最新微分方程模型 (2)PPT课件.ppt

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1、微分方程模型微分方程模型(2)微分方程模型微分方程模型1、人口预报问题、人口预报问题3、捕食问题、捕食问题2、传染病问题、传染病问题0、总论与简例、总论与简例例例3 (交通信号黄灯的设置问题)在交通十字路口，都会设置红绿灯，为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？要避免让驾驶员处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近，要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定：是停车还是通过路口当决定停车时，他必须有足够的停车距离；当决定通过路口时，必须

2、有足够的时间使他能完全通过路口。这就考虑三个时间：做出决定的反应时间、决定停车后需要的停车时间或决定通过时安全通行时间 为了安全通过，黄灯持续的时间T应为驾驶员的反应时间T0、车通过交叉路口的时间T1和匀速通过安全刹车距离所需的时间T2之和。于是有 若道路限速为v0，交叉路口的宽度为L，典型的车身长度为l。考虑到车通过路口实际上指的是车的尾部必须通过路口，通过路口的时间为：假设在整个过程中所受制动摩擦力不变，可设为F=-km，m是车辆的质量。利用Newton运动定律，制动距离满足：若若设设T0=1s，L=10m，l=4.5m，k=0.8g,可得可得T和和v0的关系如的关系如图所示：图所示：，我

3、国一些地区我国一些地区出台政策规定出台政策规定黄灯时间为黄灯时间为4s是安全的，因是安全的，因为同时规定了为同时规定了通过交通路口通过交通路口时速不超过时速不超过40m/s。为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征

4、自行建立相应的模型。大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的，讨论其变化率，建立微分方程模型分微小的，讨论其变化率，建立微分方程模型!离散化为连续，方便研究离散化为连续，方便研究建模示例建模示例1 1 如何预报人口的增长如何预报人口的增长Malthus模型与Logistic模型背景 年年 1625 1830 1930 1960 1

5、974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995人口人口(亿亿)3 4.7 6 7 10.1 11.3 12研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长模型一：指数增长模型(Malthus模型模型)常用的计算公式常用的计算公式马尔萨斯马尔萨斯（1788-1834）提出的指数增长模型提出的指数增长模型(1798)(1798)x(t)时刻时刻t人口人口r 人口人口(相对相对)增长率增长率(常数常数)（出生率（

6、出生率死亡率）死亡率）今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口随着时间增加人口按指数规律无限增长随着时间增加人口按指数规律无限增长!模型检验模型检验马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定。美国一番所需的时间是固定。美国1990年的人口年的人口是是248710000，而，而1970年是年是203211926，则，则得：得：于是于是从从1970到到1990年，美国人口的年平均增长率年，美国人口的年平均增长率为为利用这个结果，来预测2000年的人口。此时而美国2000年人口普查结果是281400000，我们的预测偏离8%

7、，模型预测到2300年美国的人口数量是552090亿，远远超过了现在人们对地球能维持的最多人口的估计。不得不承认这个模型从长期来讲是不合理的。MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数不太大时才实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。因，就可能发生生存竞争等现象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净增长净增长率不可能始终保持常数，它应当与率不可能始终保持常数，它应当

8、与人口数量有关。人口数量有关。指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人

9、口数量有关，即：r=r(N)从而有：从而有：（*）r(N N)是是未未知知函函数数，但但根根据据实实际际背背景景，它它无无法法用用拟拟合合方方法法来求来求 。为了得出一个有实际意义的为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。是采用尽可能简单的方法。r(N)最最简简单单的的形形式式是是常常数数，此此时时得得到到的的就就是是马马尔尔萨萨斯斯模模型型。对对马马尔尔萨萨斯斯模模型型的的最最简简单单的的改改进就是引进一次项（竞争项）进就是引进一次项（竞争项

10、）人口净增长率应当与人口数量有关，即：人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：从而有：（*）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN K K 是人口的最大值，此时得到微分方程：是人口的最大值，此时得到微分方程：或或（*）（*）可改写成：可改写成：（*）（*）被称为）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增

