华南农大高数第6章-行列式和矩阵1资料讲解.ppt

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1、行 列 式 与 矩 阵 n阶行列式的概念阶行列式的概念(ginin)行列式的性质行列式的性质(xngzh)与计算与计算Cramer法则法则(fz)第六章第六章矩阵及其计算矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩逆矩阵与矩阵的秩 分块矩阵分块矩阵 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 第一页，共32页。n 阶行列式 第 一 节学习学习(xux)重重点点余子式与代数余子式的概念余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念阶行列式的概念 第二页，共32页。行列式的引入行列式的引入引例引例(yn l)：用加减消元法求：用加减消元法求解解 二元线性方程组二元线性方程组当当时时方程组有唯一解方程组有唯一解如果规定如果规定则有

2、则有第三页，共32页。二阶行列式二阶行列式 determinant定义定义(dngy)abcd第四页，共32页。例例 根据定义根据定义(dngy)(dngy)计算行列式的值计算行列式的值主对角线元素主对角线元素(yun s)之积减去副对角线元之积减去副对角线元素素(yun s)之积之积对角线法则对角线法则(fz)第五页，共32页。三三 阶行列式阶行列式对角线法则对角线法则(fz)第六页，共32页。例例 根据根据(gnj)定义计算行列式的值定义计算行列式的值对角线法则(fz)第七页，共32页。元素元素 的的余子式余子式元素元素 的的代数余子式代数余子式第八页，共32页。余子式元素元素 的余子式的

3、余子式 就是在行列式中划掉元素就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式成的行列式代数余子式 三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数代数(dish)余子式的乘积之和余子式的乘积之和第九页，共32页。n n 阶行列式的定义阶行列式的定义(dngy)(dngy)（P222P222定义定义(dngy)1(dngy)1）按第一行展开按第一行展开(zhn ki)第十页，共32页。例例 根据定义根据定义(dngy)计算行列式的值计算行列式的值第十一页，共32页。下三角形

4、行列式下三角形行列式逐次逐次(zh c)按第一行展开按第一行展开下三角形行列式的值等于(dngy)主对角线上各元素的乘积特别特别(tbi)第十二页，共32页。三阶行列式等于三阶行列式等于第一列所有元素第一列所有元素(yun s)与其代数余子式乘积之和与其代数余子式乘积之和第十三页，共32页。定理定理(dngl)(dngl)按第一列展开按第一列展开(zhn ki)第十四页，共32页。上三角形行列式上三角形行列式逐次逐次(zh c)按第一列展开按第一列展开上三角形行列式的值为主对角线上的元素(yun s)之乘积第十五页，共32页。例例 计算计算(j sun)行列式行列式的值的值按第一列展开按第一列

5、展开(zhn ki)第十六页，共32页。行列式的性质(xngzh)及计算第 二 节学习学习(xux)重点重点行列式的性质行列式的性质 行列式的按行按列展开定理行列式的按行按列展开定理 第十七页，共32页。1、转置(zhun zh)变换或记作行列式的几种行列式的几种(j zhn)(j zhn)变换变换行、列对掉行、列对掉称称 为行列式为行列式 的转置行列式的转置行列式Transpose 第十八页，共32页。行变行变row列变换列变换(binhun)column交换交换(jiohun)i,j两两行行数数K乘第乘第 i 行行数数K乘第乘第 j 行后行后加到第加到第 i 行上去行上去(shng q)交

6、换交换i,j两列两列数数K乘第乘第 i 列列数数K乘第乘第 j 列后列后加到第加到第 i 列上去列上去2、换法变换、换法变换3、倍法变换、倍法变换4、消法变换、消法变换 换法变换换法变换 倍法变换倍法变换 消法变换消法变换第十九页，共32页。行列式的性质行列式的性质(xngzh)(xngzh)1.行列式转置行列式转置(zhun zh)后，其值不变。后，其值不变。表明行与列是表明行与列是对等的，行具对等的，行具有有(jyu)的性的性质，列也具有质，列也具有(jyu)2.互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：推论：如果行列式如果行列式D D有两行（列）相同，则

