人大微积分课件12-1微分方程的基本概念.ppt

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1、一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念三、小结三、小结第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念解解一、问题的提出例例2 一质量为一质量为m的物体以初速度的物体以初速度v0自高自高H处自处自由落下，求物体下落的距离由落下，求物体下落的距离s与时间与时间t的函数关的函数关系（不计空气阻力）系（不计空气阻力）解解 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律代入初始条件后知代入初始条件后知故故上式中令上式中令s=H得到物体落到地面所需的时间得到物体落到地面所需的时间微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导

2、数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的基本概念微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.分类1:常微分方程,偏常微分方程.一阶微分方程分类2:高阶(n2)微分方程分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)例例4所满足的二阶微分方程所满足的二阶微分方程.解解整理得整理得微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题问题;分曲积线;三、小结思考题思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的特解故为微分方程的特解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案