11、大产生抑制性，故一次项又被称为竞争当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。项。模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 该式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可该式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将（近似地将K看成

12、常数），看成常数），N表示当前的种群数量，表示当前的种群数量，K-N恰恰为环境还能供养的种群数量，为环境还能供养的种群数量，该式该式指出，种群增长率与两者指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是这就是该式该式也被称为统计筹算律的原因。也被称为统计筹算律的原因。求解求解分离变量：分离变量：两边积分并整理得：两边积分并整理得：令令N(0)=N0，求得：，求得：故故（3.93.9）的满足初始条件的满足初始条件N(0)=N0的解为：的解为：易见：易见：N(0)=N0，N(t)的图形请看右图的图形请看右图模型

13、的参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数必须先估计模型参数 r 或或 r,K 利用统计数据用利用统计数据用最小二乘法最小二乘法作拟合作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5r=0.2072,K=464 专家估计模 型 检 验(1)用模型预报用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较实际为实际为251.4

14、(百万百万)模 型 应 用人 口 预 报用美国用美国17901990年人口数据重新估计参数年人口数据重新估计参数r=0.2083,N=457.6N(2000)=275.0N(2010)=297.9Logistic模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)模型检验模型检验(2)用用LogisticLogistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？模型来描述种群增长的规律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（学生物学家高斯（EFG

15、aussEFGauss）也做了一个原生物草履虫实）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和验，实验结果都和LogisticLogistic曲线十分吻合。曲线十分吻合。大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型来描述种群的增长，效模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯果还是相当不错的。例如，高斯把把5只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量37

16、5个，实验数据与个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲线：曲线：几乎完全吻合。几乎完全吻合。MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的总结模型的总结 MalthusMalthus模模型型和和LogisticLogistic模模型型均均为为对对微微分分方方程程(*)所所作作的的模模拟拟近近似似方方程程。前前一一模模型型假假设设了了种种群群增增长长率率r为为一一常常数数，（r被被称称为为该该种种群群的的内内禀禀增增长长率率）。后后一一模模型型则则假假设设环环境境只只能供养一定数量的种群，从而引入了一

17、个竞争项。能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。因，对模型进行修改。Malthus Malthus模型与模型与LogisticLogistic模型虽然都是为了研究种群数模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，量的增长情况而建立的，但它们也

18、可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。年代年代195019521954195619581960196219641966人口人口(千万千万)3.5833.739 3.904 4.102 4.258 4.245 4.333 4.532 4.748年代年代196819701972197419761978198019821984人口人口(千万千万)4.9965.252 5.437 5.567 5.700 5.834 5.938 6.088 6.071江苏省人口统计江苏省人口统计作作业业：设设法法查查找找一一部部分分人人口

19、口数数据据(国国家家(内内外外)、地地方方皆皆可可)，或或有有限限区区域域内内的的某某一一种种群群数数据据，进进行行建建模模预预报报，并与实际数据比较，希望进一步改进模型。并与实际数据比较，希望进一步改进模型。作业格式作业格式一篇较完整的论文一篇较完整的论文!(见下见下)建模的论文结构建模的论文结构:1、摘要、摘要问题、模型、方法、结果问题、模型、方法、结果2、问题重述、问题重述4、分析与建立模型、分析与建立模型5、模型求解、模型求解6、模型检验、模型检验7、模型推广、模型推广8、参考文献、参考文献9、附录、附录3、模型假设、模型假设建模示例二：传染病模型建模示例二：传染病模型v模型模型1最简

20、单模型最简单模型(早期模型早期模型)假设假设1：每个病人在单位时间内传染的人数是常数：每个病人在单位时间内传染的人数是常数r；假设假设2：不考虑死亡问题；：不考虑死亡问题；问题分析问题分析:记记x(t)表示表示t时刻病人数时刻病人数,且初始病人数且初始病人数x(0)=x0;则则t,t+t时间段内增加的病人数为：时间段内增加的病人数为：得到微分方程：得到微分方程：模型评价模型评价:与传染初期比较吻合，以后的误差大。与传染初期比较吻合，以后的误差大。v模型模型2中期模型中期模型假设假设1：每个每个病人在单位时间内传染的人数与未被传染的病人在单位时间内传染的人数与未被传染的人数成正比人数成正比r;假

