人大微积分课件8-7偏导数在几何上的应用.ppt

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1、第七节第七节 偏导数在几何上的应用偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线(1)(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.),(0000tttzzyyxxMD D+=D D+D D+D D+对应于对应于;),(0000ttzyxM=对应于对应于设设设空间曲线的方程设空间曲线的方程1一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为,0,时时即即当当D D tMM曲线在曲线在M M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向

2、向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过法平面：过M M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程tcos+,tez31+=在在0=t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程例例1 1求曲线求曲线:G G，tysin2=即即1.1.空间曲线方程为空间曲线方程为,),(000处处在在zyxM法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为3.3.空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为例例2 2 求曲线求曲线6222=+zyx，0=+zyx在在点点)1,2,1(-处的切线及法平面方程处的切线及法平面

3、方程.解解 1 1 直接利用公式直接利用公式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得由此得切向量由此得切向量所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线令令则则由于曲线是曲面上通过由于曲线是曲面上通过的任意一的任意一条曲线，它们在条曲线，它们在的切线都与同一向量的切线都与同一向量垂直，垂直，故曲面上通过故曲面上通过的一切曲线在点的一切曲线在点的切线都在的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点同一平面

4、上，这个平面称为曲面在点的的切平面切平面.切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为曲面在曲面在M M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.通过点通过点而垂直于切平面的直线而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线称为曲面在该点的法线.特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为令令曲面在曲面在 处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在 处的法线方程为处的法线方程为切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量全微分的几何意义全微分的几何意义 因为曲面在因为曲面在 处的切平面方程为处的切平面方程为的全微分的全微分在点

5、在点函数函数在在的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面在点在点处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.若若a a、b b、g g表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角轴的正向所成的角g g是锐角，则法向量的是锐角，则法向量的方向方向余弦余弦为为其中其中解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程例例 3 3求曲面求曲面在点在点处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为例例 4 4求旋转抛物面求旋转抛物面在点在点处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得例例 5 5 求椭球面求椭球面使其与平面使其与平面.的切平面的切平面平行平行法向量法向量因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，满足方程满足方程所求切点为所求切点为切平面方程切平面方程(1)(1)切平面方程切平面方程(2)(2)