《高等数学》多元函数微分法及其应用教学文案.ppt

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1、高等数学多元函数微高等数学多元函数微分法及其应用分法及其应用目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是中的 x 固定于 x0 处,求一阶导数与二阶导数.关于 t 的将振幅目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:目录 上页 下页 返回 结束 同样可定义对 y 的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点

2、(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为或 y 偏导数存在,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!目录 上页 下

3、页 返回 结束 例例1.求解法解法1解法解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设证证:例例3.求的偏导数.解解:求证目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例

4、如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求函数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,二者不等目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程目录 上页 下页 返回 结束 则定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当

5、三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)证明 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示:P129 题 5P129 题 5,6即 xy0 时,目录 上页 下页 返回 结束 P129 题6(1)(2)目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P68 1（4）,（6）,（

6、8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解解:目录 上页 下页 返回 结束 第九章*二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节一元函数 y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y)可表示成其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数在点(x,y)的全微分全微分,记作若函数在域 D

7、内各点都可微,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.目录 上页 下页 返回 结束(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点的偏导数同样可证证证:因函数在点(x,y)可微,故 必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 目录 上页 下页 返回 结束 反例反例:函数易知 但因此,函数在点(0,0)不可微.注意注意:定理1

8、 的逆定理不成立.偏导数存在函数 不一定可微 !即:目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2(充分条件)证证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.目录 上页 下页 返回 结束 所以函数在点可微.注意到,故有目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分偏微分.的全微分为于是目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解解:例例2.计算函数的全微分.解解:目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用1.近似计算

9、近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于误差分析或近似计算)(可用于近似计算)目录 上页 下页 返回 结束 半径由 20cm 增大解解:已知即受压后圆柱体体积减少了 例例3.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则 高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.计算的近似值.解解:设,则取则目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x,y,z 的绝对误差界,2.误差估计误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为则目录 上页 下页 返回 结束 特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相

10、对误差变大 很小的数不能做除数目录 上页 下页 返回 结束 例例5.利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6.在直流电路中,测得电压 U=24 V,解解:由欧姆定律可知()所以 R 的相对误差约为0.3 +0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为 测得电流 I=6A,相对误差为 0.5 ,=0.032()=0.8 求用欧姆目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可

11、微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义目录 上页 下页 返回 结束 3.微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.P75 题5；P129 题 1 函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:也可写作:当 x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 时 z=0.02,d z=0.03 3.P129 题 7目录 上页 下页 返回 结束 4.设解解:利用轮换对称性,可得注意注意:x,y,z 具有 轮换对称性轮换对称性 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:作业作业

12、 P74 1(3),(4);3;*6;*9;*11 5.已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束 在点(0,0)可微.备用题备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连 证明函数所以目录 上页 下页 返回 结束 同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 4)下面证明可微:说明说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二

13、、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则多元复合函数的求导法则 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则有增量u,v,目录 上页 下页 返回 结束(全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明说明:例如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,则定理结论不一定成立.目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及

14、的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,例如,目录 上页 下页 返回 结束 又如,当它们都具有可微条件时,有注意注意:这里表示 f(x,(x,y)固定 y 对 x 求导表示f(x,v)固定 v 对 x 求导口诀口诀:与不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设设解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见,引入记号例例

15、4.设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则目录 上页 下页 返回 结束(当 在二、三象限时,)例例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解:已知极坐标系下的形式(1),则目录 上页 下页 返回 结束 题目 目录 上页 下页 返回 结束 已知注意利用注意利用已有公式已有公式目录 上页 下页 返回 结束 同理可得题目 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.目录 上页 下页 返回 结束 例例1.例例 6.利用全微分形

16、式不变性再解例1.解解:所以目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是中间变量,目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P81 题7P81 题7;8(2);P130 题11目录 上页 下页 返回 结束 P81 题8(2)目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P81 2;4;6;9;10;*12(4);*13P130 题 11第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知求解解:由两边对 x 求导,得目录 上页 下页 返回 结束

17、 2.求在点处可微,且设函数解解:由题设(2001考研考研)目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程C 0 时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证

18、明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导在的某邻域内则目录 上页 下页 返回 结束 若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令连续;由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求

19、导目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求偏导同样可得则目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故目录 上页 下页 返回 结束 对方程两边求微分:

20、解法解法2 微分法.目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；目录 上页 下页 返回 结束 定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)目录 上页 下页 返回 结束 有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在

21、点P 的某邻域内解的公式 故得系数行列式目录 上页 下页 返回 结束 同样可得目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习:求答案答案:由题设故有目录 上页 下页 返回 结束 例例5.5.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解解:1)令对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数目录 上页 下页 返回 结束 式两边对 x 求导,得则有由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理,式两边对 y

22、 求导,可得目录 上页 下页 返回 结束 例例5的应用的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习思考与练习设求目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.作业作业 P87 3,6，7,*9,10(1);(3)，11第六节 由d y,d z 的系数即可得目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶

23、偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2001考研)解得因此目录 上页 下页 返回 结束 2.设是由方程和所确定的函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(1999考研)目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，

24、不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完

25、，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束