21、设假设2：不考虑死亡问题；：不考虑死亡问题；假设假设3：总人数有限：总人数有限 问题分析问题分析:记记x(t)表示表示t时刻病人数时刻病人数,且初始病人数且初始病人数x(0)=x0;y(t)为为t时时 刻未被传染的人数刻未被传染的人数;总人数为总人数为n,即即x(t)y(t)=n.则则t,t+t时间段内增加的病人数为：时间段内增加的病人数为：得微分方程：得微分方程：模型分析评价模型分析评价:1.不加控制，则最终人人得病；不加控制，则最终人人得病；2.计算传染高峰期计算传染高峰期t1：说明说明:人口人口n越多、传染强度越多、传染强度r越大，高峰来得越早越大，高峰来得越早!缺点缺点:没有考虑治愈问

22、题和免疫问题。没有考虑治愈问题和免疫问题。模型模型3精确模型精确模型假设假设1：研究对象分成三类：传染源：研究对象分成三类：传染源x(t)、易感群、易感群y(t)和免疫群和免疫群z(t);假设假设2：单位时间内每个传染源传染的人数与易感群的人数成正比：单位时间内每个传染源传染的人数与易感群的人数成正比;假设假设3：单位时间内传染源康复为免疫群的人数正比与传染源人数；：单位时间内传染源康复为免疫群的人数正比与传染源人数；假设假设4：不考虑死亡且总人数有限。：不考虑死亡且总人数有限。问题分析问题分析:记记a传染率传染率,b康复率康复率;初始条件为初始条件为:得微分方程：得微分方程：解此微分方程组：

23、解此微分方程组：是非线性方程组，不易求解，变形以是非线性方程组，不易求解，变形以y为自变量为自变量:结论结论：当当yb/a时，传染源减少直至平息时，传染源减少直至平息;当当yb/a时，传染源先增加再减少直至平息时，传染源先增加再减少直至平息;控制控制y非常关键非常关键研制疫苗、增强体质研制疫苗、增强体质;增大增大b/a也非常关键也非常关键隔离、治愈隔离、治愈;建模示例建模示例3：地中海鲨鱼问题：地中海鲨鱼问题 意意大大利利生生物物学学家家Ancona曾曾致致力力于于鱼鱼类类种种群群相相互互制制约约关关系系的的研研究究,他他从从第第一一次次世世界界大大战战期期间间,地地中中海海各各港港口口捕捕获

24、获的的几几种种鱼鱼类类捕捕获获量量百百分分比比的的资资料料中中,发发现现鲨鲨鱼鱼等等的的比比例例有有明明显显增增加加(见见下下表表),而而供供其其捕捕食食的的食食用用鱼鱼的的百百分分比比却却明明显显下下降降.显显然然战战争争使使捕捕鱼鱼量量下下降降,食食用用鱼鱼增增加加,鲨鲨鱼鱼等等也也随随之之增增加加,但但为为何何鲨鲨鱼鱼的的比比例例大大幅增加呢？幅增加呢？他他无无法法解解释释这这个个现现象象,于于是是求求助助于于著著名名的的意意大大利利数数学学家家V.Volterra,希希望望建建立立一一个个食食饵饵捕捕食食系系统统的的数数学学模模型型,定定量量地回答这个问题地回答这个问题.年代年代191

25、4 1915 1916 1917 1918百分比百分比11.921.4 22.1 21.236.4年代年代1919 1920 1921 1922 1923百分比百分比27.316.0 15.9 14.810.7捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例 该该 模型反映了在没有人工捕模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系间的制约关系,没有考虑食饵和没有考虑食饵和捕食者自身的捕食者自身的阻滞阻滞作用作用,是最简是最简单的模型单的模型.1基本假设：基本假设：(1)食食饵饵由由于于捕捕食食者者的的存存在在使使增增长长率率降降低低,假假设设降

