人大微积分课件5-2微积分基本定理.ppt

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1、一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数二、积分上限函数求导法则二、积分上限函数求导法则三、微积分基本公式三、微积分基本公式第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理1.1.积分上限函数积分上限函数 设设 在区间在区间 上连续，上连续，且且 ，则，则 存在，如积分上限存在，如积分上限 在在 上任意变动，那么对于每一取定的上任意变动，那么对于每一取定的 值，值，均有唯一的数均有唯一的数 与之对应，所以与之对应，所以 是一个定义在是一个定义在 上的关于上的关于 的函数，记为的函数，记为 一、积分上限函数及其导数称称 为积分上限函数为积分上限函数.2.2.积分上限函数的几何意义积分上限函数的

2、几何意义 积分上限函数积分上限函数在几何上表示为右端线可以变动的曲边在几何上表示为右端线可以变动的曲边梯形的面积梯形的面积.3.3.性质性质 证证 (1)(1)定理定理1 1 若若 在在 上连续，则积分上连续，则积分上限函数上限函数 在在 上具有导上具有导数，且它的导数数，且它的导数 .即：即：另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分从而可能用原函数来计算定积分.此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，(2)(2)定理定理2 2 若函数若函数 在在 上连续，则积上连续，则积分上限

3、函数分上限函数 是是 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数.1.1.法则法则1 1 若若 在在 上连续，上连续，是是 上的某一定点，则上的某一定点，则 ，有，有二、积分上限函数求导法则2.2.法则法则2 2 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续，是是 上的某一定点，函数上的某一定点，函数 可微，可微，且且 ，则有，则有证证 令 ，3.3.法则法则3 3 若函数若函数 在区间在区间 上连续，上连续，且，且 与与都可微，则有都可微，则有证证 例例1 1 求求解解 由法则由法则1 1得得4.4.例题例题例例2 2 求求解解 由法则由法则2 2得得解解 由法则由法则3 3得得例例3 3

4、 求求例例4 4 求求解解这是一个这是一个型未定式，可利用洛必达法型未定式，可利用洛必达法则计算，分子为则计算，分子为由法则由法则2得得 因此因此 证证1.1.定理定理3 3 若函数若函数 是连续函数是连续函数 在区在区间间 上的一个原函数，则上的一个原函数，则 该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿莱布该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿莱布尼茨公式尼茨公式.三、微积分基本公式(为常数).令 ，令 ，则 .2.2.说明说明(2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之间的关系，是它的任一原函数在 上的增量，也是函数 在 处的函数值.(1)(1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数微积分基本公式使用的条件是

5、，被积函数 在积分区间在积分区间 上必须连续，若不满足上必须连续，若不满足条件，不能使用公式条件，不能使用公式.(3)(3)为方便起见，记为方便起见，记 ，例例6 6 求求解解 3.3.例题例题 例例5 5 求求解解 例例7 7 设设 ，求解解 解解当 时，求求 ，在，在 上的表达式上的表达式.例例8 8 设设 ，当当 时，时，所以所以，例例9 9 求求 解解 由例由例7，例，例8，例，例9可见，若被积函数在积分区可见，若被积函数在积分区间上存在有限个第一类间断点，或在积分区间间上存在有限个第一类间断点，或在积分区间上分段表示，或带有绝对值，应利用定积分在上分段表示，或带有绝对值，应利用定积分在积分区间的可加性分段积分，以保证被积函数积分区间的可加性分段积分，以保证被积函数在各积分区间上的连续性或非负性在各积分区间上的连续性或非负性.