1992考研数四真题及解析.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)设 limxxxtf ttxt,则 ft _ .(2)设商品的需求函数为1005QP,其中,Q P分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于 1,则商品价格的取值范围是_ .(3)已知 sinf xx,21fxx,则 x _ 的定义域为_ .(4)矩阵1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1A的非零特征值是_ .(5)设对于事件A、B、

2、C,有 14P AP BP C,0P ABP BC,18P AC,则A、B、C三个事件中至少出现一个的概率为_ .二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设2()()xaxF xf t dtxa,其中()f x为连续函数,则lim()xaF x等于 ()(A)2a (B)2()a f a(C)0 (D)不存在(2)当0 x 时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?()(A)2x (B)1 cos x(C)211x (D)sinxx(3)设A,B,AB11AB均

3、为n阶可逆矩阵,则111AB等于 ()(A)11AB (B)AB(C)1A ABB (D)1AB(4)设12m,均为n维列向量,那么,下列结论正确的是 ()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win(A)若11220mmkkk,则12m,线性相关(B)若对任意一组不全为零的数12mk,k,k,都有11220mmkkk,则 12m,线性无关(C)若12m,线性相关,则对任意一组不全为零的数12mk,k,k都有 11220mmkkk(D)若120000m,则12m,线性无关(5)设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则 (

4、)(A)()()P CP AB (B)()()P CP AB (C)()()()1P CP AP B (D)()()()1P CP AP B 三、(本题满分 5 分)求极限1lncos1lim1 sin2xxx.四、(本题满分 5 分)计算arctan.xxeIdxe 五、(本题满分 5 分)求连续函数 f x,使它满足 10sinf tx dtfxxx.六、(本题满分 6 分)设sin()(,)xzxyxy,求2zx y(其中函数(,)u v具有二阶偏导数).七、(本题满分 6 分)设生产某产品的固定成本为 10,而当产量为x时的边际成本函数为 240203MCxx,边际收入函数为32 10

5、MRx.试求：(1)总利润函数；(2)使总利润最大的产量 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 八、(本题满分 6 分)求证：方程cos0 xpqx恰有一个实根,其中p,q为常数,且01q 九、(本题满分 8 分)给定曲线21yx.(1)求曲线在横坐标为0 x的点处的切线方程；(2)求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.十、(本题满分 5 分)设矩阵101020101A,矩阵X满足2AXEAX.其中E为三阶单位矩阵,试求出矩阵X.十一、(本题满分 5 分)设线性方程组 123123123220,20,30 xx

6、xxxxxxx 的系数矩阵为A,三阶矩阵0B,且0AB.试求的值.十二、(本题满分 6 分)已知实矩阵3 3()ijAa满足条件：(1)(,1,2,3)ijijaA i j,其中ijA是ija的代数余子式；(2)110a.计算行列式A.十三、(本题满分 7 分)假设测量的随机误差2(0,10)XN,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).附表 1 2 3 4 5 6 7 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win e 0.368

7、0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十四、(本题满分 7 分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20,和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的概率分布、数学期望()E X和方差()D X.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】221tet 【解析】此题考查重要极限：1li

8、m(1).xxex 将函数式变形,有 2222limlim 1x ttxxtx ttxxxttf ttttextxt,故 221tftet.【相关知识点】两函数乘积的求导公式()()()()()()f xg xfxg xf xg x.(2)【答案】(10,20【解析】根据()10050Q PP,得价格20P,又由1005QP得()5Q P,按照经济学需求弹性的定义,有()5()1005Q PPPQ PP,令55110051005PPPP,解得10P.所以商品价格的取值范围是(10,20.(3)【答案】2arcsin 1xx,02,【解析】本题主要是要弄清楚反函数和原函数的定义域、值域之间的关系

9、.由于 sinf xx的反函数arcsin x的定义域为11,而 2arcsin 1xx,故x应满足2111x ,解此不等式即得02x,.因此,x的定义域为02,.(4)【答案】4【解析】对矩阵A的特征多项式进行行列式的等价变换,注意到各列和相等,所以将第二、三、四行都加到第一行上,有 11114444111111111111111111111111EA 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 将第一行的公因式4提出到行列式外面,有 11111111411111111EA 再将第一行分别加到第二、三、四行上,有 31