26、降低低的的程程度度与与捕捕食食者者数数量量成成正比正比;(2)捕捕食食者者由由于于食食饵饵为为它它提提供供食食物物的的作作用用使使其其死死亡亡率率降降低低或或使使之之增增长长，假假定定增增长长的的程程度度与与食食饵饵数数量量成成正比。正比。2符号符号说说明：明：x食食饵饵在在t时时刻的数量；刻的数量；a食食饵饵独立生存独立生存时时的增的增长长率；率；e捕食者掠取食捕食者掠取食饵饵的能力；的能力；f食食饵对饵对捕食者的供养能力捕食者的供养能力.y捕食者捕食者在在t时时刻的数量；刻的数量；b捕食者捕食者独立生存独立生存时时的死亡率；的死亡率；K捕获能力系数捕获能力系数.3.模型模型(一一)不考虑人

27、工捕获不考虑人工捕获4.模型模型(一一)求解求解 利用微分方程的利用微分方程的相关理论相关理论，知原方程组的解是周期解，设，知原方程组的解是周期解，设周期为周期为T，则为了解释问题中的数据，需计算，则为了解释问题中的数据，需计算x、y的平均值：的平均值：5.模型模型(二二)考虑人工捕捞考虑人工捕捞类似可计算类似可计算x、y的平均值：的平均值：K捕获能力系数捕获能力系数.结论结论：增加捕捞后捕食者平均值降低，而：增加捕捞后捕食者平均值降低，而饵食饵食(食用鱼食用鱼)平均值增加；进一步捕捞能力平均值增加；进一步捕捞能力系数下降也导致捕食者系数下降也导致捕食者(鲨鱼等鲨鱼等)数量上升。数量上升。“涸

28、泽而鱼涸泽而鱼”除外除外推广推广：解释杀虫剂的反效果：解释杀虫剂的反效果杀虫剂在杀杀虫剂在杀死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致害虫量的增加。害虫量的增加。用用Matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t,x=solver(fun,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解由待解方程写方程写成的成的m-文件名文件名ts=t0,tf，t0、tf为自为自变量的初变量的初值和终值值和终值函数的函数的初始值初始值ode23：组合的：组合的2/3阶龙格阶龙格-库塔库塔-芬尔格算法芬尔格算法ode

29、45：运用组合的：运用组合的4/5阶龙格阶龙格-库塔库塔-芬尔格算法芬尔格算法自变自变量值量值函数函数值值用于设定误差限用于设定误差限(缺省时设定相对误差缺省时设定相对误差10-3,绝绝对误差对误差10-6),命令为：命令为：options=odeset(reltol,rt,abstol,at),rt,at：分别为设定的相对误差和绝对误差：分别为设定的相对误差和绝对误差.helpode45/23.首先，建立首先，建立m-文件文件shier.m如下：如下：function dx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(

30、-0.5+0.02*x(1);其次，建立主程序其次，建立主程序shark.m如下：如下：t,x=ode45(shier,0 15,25 2);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*)plot(x(:,1),x(:,2)6.模型检验模型检验求解结果：求解结果：由上两图知：由上两图知：x(t)与与y(t)都是周期函数都是周期函数模型（二）模型（二）考虑人工捕获考虑人工捕获 设设表表示示捕捕获获能能力力的的系系数数为为K，相相当当于于食食饵饵的的自自然然增增长长率率由由a降为降为a-K，捕食者的自然死亡率由，捕食者的自然死亡率由b增为增为 b+K设战前捕获能力系数设战前捕获能力系数K=

