人大微积分课件11-2正项级数及其审敛法.ppt

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1、第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 一一 正项级数的概念正项级数的概念二二 正项级数的审敛法正项级数的审敛法定理定理1 1 正项级数收敛的充要条件是正项级数收敛的充要条件是:部分和数列部分和数列 为有界数列为有界数列.1.1.定义定义:该级数为正项级数该级数为正项级数.如果级数如果级数 中各项均有中各项均有则称则称2.2.部分和数列的特点部分和数列的特点:部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.一一 正项级数的概念正项级数的概念定理定理2 2（比较审敛法）（比较审敛法）即部分和数列有界即部分和数列有界,由定理由定理1 1得得收敛收敛.且且证明证明设设注：比较审敛法的

2、缺点是注：比较审敛法的缺点是必须有参考级数必须有参考级数.定理证毕定理证毕.发散发散不是有界数列不是有界数列则则且且设设由图可知由图可知设设解解设设则则 级数发散级数发散.例例1 1讨论讨论 级数级数的收敛性的收敛性.注：重要参考级数注：重要参考级数 几何级数几何级数,P-级数级数,调和级数调和级数.即可得即可得即即 有界有界,则则P-级数收敛级数收敛.例例2 2 试证明试证明 发散发散.证明证明故级数故级数 发散发散而级数而级数 发散发散定理定理3 3（比较审敛法的极限形式）（比较审敛法的极限形式）设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二

3、级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;当当 时时由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.即即证明证明对于对于由由定理定理4 4（极限审敛法）（极限审敛法）解解故故所给级数发散所给级数发散.例例4 4 判别下列判别下列级数的敛散性级数的敛散性.而而 发散发散,而而 收敛收敛.故原级数收敛故原级数收敛.而而 收敛收敛.故原级数收敛故原级数收敛.定理定理5 5（比值审敛法、达朗贝尔比值审敛法、达朗贝尔DAlembertDAlembert判别法判别法)即即当当 时时,

4、有有证明证明当当 为有限数时为有限数时,对对收敛收敛当当 时时,发散发散当当 时时,取取使使而级数而级数 收敛收敛.当当 时时,取取使使注注：1.1.比值审敛法的优点是不需要参考级数；比值审敛法的优点是不需要参考级数；2.2.当当 时比值审敛法无法判别时比值审敛法无法判别但但例如级数例如级数 发散发散,级数级数 收敛收敛,例例3.3.条件是充分的条件是充分的,而非必要而非必要.级数级数 收敛收敛,但但不存在不存在.解解例例5 5 判别下列判别下列级数的敛散性级数的敛散性.故该级数收敛故该级数收敛.故该级数发散故该级数发散.故该级数发散故该级数发散.解解级数收敛级数收敛.定理定理6 (6 (根值审敛法根值审敛法 、柯西判别法、柯西判别法)设设 是正项级数是正项级数,如果如果为数或为数或则则 时级数收敛；时级数收敛；时级数收敛；时级数收敛；时可能收敛也可能发散时可能收敛也可能发散.例例6 6 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性.