10、11100044000000EA.令0EA,得矩阵A的特征值：123440,.故矩阵A的非零特征值为 4.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.(5)【答案】58【解析】因ABCAB,而0P AB,故0P ABC 由概率的广义加法公式：1111500044488P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(B)【解析】方法 1:lim()xaF x为“00”型的极限未定式,又分子分

11、母在点0处导数都存在,所以可应用洛必达法则.22()lim()lim()limxxaaxaxaxaf t dtxF xf t dtaxaxa22()lim()1xaa f xa f a.故应选(B).方法 2:特殊值法.取()2f x,则22lim()lim22xaxaxaxF xdtaxa.显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则()()()()()F tt

12、fttft.(2)【答案】(D)【解析】由于0 x 时,222111 cos,1122xxxx,故22,1 cos,11xxx是同阶无穷小.故应选(D).事实上,由洛必达法则,30sinlimxxxx为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 3200sin1 cos1limlim36xxxxxxx,可知,当0 x 时,sinxx是x的三阶无穷小量.【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限0()lim.()xxxlx(1)若0,l 称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l 称(),()xx在

13、该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；(3)若0,l 称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若0()lim()xxxx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(3)【答案】(C)【解析】因为A,B,AB都可逆,由可逆矩阵的定义,有1B BE,1AAE,11111111111111ABEAB EB BAB AABAB A.由逆矩阵运算的性质 111ABB A,所以有 1111ABCC B A.111111111ABAABBA ABB.故本题选(C)注:一般情况下,111ABAB,不要与转置的性质TTTABAB相混淆.(4)【答案】(B)【解析】选项(A)没有指明

14、12mk,k,k不全为,故(A)不正确 选项(C)要求任意一组不全为的数,这只能1ii,m全是零向量,不是线性相关欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 定义所要求的 对任意一组向量12m,120000m恒成立 而12m,是否线性相关？就是问除去上述情况外,是否还能找到不全为的一组数12mk,k,k,仍能使 11220mmkkk成立若能则线性相关,若不能即只要12mk,k,k不全为,必有11220mmkkk.可见(B)是线性无关的定义.而(D)没有指明仅当12000mk,k,k时,11220mmkkk成立故(D)不正

15、确所以应选(B).【相关知识点】向量组线性相关的定义：对任意一组不全为零的数12mk,k,k,使 11220mmkkk,则称12m,线性无关(5)【答案】(D)【解析】依题意：由“当事件A与B同时发生时,事件C必发生”得出ABC,故()()P ABP C；由概率的广义加法公式()()()()P ABP AP BP AB推出()()()()P ABP AP BP AB；又由概率的性质()1P AB,我们得出()()()()()()()1P CP ABP AP BP ABP AP B,因此应选(D).三、(本题满分 5 分)【解析】方法 1:利用洛必达法则求极限1lim()xf x,因为1lim(

16、)xf x 为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 1111sin(1)lncos(1)2tan(1)cos(1)lim()limlimlim1 sincoscos2222xxxxxxxxf xxxx 221124cos(1)limsin22xxx.方法 2:利用变量代换与等价无穷小代换,0 x 时,21cos12xx；ln(1)xx.求极限1lim()xf x,令1xt,则有 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 1100lncos(1)lncosln1(cos1)

17、lim()limlimlim1 sin1 cos1 cos222xxttxttf xxtt 222200221cos142limlim1248tttttt.四、(本题满分 5 分)【解析】方法 1:用分部积分法,有 2arctanarctan1xxxxxxxeIe deeeedxe 22arctan(1)1xxxxeeedxe 21arctanln(1).2xxxeexeC 其中C为任意常数.方法 2：换元法,令xet,则1ln,xt dxdtt,再分部积分,有 2arctan1arctantIdttdtt 221arctanarctan11dttdtttdttttttt 2arctan1ln

18、ln 12tttCt 21arctanln(1).2xxxeexeC 其中C为任意常数.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则,uv dxuvu vdx 或者 .udvuvvdu 五、(本题满分 5 分)【解析】本题实质上是个积分方程,这类问题一般都是两边对x求导化为微分方程求解,而 10f tx dt对x求导时,应先通过变量代换txu将被积函数中的x换到积分限上来.令txu,0t 时,有0u；1t 时,有ux,且xdtdu,

19、则 1001xf tx dtf u dux,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 从而有 01sinxf u duf xxxx,即 20sinxf u duxfxxx,两边求导得 22 sincosf xf xxfxxxxx.则 2sincosfxxxx.积分得 2sincosf xxxx dx 2cossinxxdx 2cossinsinxxxxdx (分部积分法)cossinxxxC.其中C为任意常数.六、(本题满分 6 分)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.

