应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第三章部分习题解答)教学文稿.ppt

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1、应用应用(yngyng)多多元统计分析元统计分析第三章习题第三章习题(xt)解答解答1第一页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的假参数的假设检验设检验 3-1 设XNn(,2In),A为对称(duchn)幂等阵,且rk(A)=r(rn),证明 证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵(其列向量(xingling)ri为相应特征向量(xingling)，使2第二页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验3第三页，共46页。其中其中(qzhng)(qzh

2、ng)非中心参数为非中心参数为第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验4第四页，共46页。3-2 3-2 设设X XNn(,2In),ANn(,2In),A，B B为为n n阶对称阶对称阵阵.若若AB AB 0,0,证明证明XAXXAX与与XBXXBX相互相互(xingh)(xingh)独立独立.证明(zhngmng)的思路：记rk(A)=r.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得 A=diag(1,r 0,.,0)令YX，则YNn(,2In),第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验且且5第五页，

3、共46页。又因为又因为 XBX=YB Y=YHY其中其中H=B。如果能够证明。如果能够证明(zhngmng)XBX可表示为可表示为Yr+1，,Yn的函数，即的函数，即H只是右只是右下子块为非下子块为非0的矩阵。的矩阵。则则XAX 与与XBX相互独立。相互独立。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验6第六页，共46页。证明 记rk(A)=r.若r=n,由ABO,知B Onn,于是XAX与XBX独立；若r=0时,则A0,则两个(lin)二次型也是独立的.以下设0rn.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)

4、正态总体参数的检验正态总体参数的检验7第七页，共46页。其中其中(qzhng)i0(qzhng)i0为为A A的特征值的特征值(i=1,r).(i=1,r).于是于是令令r第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验 由由ABABO O可得可得DrH11DrH11O O，DrH12 DrH12O.O.因因DrDr为满秩阵为满秩阵,故有故有H11H11OrrOrr，H12H12Or(n-r)Or(n-r).由于由于(yuy)H(yuy)H为对称阵，所以为对称阵，所以H21H21O(n-r)r O(n-r)r.于是于是8第八页，共46页。由于由于Y1Y1，,Y

5、r,Yr+1,Yn,Yr,Yr+1,Yn相互相互(xingh)(xingh)独立，故独立，故XAXXAX与与XBXXBX相互相互(xingh)(xingh)独立独立.第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验令令YX，则，则Y N Nn(,2In),),且且9第九页，共46页。设设X XNp(,),Np(,),0,A0,A和和B B为为p p阶对称阵阶对称阵,试证明试证明(zhngmng)(zhngmng)(X-)A(X-)(X-)A(X-)与与(X-)B(X-)(X-)B(X-)相互独立相互独立 AB AB0pp.0pp.第三章第三章 多元多元(du

6、yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验3-310第十页，共46页。由由“1.“1.结论结论(jiln)6”(jiln)6”知知与与相互独相互独立立 第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验11第十一页，共46页。性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X()Np(0,)(1,n)相互(xingh)独立，其中又已知随机又已知随机(su j)矩阵矩阵则则第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验试证明试证明Wishart分布的性质分布的性质(4)和和T2分布的性质分布的性质(5).3-412第十

7、二页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验证明证明(zhngmng):设设记记,则则即即13第十三页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验当当12=O 时时,对对1,2,n,相互相互(xingh)独立独立.故有故有W11与与W22相互相互(xingh)独立独立.由定义由定义(dngy)3.1.4可知可知14第十四页，共46页。性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变.证明:设X()(1,n)是来自p元总体Np(,)的随机样本,X和Ax分别(fnbi)表示正态总体X的样

8、本均值向量和离差阵,则由性质1有第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验令令其中其中C是是pp非退化常数矩阵非退化常数矩阵(j zhn)，d是是p1常向量。则常向量。则15第十五页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验所以所以(suy)16第十六页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验3-5 对单个p维正态总体Np(,)均值(jn zh)向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0(=0已知)的似然比统计量及分布.解:总体XNp(,0)(

9、00),设X()(=1,n)(np)为来自(li z)p维正态总体X的样本.似然比统计量为P66当当=0已知已知的检验的检验17第十七页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验18第十八页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验19第十九页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验因因所以所以(suy)由由3“一一 2.的结论的结论1”可可知知20第二十页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cns

10、h)(cnsh)的检验的检验 3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验)设总体XNp(,)(0),X()(1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本(yngbn)，记(1,p).C为kp常数(kp),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出检验H0:Cr的检验统计量及分布.解：解：令令则则Y()(1,n)为来自为来自(li z)k维正态总维正态总体体Y的样本，且的样本，且21第二十一页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验检验检验(jinyn)这是单个这是单个k维正态总体均值向量的检验问维正态总体均值向量的检验问题题.利用利用(lyn

11、g)3.2当当y=CC未知未知时均值向量的检验给出的结论时均值向量的检验给出的结论,取检验统计取检验统计量量:22第二十二页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验 3-7 设总体XNp(，)(0),X()(1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本，样本均值为X，样本离差阵为A.记(1,p).为检验(jinyn)H0:1=2=p ,H1:1,2,p至少有一对不相等.令则上面的假设等价于则上面的假设等价于H0：C=0p-1,H1：C 0p-1试求检验试求检验(jinyn)H0 的似然比统计量和分布的似然比统计量和分布.解：解：至少有一对不相

