1998考研数三真题及解析.pdf
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1、欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设曲线()nf xx在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0)n,则lim()nnf .(2)2ln1xdxx .(3)差分方程121050ttyyt的通解为 .(4)设矩阵,A B满足*28A BABAE,其中100020001A,E为单位矩阵,*A为A的伴随矩阵,则B .(5)设1234,XXXX是来自正态总体20,2N的简单随机样本,2122Xa XX
2、23434bXX.则当a ,b 时,统计量X服从2分布,其自由度为 .二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设周期函数 f x在,内可导,周期为 4.又 011lim1,2xffxx 则曲线 yf x在点 5,5f处的切线的斜率为 ()(A)12 (B)0 (C)1 (D)2(2)设函数 21lim,1nnxfxx讨论函数 f x的间断点,其结论为 ()(A)不存在间断点 (B)存在间断点1x (C)存在间断点0 x (D)存在间断点1x (3)齐次线性方程组21231231230,0
3、,0 xxxxxxxxx的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵0B 使得0AB,则 ()(A)2 且|0B (B)2 且|0B (C)1且|0B (D)1且|0B (4)设3n n 阶矩阵 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!1111aaaaaaAaaaaaa,若矩阵A的秩为1n,则a必为 ()(A)1 (B)11n (C)1 (D)11n(5)设1()F x与2()F x分别为随机变量1X与2X的分布函数.为使 12()()F xaF xbF x 是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ()(A)32,55ab (B)22,33a
4、b(C)13,22ab (D)13,22ab 三、(本题满分 5 分)设arctan22()yxzxye,求dz与2zx y.四、(本题满分 5 分)设22,Dx y xyx,求Dxdxdy.五、(本题满分 6 分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t)就售出,总收入为0()R 元.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为250.tRR e假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r 时的t值.六、(本题满分 6 分)设函数()f x在,a b上连续,在(,)a b内可导,且()0.fx试证存在,(,),a b 使得().()b
5、afeeefba 七、(本题满分 6 分)设有两条抛物线21ynxn和21(1)1ynxn,记它们交点的横坐标的绝对值为.na 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!(1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积nS;(2)求级数1nnnSa的和.八、(本题满分 7 分)设函数()f x在1,)上连续.若由曲线(),yf x直线1,(1)xxt t与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为 2()()(1).3V tt f tf 试求()yf x所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件229xy的解.九、(本题满分 9 分)设向
6、量1212(,),(,)TTnna aab bb都是非零向量,且满足条件0.T 记n矩阵.TA求:(1)2A;(2)矩阵A的特征值和特征向量.十、(本题满分 7 分)设矩阵101020,101A矩阵2(),BkEA其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵,使B与相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.十一、(本题满分 10 分)一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间10,20上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润 1000 元;若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为 500 元.试计算此商店经销该种商品每周
7、所得利润的期望值.十二、(本题满分 9 分)设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表,其中女生的报名表分别为 3份、7 份和 5 份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1e【解析】曲线nyx在点(1,1)处的切线斜率
8、1xy 1nxx11nxn xn,根据点斜式,切线方程为:1(1).yn x 令0y,代入1(1)yn x,则11xn,即在x轴上的截距为11nn,lim()nnflimnnn1lim(1)nnn 11lim(1)xxx1e.(2)【答案】ln xCx【解析】由分部积分公式,2ln1xdxx1ln1xdxx 1ln1xdx ln11(ln1)xdxxx 分部2ln11xdxxx ln11xdxxx ln11xCxx ln xCx.【相关知识点】分部积分公式:假定()uu x与()vv x均具有连续的导函数,则,uv dxuvu vdx或者.udvuvvdu(3)【答案】51(5)()126tt