20、由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求zx,再求()zyx.由复合函数求导法,首先求xz,由题设 121cos()xzyxyy,再对y求偏导数,即得 122211cos()sin()()()xyyyzxyxyxyyy 12222211cos()sin()yyxxxyxyxyyyyy 122222321cos()sin()xxxyxyxyyyy.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)ux y vx y都在点(,)x y具有对x及对y的偏导数,函数(,)zf u v在对应点(,)u v具有连续偏导数,则复合函数(,),(,)zfx yx y在点(,)x y的

21、两个偏导数存在,且有 12zzuzvuvffxuxv xxx ；12zzuzvuvffyuyv yyy .欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 七、(本题满分 6 分)【解析】(1)因为边际成本函数是可变成本的微分,而总成本固定成本可变成本.则总成本函数 22301040203104010 xCttdtxxx,边际收入函数是总收入函数的微分,所以总收入函数 2032 10325xRt dtxx,总利润总收入总成本,所以,总利润函数 22323325104010107215RCxxxxxxxx.(2)由经济学含义MC

22、MR时,可使得总利润最大.由MCMR知2402033210 xxx,2330720 xx,于是得到驻点 12122x,x(舍去).由于272303xx,1123060 xx,即在0,内只有一个极大值点,可见,当产量为12时,总利润最大.注：本题的重点是利用变限定积分求出总成本函数与总收入函数,从而求得总利润函数 八、(本题满分 6 分)【解析】本题主要考查方程根的问题,方程根的问题一般可分为两个具体问题：一个是根的存在性问题,另一个是根的个数问题.令 cosf xxpqx,由于 limlimcosxxf xxpqx,则存在0b,使 0f b.又 limlimcosxxf xxpqx,则存在0a

23、,使 0f a.由于 cosf xxpqx在a,b上连续,由介值定理可知 0f x 在a,b内至少有实根.而 1cos0fxqx,f x在实数域上单调递增,故 f x在,内最多有一个实根.综上所述,cos0 xpqx恰有一个实根.【相关知识点】关于根的存在性问题常用的是两种方法：一种是利用连续函数介值定理；另一种是利用欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 罗尔中值定理.关于根的个数问题常用的也是两种方法：一种是利用函数的单调性；另一种是利用罗尔中值定理的推论：“若在(,)a b内()()0nfx,则方程()0f x

24、 在(,)a b内最多有n个实根.”九、(本题满分 8 分)【解析】(1)过曲线上已知点00(,)xy的切线方程为00()yyk xx,其中当0()y x存在时,0()ky x.由32yx 可知,曲线21yx在横坐标为0 x的点处的切线方程为 0230012yxx.xx (2)由(1)中所求切线方程不难求得该切线在x轴和y轴上的截距分别为020332Xx,Yx.设该切线被两个坐标轴所截线段长度为L.因为0L,而20L,所以函数L和2L应该在同一点取得极值,讨论函数2L比较方便.22222020332LXYxx,令2050093602dLxdxx,得驻点02x 又 22260091802d Ld

25、xx,显然222020 xd Ldx,由此可知2L在2x 处取极小值,即最小值.2273342minminL,L 十、(本题满分5 分)【解析】由2AXEAX,移项有2AXXAE,因式分解即 AE XAEAE.由001010100AE,知0AE,由矩阵可逆的判定定理,行列式不为0,则矩阵满秩,有AE可逆.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 故 201030102XAE.十一、(本题满分 5 分)【解析】对于条件0AB 应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组0Ax 的解；另一个是秩的信息即()()r Ar Bn

26、.要有这两种思考问题的意识.方法 1：令12221311A,对 3 阶矩阵A,由0AB,0B 知必有0A,否则A可逆,从而11()00BAABA,这与0B 矛盾.故 122210311A,用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有 102215(1)0301A.解出1.方法 2：因为0B,故B中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组0Ax 有非零解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是 122210311A,以下同方法一.【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax,有定理如下:对矩阵A按列分块,有12nA,则0Ax 的向量形式为 11220nnxxx.那么,0Ax 有非零解 1