7、有两行（列）相同，则D=0D=03.行列式的行列式的某一行（列）某一行（列）的所有元素都乘以同一数的所有元素都乘以同一数K K，等于用数，等于用数 K K 乘此行列式乘此行列式 。推论推论2 2：如果行列式如果行列式D D有有一行（列）一行（列）的元素全为零，则的元素全为零，则D=0D=0 推论推论3 3：如果行列式如果行列式D D有两行（列）的元素对应成比例，则有两行（列）的元素对应成比例，则D=0D=0 推论推论1:1:行列式中行列式中某一行（列）某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式的元素的公因数可以提到行列式 符号的外面。符号的外面。第二十页，共32页。4.4.如果行列式的某一行（列

8、）的元素如果行列式的某一行（列）的元素(yun s)(yun s)都是两项的都是两项的和，和，则可以把该行列式拆成两个行列式之和。则可以把该行列式拆成两个行列式之和。5.5.把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k k 后，加到另一行（列）的对应后，加到另一行（列）的对应(duyng)(duyng)元素上去，则行元素上去，则行列式列式 的值不变。的值不变。如如即即 第二十一页，共32页。交换交换(jiohun)i,j两两行行数数K乘第乘第 i 行行数数K乘第乘第 j 行后行后加到第加到第 i 行上去行上去(shng q)交换交换(jiohun)i,

9、j两列两列数数K乘第乘第 i 列列数数K乘第乘第 j 列列后加到第后加到第 i 列列上去上去2、换法变换、换法变换3、倍法变换、倍法变换4、消法变换、消法变换 换法变换换法变换 倍法变换倍法变换 消法变换消法变换1 1、转置变换、转置变换行与列对调行与列对调等值等值变号变号翻倍翻倍等值等值变号变号 翻倍翻倍 等值等值 第二十二页，共32页。利用利用(lyng)行列式的性质计算行列式的行列式的性质计算行列式的值值第二十三页，共32页。第二十四页，共32页。行列式的展开行列式的展开(zhn ki)(zhn ki)与计与计算算定理定理 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(yxng)（列）的各元

10、（列）的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。素与其对应的的代数余子式乘积之和。第二十五页，共32页。推论推论 行列式中某一行（或列）的元素行列式中某一行（或列）的元素(yun s)(yun s)与与另一行另一行（或列）对应元素（或列）对应元素(yun s)(yun s)的代数余子式乘积之和的代数余子式乘积之和为零。为零。小结小结(xioji)行列式按行展开行列式按行展开(zhn ki)得得D，串行展开，串行展开(zhn ki)得零。得零。第二十六页，共32页。例题例题(lt)1、计算、计算(j sun)行列式的值行列式的值2、设有行列式、设有行列式（1）（2）A11、A12、A13、A14分

11、别是分别是D的的第一行元素第一行元素(yun s)的代数余子式，试求的代数余子式，试求3A11-A12+3A13-A14的值。的值。第二十七页，共32页。解答解答(jid)1、（、（1）原式原式按第一列展开按第一列展开按第二行展开按第二行展开第二十八页，共32页。解答解答(jid)1、（、（2）原式原式按第四列展开按第四列展开按第二列展开按第二列展开2、将代数式还原成、将代数式还原成 行列式，得行列式，得第二十九页，共32页。1、计算、计算(j sun)下列行列式下列行列式（1）（2）2 2、证明、证明(zhngmng)(zhngmng)：VandermondeVandermonde行行列式列

12、式课课堂堂练练习习第三十页，共32页。答答 案案1、（、（1）（2）2、提示：用数学归纳法，后一行、提示：用数学归纳法，后一行 减去前一行的减去前一行的 倍倍小小结结行列式的计算方法：一般是先利用行列式的计算方法：一般是先利用(lyng)性质，用性质，用消法变换将行列式中某一行（或列）的元素消法变换将行列式中某一行（或列）的元素尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不为零，然后按该行（或列）展开，使行列式为零，然后按该行（或列）展开，使行列式降阶，最终化为二阶行列式，而得解。降阶，最终化为二阶行列式，而得解。第三十一页，共32页。作业作业(zuy)：P251 2（1）3（4）、）、6（2，3）、）、7预习第三节、第四节预习第三节、第四节第三十二页，共32页。