31、0.3,战争中降为战争中降为K=0.1,则战前与战争中的模型分别为则战前与战争中的模型分别为:模型求解模型求解:1、分别用、分别用m-文件文件shier1.m和和shier2.m定义上述两个方程定义上述两个方程2、建立主程序、建立主程序shark1.m,求解两个方程，并画出两种情况下求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 y(t)/y(t)+y(t)实线为战前的鲨实线为战前的鲨鱼比例，鱼比例，“*”线为战线为战争中的鲨鱼比例争中的鲨鱼比例结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！VolterraVolterra的模型揭示了双种群

32、之间内在的互相制约关系，的模型揭示了双种群之间内在的互相制约关系，成功解释了成功解释了DAnconaDAncona发现的现象。然而，对捕食系统中存在周发现的现象。然而，对捕食系统中存在周期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的捕食系统并没有这种特征。捕食系统并没有这种特征。一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食系统除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数系统除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数学模型上也应当有所区别。考察较为一般的双种群系统学

33、模型上也应当有所区别。考察较为一般的双种群系统.推广：较一般的双种群生态系统讨论推广：较一般的双种群生态系统讨论一般的双种群系统一般的双种群系统仍用仍用x1(t)和和x2(t)记记t时刻的种群量时刻的种群量(也可以是种群密度也可以是种群密度),设设 Ki为种群为种群i的净相对增长率的净相对增长率,Ki随种群不同而不同，同时也随随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同，即系统状态的不同而不同，即Ki应为应为x1、x2的函数。的函数。Ki究究竟竟是是一一个个怎怎样样的的函函数数,我我们们没没有有更更多多的的信信息息.不不妨妨再再次次采采用用一一下下工工程程师师们们的的原原则则,采采用用线线性

34、性化化方方法法(取取常常数数是是Malthus模模型型,不不实实用用).这这样样,得得到到下下面面的的微分方程组微分方程组:它不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存它不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存在其他关系的种群系统。在其他关系的种群系统。式中式中a1、b2为本种群的亲疏系数为本种群的亲疏系数,a2、b1为两种群间的交叉为两种群间的交叉亲疏系数亲疏系数.a2b10时时,两种群间存在着相互影响两种群间存在着相互影响,此时又可分为此时又可分为以下几类情况以下几类情况:i)a20,b10,共栖系统共栖系统;ii)a20(或或a20,b10),捕食系统捕食系统;iii)a2

35、0,b10,竞争系统竞争系统.i)-iii)构成了生态学中三构成了生态学中三个最基本的类型个最基本的类型,种群间较种群间较为复杂的关系可以由这三为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成种基本关系复合而成.模型是否具有周期解模型是否具有周期解 不同的系统具有不同的系数，在未得到这些系数之前先不同的系统具有不同的系数，在未得到这些系数之前先来作一个一般化的讨论。来作一个一般化的讨论。讨论系统的平衡点讨论系统的平衡点:如果系统具有非平凡平衡点如果系统具有非平凡平衡点 应满足应满足均为平凡平衡点。均为平凡平衡点。即：即：若系数满足若系数满足:i)a1b2a2b10,ii)a1b0(ab2)ab2(a1

36、b）则系统不存在周期解！则系统不存在周期解！(无圈定理无圈定理)补充补充差分方程差分方程1.定义定义对一数列对一数列an，把数列中的和前面，把数列中的和前面ai(0in)关联关联起来的方程叫做起来的方程叫做差分方程差分方程,差分方程也叫差分方程也叫递推关系递推关系.差分初值问题差分初值问题例例:在一个平面上有在一个平面上有n个圆两两相交，但任三个圆无公共点个圆两两相交，但任三个圆无公共点.设设此此n个圆将平面分成个圆将平面分成an个区域，试建立关于个区域，试建立关于an的差分方程的差分方程.2.解法解法常系数线性常系数线性差分方程的差分方程的解法解法差分方程的差分方程的特征方程特征方程基于此特征方程，可得到与常系数线性微分方程类似的结论！基于此特征方程，可得到与常系数线性微分方程类似的结论！k阶常系数线性齐次差分方程形如：阶常系数线性齐次差分方程形如：单根、重根、复根、非齐次都类似！单根、重根、复根、非齐次都类似！练习练习：结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！50