27、2n,线性相关 12nr,n r An.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 对矩阵B按列分块,记123(,)B ,那么 123123(,)(,)(0,0,0)ABAAAA .因而0iA(1,2,3)i,即i是0Ax 的解.十二、(本题满分 6 分)【解析】因为本题矩阵为抽象矩阵,条件中涉及代数余子式,所以考虑将行列式按某一行或者某一列展开.因为1 2 3ijijaAi,j,即 111213111213212223212223313233313233T*aaaAAAAaaaAAAAaaaAAA,亦即T*AA.由逆矩

28、阵的计算公式*AAA E,故TAAA E.两边取行列式,得 2TAAAA E.因为A为三阶行列式,所以23AA EA,从而210AA,得1A 或0A.由于110a,对A按第 1 行展开,有 2221111121213131112130Aa Aa Aa Aaaa 故必有1A.【相关知识点】将行列式对任一行按下式展开,其值相等,即 11221niiiiininijijjDa Aa Aa Aa A 1,2,in,其中(1),ijijijAM ijM是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排列成的1n阶行列式,它称为ija的余子式,ijA称为ija的代数余子式.十三、(本题满分 7 分)【解析】设事件

29、A“每次测量中测量误差的绝对值大于 19.6”,因为 2(0,10)XN,即 220,10EXDX.根据正态分布的性质则有：19.6()19.6XpP AP XP 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win|0|19.60|1.96101010XXPP 11.961.961(1.96)(1.96)10XP 1(1.96)(1(1.96)22(1.96)2(1(1.96)0.05.设Y为 100 次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y服从参数为100,0.05np的二项分布.根据二项分布的定义,(1)(0,1,2)kkn

30、knP YkC ppk,则至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率为：3131012P YP YP YP YP Y 0010011100 122100 210010010010.05(10.05)0.05(10.05)0.05(10.05)CCC 10099982100 991 0.95100 0.950.050.950.052.根据泊松定理,对于成功率为p的n重伯努利试验,只要独立重复试验的次数n充分大,而p相当小(一般要求100,0.1np),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布,具体应用模式为若(,)YB n p,则当n充分大,p相当小时当Y近似服从参数为np的泊松分布,

31、即()(1)(0,1,2)!kkkn knpnnpP YkC ppekk.设Y为 100 次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y服从参数为100,0.05np的二项分布.故 3131012P YP YP YP YP Y 0122()()()110!1!2!2eeeeee 2551(1 5)0.872e.十四、(本题满分 7 分)【解析】令随机变量 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 1,0,iiXi第 个部件需调整第 个部件不需调整，1,2,3i.依题意123,XXX相互独立,且123,XXX分别服从参数为 0.

32、1,0.2,0.3 的0 1分布,即 1X 0 1 p 0.9 0.1 2X 0 1 p 0.8 0.2 3X 0 1 p 0.7 0.3 由题意知123XXXX,显然X的所有可能取值为 0,1,2,3,又123,XXX相互独立,所以(1)123123000,0,0P XP XXXP XXX 1230 0 00.90.8 0.70.504P XP XP X,1231231231231231231211 1,0,0 0,1,00,0,1 1 0 0 0 1 00 0P XP XXXP XXXP XXXP XXXP XP XP XP XP XP XP XP X3 1 0.1 0.8 0.70.9

33、0.2 0.70.9 0.8 0.30.398,P X 123123331,1,1P XP XXXP XXX 1231 1 10.1 0.20.30.006P XP XP X.由01231P XP XP XP X得出 21013 1 0.5040.3980.0060.092.P XP XP XP X 因此X的概率分布为 X 0 1 2 3 p 0.504 0.398 0.092 0.006(2)令112210.1,10.2,pP XpP X3310.3,pP X因iX均服从0 1分布,故,(1)iiiiiEXp DXpp所以123()0.1()0.2()0.3E XE XE X,欢迎您阅读并下

34、载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！Born to win 123()0.1 0.90.09,()0.20.80.16,()0.3 0.70.21D XD XD X 123XXXX.因iX服从0 1分布,且123,XXX相互独立,故由数学期望与方差的性质 123123()0.6EXE XXXEXEXEX.123123()0.46DXD XXXDXDXDX.注：X的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算：()00 1122330 0.5041 0.3982 0.0923 0.0060.6,E XP XP XP XP X 22222222()00 11223300.50410.39820.09230.0060.46.D XP XP XP XP X