xF xf tdt,则()F x等于 ()(

3、A)4()f x (B)24()x f x(C)42()xf x (D)22()xf x 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win(5)若()f x的导函数是sin x,则()f x有一个原函数为 ()(A)1 sin x (B)1 sin x(C)1 cos x (D)1 cos x 三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.)(1)求123lim()6xxxx.(2)设函数()yy x由方程1yyxe所确定,求220 xd ydx的值.(3)求321xdxx.(4)求01 sin xdx.(5)求微分

4、方程3()20yx dxxdy的通解.四、(本题满分 9 分)设21,0(),0 xxxf xex,求31(2)f xdx.五、(本题满分 9 分)求微分方程32xyyyxe的通解.六、(本题满分 9 分)计算曲线2ln(1)yx上相应于102x的一段弧的长度.七、(本题满分 9 分)求曲线yx的一条切线l,使该曲线与切线l及直线0,2xx所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分 9 分)已知()0,(0)0fxf,试证：对任意的二正数1x和2x,恒有 1212()()()f xxf xf x 成立.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！

5、Born to win 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】3【解析】由复合函数求导法则可得 33/3(1)/()ttdydy dte fedxdx dtf t,于是03tdydx.【相关知识点】复合函数求导法则:如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为 ()()dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx.(2)【答案】36【解析】令1 2sin0yx ,得0,2内驻点6x.因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,

6、与端点值进行比较,求出最大值.又 (0)2y,()366y,()22y,可见最大值为()366y.(3)【答案】0【解析】由等价无穷小,有0 x 时,2221111()22xxx,故 22001()112limlimcoscosxxxxxxexex,上式为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,由洛必达法则,有 原式0lim0sinxxxex.(4)【答案】1ln22【解析】令b,原式2222111limlim(1)(1)bbbbdxxxdxx xx x 211lim()1bbxdxxx(分项法)221111lim lnlim21bbbbxdxx (凑微分法)2111lim ln

7、limln(1)2bbbbxx21lim lnln221bbb 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 221lim lnln212bbb1ln1ln221ln22.(5)【答案】12e【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为(0,0),(1,)e,则所围图形面积为 10()xSexxedx,再利用分部积分法求解,得 11200122xxeeSxxee dx.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识

8、点】分部积分公式：假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则,uv dxuvu vdx 或者 .udvuvvdu 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(B)【解析】20sinlimxxxx为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有 2000sin1 cossinlimlimlim022xxxxxxxxx,故选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限 ()lim()xlx,(1)若0,l 称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l 称(),

9、()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；(3)若0,l 称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(2)【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算.22 (),0()()(),0 xxfxxxx 22,0,0.xx xxx 所以应选(D).欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win(3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0 x的极限是否存在,需要判定左极限0 xx和右极限 0 xx是否存在且相等,若相等,则函数在点0

10、 x的极限是存在的.11211111limlim(1)01xxxxxexex,11211111limlim(1)1xxxxxexex.0 ,故当1x 时函数没有极限,也不是.故应选(D).(4)【答案】(C)【解析】2222240()()()()2()xF xf tdtfxxxf x,故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F ttfttft.(5)【答案】(B)【解析】由()f x的导函数是sin x,即()sinfxx,得()()sincosf xfx dxxdxxC,其中C为任意常数.

11、所以()f x的原函数 12()()(cos)sinF xf x dxxC dxxC xC,其中12,C C为任意常数.令10C,21C 得()1 sinF xx.故选(B).三、(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.)(1)【答案】32e【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xxex 将函数式变形,有 63113 62233lim()lim(1)66xxxxxxxxx 3131lim6262limxxxxxxee32e.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win(2)【答案】22e【解析】函数()yy

12、 x是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方法 1：在方程两边对x求导,将y看做x的函数,得 0yyyexey,即 1yyeyxe,把0,1xy代入可得(0)ye.两边再次求导,得 2(1)()(1)yyyyyye yxeeexe yyxe,把0,1xy,(0)ye代入得(0)y22202xd yedx.方法 2：方程两边对x求导,得0yyyexe y；再次求导可得2()0yyyyye ye yxe yxe y,把0,1xy代入上面两式,解得(0)ye,(0)y22202xd yedx.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果()ug x在点x可导,而()yf x在点()ug

13、 x可导,则复合函数()yf g x在点x可导,且其导数为()()dyf ug xdx 或 dydy dudxdu dx,2.两函数乘积的求导公式：()()()()()()f xg xfxg xf xg x.3.分式求导公式：2uu vuvvv.(3)【答案】3222(1)1xxC 其中C为任意常数.【解析】方法 1：积分的凑分法结合分项法,有 3222222211(1)1(1)(1)22111xxxdxdxdxxxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 22211(1)(1)21xdxx 22221111(1)