9、yCt【解析】首先把差分方程改写成标准形式1552ttyyt,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为 50,5,rr 故齐次方程的通解为(5),ttYCC为常数.将方程右边的52t改写成512tt,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为,tyAtB 从而1(1),tyA tB代入原方程,得 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!5(1)5(),2A tBAtBt 56,60,2AAB 故 55,1272AB.于是通解为 51(5)().126ttttyYyCt(4)【答案】200040002【解析】由题设 *28A BABAE,
10、由于20A ,所以A可逆.上式两边左乘A,右乘1A,得*11128AA BAAABAAAA 28A BABE(利用公式:*1,AAA E AAE)28A BABE(移项)28A EA BE(矩阵乘法的运算法则)将2A 代入上式,整理得14EA BE.由矩阵可逆的定义,知EA,B均可逆,且 114BEA110020024 0104 0100021002200040002.(5)【答案】11,220 100【解析】由于1234,XXXX相互独立,均服从2(0,2)N,所以由数学期望和方差的性质,得 2221212(2)0,(2)1 22220E XXD XX,所以12(2)(0,20)XXN,同理
11、34(34)(0,100)XXN.又因为12(2)XX与34(34)XX相互独立,且 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!121(2)(0,1)20XXN;341(34)(0,1)100XXN,由2分布的定义,当11,20100ab时,222123411(2)(34)(2)20100XXXXX.即当11,20100ab时,X服从2分布,其自由度为2.严格地说,当10,100ab时,2(1)X;当1,020ab时,2(1)X也是正确的.【相关知识点】1、对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布.若X与Y相互独立,
12、由数学期望和方差的性质,有()()()E aXbYcaE XbE Yc,22()()()D aXbYca D Xb D Y,其中,a b c为常数.2、定理:若2(,)XN,则(0,1)XN.3、2分布的定义:若1,nZZ相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N,则 221()niiZn.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】根据导数定义:0()()limxf xxf xfxx 0(1)(1)lim2xffxx01(1)(1)lim2xfxfx1(1)2f 1
13、所以 0(1)(1)(1)lim2.xfxffx 因为()f x周期为 4,()fx的周期亦是 4,即()(4)fxfx,所以(5)f(14)f(1)2f .所以曲线()yf x在点5,(5)f处的切线的斜率为(5)f(1)2f .选(D).(2)【答案】(B)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该()f x的(分段)表达式,然后再讨论()f x的性质.不能隔着极限号去讨论.【解析】现求()f x的(分段)表达式:当1x 时,21()lim1nnxf xx21 22lim1nnnnx
14、xx21 22lim01lim1nnnnnxxx0;当1x 时,21()lim1nnxf xx21 1lim1 1nn221;当1x 时,21()lim1nnxf xx 21 1lim11nn 020;当1x 时,21()lim1nnxf xx2lim 1lim 1nnnxx2011nxx1x.由此,0,1,0,1,()1,1,1,1,0,1.xxf xxxxx 当当当当当 即0,11,()1,1,1,1.xxf xxxx 当或当当 再讨论函数()f x的性质:在1x 处,1limxfx1lim 1xx1 1 0,1lim10 xfxf,所以,11limlim0 xxfxfx,函数()f x在
15、1x 处连续,不是间断点.在1x 处,1limxf x1lim 0 x0;1limxf x1lim 1xx2;所以 1limxf x 1limxfx,函数()f x在1x 处不连续,是第一类间断点.故选(B).(3)【答案】(C)【解析】方法 1:由0AB 知()()3r Ar B,又0,0AB,于是1()3,r A 1()3r B,故0,0AB,即 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!221010101101 1(1)01 11111A,得1.应选(C).方法 2:由0AB 知()()3r Ar B,又0,0AB,于是1()3,r A
16、1()3r B,故0B.显然,1时1 1 11 1 11 1 1A,有1()3,r A故应选(C).作为选择题,只需在2 与1中选择一个,因而可以用特殊值代入法.评注:对于条件0AB 应当有两个思路:一是B的列向量是齐次方程组0Ax 的解;二是秩的信息,即()()r Ar Bn,要有这两种思考问题的意识.(4)【答案】(B)【解析】1111 100(1)1101011001aaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaa 1(1)0100(2)00100001naaaaaaa 其中(1)变换:将 1 行乘以(-1)再分别加到其余各行;(2)变换:将其余各列分别加到第 1列.由阶梯形矩阵知,当1(1
17、)0na,即11an时,有()1r An,故应选(B).(5)【答案】(A)【解析】根据分布函数的性质lim()1xF x,即 121lim()()()()xF xFaFbFab .在所给的四个选项中只有(A)满足1ab,故应选(A).【相关知识点】分布函数 F x的性质:欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!y x O(1)F x单调不减;(2)lim()()0,lim()()1;xxF xFF xF (3)F x是右连续的.三、(本题满分 5 分)【解析】arctanarctan2222()()()yyxxdzed xyxyd e a
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