复变函数第四版(第三章)教程文件.ppt

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1、复变函数第四版(第三章)3.1 复积分的概念复积分的概念1 1 复变函数的积分定义复变函数的积分定义 定义：设函数 w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为:1 线性性：3 3 复积分的性质复积分的性质 ：例题1（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。解（1）（2）参数方程为可见积分与路径有关。例题2 解：例如 例题3 解：可见，积分仅与起点和终点有关,而与路径无关。例题4 证明：定理1（Cauchy-Goursat）如果函数 f(z)在单连通域D内处处解析,则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:注1：

2、定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。3.2 柯西柯西-古萨基本古萨基本定理定理 注2：如果曲线C是D的边界,函数 f(z)在D内与C上解析,即在闭区域 D+C上解析,甚至 f(z)在D内解析,在闭区域D+C 上连续,则 f(z)在边界上的积分仍然有推论：与路径无关仅与起点和终点有关。如果函数 f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D，柯西-古萨基本定理还可推广到多连通域:假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数 f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则定理定理2(复合闭路定理)证明：取 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线

3、在区域内作连续变形而改变它的值。-闭路变形原理闭路变形原理推论（复合闭路定理）：(互不包含且互不相交)，所围成的多连通区域，例题1C 如图所示：解：存在 f(z)的解析单连通域D包含曲线 C，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。或现设z=it，t从-3变化到1，例题2 求C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解：现分别以z=0,1为圆心,在C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2.练习：计算积分解：现分别以z=1,2为圆心,在C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2.由复合闭路定理知：3.3 柯西积分公式柯西积分公式若 f(z)在D内解析，则分析：分析：在上节的基础上,我们来进

4、一步探讨如下积分:定理定理(柯西积分公式柯西积分公式)如果如果 f(z)在区域在区域D内处处解析内处处解析,C为为D内的任何一条正向简单闭曲线内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完它的内部完全含于全含于D,z0为为C内的任一点内的任一点,则则-解析函数可用复积分表示。证证 由于由于f(z)在在 z0连续连续,任给任给e e 0,存在存在d d(e e)0,当当|z-z0|d d 时时,|f(z)-f(z0)|e e.设以设以 z0为中心为中心,R 为半径为半径的圆周的圆周K:|z-z0|=R全部在全部在C的内部的内部,且且R d d.DCKzz0R从而有:例题1 计算解：因为f(z)=cosz

5、在复平面上解析,又-i在 内,所以 例题2 计算解：方法1 因为f(z)=sinz在复平面上解析,又-1,1均在 内,所以 解：方法2 利用复合闭路定理,分别以-1,1为圆心,作两个互不相交互不包含的圆周C1，C2练习 计算解：因为被积函数在 内只有一个奇点,所以 例题3 解：一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数定理定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:其中C

6、为在函数 f(z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.证 设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即 因此就是要证按柯西积分公式有因此现要证当Dz0时I0,而 f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为 z0 到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|1.解 1)函数 在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.练习:求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=2.解：因为z=1在|z|=2包围的区域D内，又f（z）=5z2-3z+2在复平面上解析.练习:求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=3/2.解：由于在|z|=3/2内有两个奇点z=0,z=-1，分别分别以0,-1为圆心,作两个互不相交互不包含的圆周C1，C2由复合闭路定理知：I1和I2的计算都属于复变量函数在内只有一个奇点的情形.由高阶导数公式知：由柯西公式知：所以：同学们学习愉快！下次课再见！