12、等至少有一对不相等.23第二十三页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验利用利用3-6的结果知，检验的结果知，检验H0的似然比统计的似然比统计(tngj)量及分布为：量及分布为：其中其中(qzhng)(注意注意:3-6中的中的k在这里为在这里为p-1)24第二十四页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验 3-8 假定(jidng)人体尺寸有这样的一般规律:身高(X1),胸围(X2)和上半臂围(X3)的平均尺寸比例是641.假设X()(1,n)为来自总体X=(X1,X2,X3)

13、的随机样本.并设XN3(,)，试利用表3.5中男婴这一组数据检验三个尺寸(变量)是否符合这一规律(写出假设H0,并导出检验统计量).解：检验三个尺寸解：检验三个尺寸(变量变量)是否符合这一规律是否符合这一规律的问题可提成的问题可提成(t chng)假设检验问题假设检验问题.因为因为其中其中注意注意:25第二十五页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验检验检验(jinyn)的假设的假设H0为为 利用利用3-6的结论的结论(jiln)，取检验统计量为：，取检验统计量为：由男婴测量数据由男婴测量数据(p=3,n=6)计算可得计算可得 T2=47

14、.1434,F=18.8574,p值值=0.0091950未知未知.检验检验H0似然比统计量为似然比统计量为记记其中其中30第三十页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验其中其中(qzhng)A=A1+A2称为组内离差阵称为组内离差阵.B称为组称为组间离差阵间离差阵.31第三十一页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验因为因为(yn wi)似然比统计似然比统计(tngj)量量32第三十二页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验所

15、以所以(suy)33第三十三页，共46页。第三章第三章 多元正态总体参数多元正态总体参数(cnsh)(cnsh)的检验的检验由定义由定义(dngy)3.1.5可知可知由由或或由于由于(yuy)34第三十四页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验可取检验可取检验(jinyn)统计量为统计量为检验假设检验假设(jish)H0的否定域为的否定域为35第三十五页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验3-11 表3.5给出15名2周岁婴儿的身高(X1)，胸围(X2)和上半臂围(

16、X3)的测量数据.假设男婴的测量数据X()(1,6)为来自总体N3(1)，)的随机样本.女婴的测量数据Y()(1,9)为来自总体N3(2)，)的随机样本.试利用(lyng)表3.5中的数据检验H0:(1)=(2)(=0.05).解解:这是两总体均值向量这是两总体均值向量(xingling)的检验的检验问题问题.检验统计量取为检验统计量取为(p=3,n=6,m=9):36第三十六页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验其中其中(qzhng)故检验故检验(jinyn)统计量为统计量为用观测数据代入计算可得用观测数据代入计算可得:故故H0相容相

17、容.显著性概率值显著性概率值37第三十七页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)正态总体正态总体参数的检验参数的检验 3-12 在地质勘探中，在A、B、C三个地区采集了一些岩石，测其部分化学成分见表3.6.假定这三个地区岩石的成分遵从N3(i)，i)(i1，2，3)(=0.05).(1)检验(jinyn)H0：123；H1：1,2,3不全等;(2)检验(jinyn)H0：(1)(2),H1：(1)(2);(3)检验(jinyn)H0:(1)(2)(3),H1:存在ij,使(i)(j);(4)检验(jinyn)三种化学成分相互独立.解解:(4)设来自三个总体设来自三个总体(zngt)

18、的样本为的样本为(p=3,k=3)检验检验H0的似然比统计量为的似然比统计量为38第三十八页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验似然比统计似然比统计(tngj)量的分子为量的分子为39第三十九页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验称为称为(chn wi)合并组内离差阵合并组内离差阵.40第四十页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验41第四十一页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt

19、)参数的检验参数的检验似然比统计似然比统计(tngj)量的分母为量的分母为42第四十二页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验检验检验(jinyn)H0的似然比统计量可化为的似然比统计量可化为:43第四十三页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验 Box证明证明(zhngmng)了，在了，在H0成立下当成立下当n时，时，=-blnV2(f)，其中其中 V=0.7253,=-blnV=3.2650,因因 p=0.35250.05.故故H0相容，即随机向量的三个分量相容，

20、即随机向量的三个分量(三种三种化学成分化学成分)相互相互(xingh)独立独立.44第四十四页，共46页。第三章第三章 多元多元(du yun)(du yun)正态总体参数的检验正态总体参数的检验 或者利用或者利用(lyng)定理定理3.2.1,当当n充分大时，充分大时，=-2ln2(f)，其中其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,=0.1240,=-2ln=-nlnV=4.1750,因因 p=0.24320.05.故故H0相容相容(xin rn)，即随机向量的三个，即随机向量的三个分量分量(三种化学成分三种化学成分)相互独立相互独立.45第四十五页，共46页。第三章第三章 多元正态总体多元正态总体(zngt)(zngt)参数的检验参数的检验3-13 对表3.3给出的三组观测(gunc)数据分别检验是否来自4维正态分布.(1)对每个分量检验是否一维正态?(2)利用2图检验法对三组观测(gunc)数据分别检验是否来自4维正态分布.46第四十六页，共46页。