14、(1)221x dxdxx 32221(1)13xxC 其中C为任意常数.方法 2：令tanxt,则2secdxtdt,33222tansectan(sec)(sec1)(sec)1xdxttdttdttdtx 3322211secsec(1)133ttCxxC,其中C为任意常数.方法 3：令2tx,则1,2xt dxt,321211xtdxdttx 此后方法同方法 1,积分的凑分法结合分项法 3222111(1)(1)1231tdtxxCt,其中C为任意常数.(4)【答案】4(21)【解析】注意2()()(),f xf xf x不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实际上是分段函数的积分.

15、由二倍角公式 sin2sincos22,则有 2221 sinsincos2sincossincos222222.所以 20001 sinsincossincos2222xxxxxdxdxdx 202cossinsincos2222xxxxdxdx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 2022 sincos2cossin2222xxxx 4(21).(5)【答案】315yCxx,其中C为任意常数【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 21122yyxx.由一阶线性微分方程的通解公式,得 1122212

16、dxdxxxyex edxC 315Cxx 其中C为任意常数.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()yP x yQ x的通解为()()()P x dxP x dxyeQ x edxC,其中C为任意常数.四、(本题满分 9 分)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令2xt,则.dxdt当1x 时,1t ；当3x 时,1t,于是 310121110(2)()1tf xdxf t dtt dte dt分段 01301171.33tttee 五、(本题满分 9 分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应

17、的齐次方程的特征方程 2320rr有两个根为121,2rr,而非齐次项1,1xxer 为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解()xYx axb e,代入方程可得1,12ab ,所求解为 212(2)2xxxxyC eC exe,其中12,C C为任意常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()yx是二阶线性非齐次方程 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win()()()yP x yQ x yf x的一个特解.()Y x是与之对应的齐次方程()()0yP x yQ x y的通解,则*()()yY xy

18、x是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x,可用特征方程法求解：即()()0yP x yQ x y中的()P x、()Q x均是常数,方程变为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r；分三种情况：(1)两个不相等的实数根12,r r,则通解为1212;rxr xyC eC e(2)两个相等的实数根12rr,则通解为112;rxyCC x e(3)一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()yP x yQ

19、x yf x的一个特解*()yx,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xmf xPx e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxmyxx Qx e 的特解,其中()mQx是与()mPx相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果()()cos()sinxlnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()yp x yq x yf x的特解可设为*(1)(2)()cos()sinkxmmyx eRxxRxx,其中(1)()mRx与(2)()mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征方

20、程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、(本题满分 9 分)【解析】由于2ln(1)yx,2222222(1),1,1(1)xxyyxx222111,(0)12xdsy dxdxxx,所以 221/21/2220012(1)11xxsdxdxxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 1/21/21/22000211111112dxdxdxxxx 1/20111lnln3122xx.【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线AB的显式表示为()yf xaxb,则弧微分为 21()dsfx dx,弧长21()

21、basfx dx,其中()f x在,a b有连续的导数.七、(本题满分 9 分)【解析】过曲线上已知点00(,)xy的切线方程为00()yyk xx,其中当0()y x存在时,0()ky x.如图所示,设曲线上一点(,)tt处的切线方程为 1()2ytxtt,化简即得 22xtyt.面积 2014()2232xtS tx dxttt,其一阶导数 3/21/2111()222tS tttt t.令()0S t解得唯一驻点1t,而且S在此由负变正,即()S t在(,1单调递减,在1,)单调递增,在此过程中()S t在1t 时取极小值也是最小值,所以将1t 代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为

22、122xy.八、(本题满分 9 分)【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设210 xx,要证的不等式是 1221()()()(0)f xxf xf xf.x y O 2 tt 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 在10,x上用中值定理,有 11()(0)(),f xffx10 x,在212,xxx上用中值定理,又有 1221212()()(),f xxf xfx xxx,由()0,fx所以()fx单调减,而12xx,有()()ff,所以 12211()()()(0)()f xxf xf xff x,即 1212()()()f xxf xf x.证法二：用函数不等式来证明.要证 11()()(),0f xxf xf x x.令辅助函数11()()()()xf xf xf xx,则1()()()xfxfxx.由()0,()fxfx单调减,1()(),()0fxfxxx,由此,11()(0)()(0)()0(0)xf xff xx.改x为2x即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x满足在闭区间,a b上连续,在开区间,a b内可导,那么在,a b内至少有一点()ab,使等式()()()()f bf afba成立.