二维连续型随机变量学习资料.ppt

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1、二维连续型随机变量二维连续型随机变量（1）定义）定义3.1 3.1 3.1 二维连续型随机变量及其概率密度二维连续型随机变量及其概率密度（2）概率密度的性质）概率密度的性质表示介于表示介于 f(x,y)和和 xOy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1.说明：说明：P(X=a,-Y +)=0P(-X +,Y=a)=0P(X=a,Y=b)=0注：注：对于二维连续型随机变量有对于二维连续型随机变量有F(x,y)连续连续例例1解解:(3)将将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有解解:例例23.2 3.2 边缘概率密度分布边缘概率密度分布同

2、理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.注注意意：在在求求连连续续型型随随机机变变量量的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要要对对联联合合密密度度在在一一个个变变量量取取值值范范围围上上进进行行积积分分.当当联联合合密密度度函函数数是是分分片片表表示示的的时时候候，在计算积分时应特别注意积分限在计算积分时应特别注意积分限 .解解例例3（习题课教程（习题课教程P63例例8-（1）解解例例4 4连续型由此可知：由此可知：二维随机变量二维随机变量 (X,Y)相互独立相互独立,则边缘分布完全确定联合分布。则边缘分布完全确定联合分布。法法2 X与与Y 独立独立对任

3、何对任何 x,y 有有3.3 3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性法法1 X与与Y 独立独立对任何对任何 x,y 有有例例5 5 已知已知(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为(1)(2)讨论讨论X,Y 是否独立？是否独立？解：解：(1)由图知边缘由图知边缘概率密度为概率密度为11显然，显然，故故 X,Y 相互独立相互独立.(2)由图知边缘由图知边缘概率密度为概率密度为显然，显然，故故 X,Y 不独立不独立.11（书（书P74P74例例3.33.3）随机变量相互独立的概念可以随机变量相互独立的概念可以推广到推广到 n n 维随机变量维随机变量（书（书P97P97）若若则称随机变量则称随

4、机变量 X 1,X 2,X n 相互独立。相互独立。（1）均匀分布）均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 A,若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布.3.4 3.4 二维均匀分布和正态分布二维均匀分布和正态分布 向向平平面面上上有有界界区区域域D上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在D内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关.则则质点的坐标（质点的坐标（X,Y）在）在D上服从均匀分

5、布上服从均匀分布.例例6 设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)在在 上上服从均匀分布，求：服从均匀分布，求：（1）(X，Y)的概率密度；的概率密度；（2）解解 （1）如图，区域）如图，区域D的面积为的面积为 ，因此，因此(X，Y)的密度为的密度为 （2）记区域）记区域 于是于是（2）二维正态分布二维正态分布（书（书P77P77）若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度 例例7 设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)的概率密度为的概率密度为 求求 解解 （书（书P77P77例例3.53.5）例例8 8（教材（教材P77P77例例3.63.6）解（解（1）由于由于于是于是则有则有即即同理可得同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,(阅读书阅读书P79)（2）证对任何对任何 x,y 有有故将代入即得取（1）记结论：记结论：X与与Y相互独立相互独立结束结束