人大微积分课件7-6曲面及其方程.ppt

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1、第六节第六节 曲面及其方程曲面及其方程一一 曲面方程的概念曲面方程的概念二二 旋转曲面旋转曲面三三 柱面柱面四四 二次曲面二次曲面水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为解解所以原方程表示球心为所以原方程表示球心为半径为半径为的球面.根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得

2、所求方程解解例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转这条

3、定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放二、旋转曲面二、旋转曲面旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入将将 代入代入得方程得方程解解 圆锥面方程圆锥面方程例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面播放播放定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线

4、.三、柱面三、柱面柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴1 定义：三元二次方程表示的曲面定义：三元二次方程表示的曲面,称为二次曲称为二次曲面。面。如球面如球面圆锥面、旋转曲面等圆锥面、旋转曲面等四四、二次曲面、二次曲面(Quadratic Surfaces)2、二次曲面的研究方法：、二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截面法不能用描点法，而用截面法)1）对称性：关于坐标面，坐标轴）对称性：关于坐标面，坐标轴2）存在范围）存在范围3）曲面与

5、坐标轴、坐标面的关系）曲面与坐标轴、坐标面的关系4）曲面弯曲状况。）曲面弯曲状况。3、几种重要的二次曲面：、几种重要的二次曲面：1）椭球面：）椭球面：xyz用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来勾画曲面的大体形状。勾画曲面的大体形状。(Ellipsoids)特殊情形：特殊情形：1）当）当a=b=c时，此时为球面时，此时为球面2）当）当a=b时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面3)当当a=c时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面 4)当当c=b时，此时为旋转曲面时，此时为旋转曲面2)抛物面抛物面(Paraboloids)I)椭圆抛物面椭圆抛物面xyz(0,0,0)p=q时，成为旋转抛物面时，成为旋转抛物面(P0,q0)II)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）(Elliptic Paraboloids)(Hyperbolic Paraboloids)II)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）xzyoxyz3)双曲面双曲面(Hyperboloids)I)单叶双曲面单叶双曲面(Hyperboloids of one sheet)oxyzII)双双叶双曲面叶双曲面(Hyperboloids of two sheet)：xyz0或者或者例例6、指出下列方程所表示的曲面：、指出下列方程所表示的曲面：