同济-高等数学-第三版(5.6)第六节反常积分学习资料.ppt

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1、 定积分定积分(jfn)(jfn)理论建立了一种处理定义在有限理论建立了一种处理定义在有限区区间上的连续分布量间上的连续分布量 f(x)f(x)的相关量的相关量U U 的一种方法的一种方法,即通过局部线性化即通过局部线性化 dU=f(x)d x dU=f(x)d x 来达到对所求来达到对所求量量U U 的一种无限逼近的一种无限逼近 为能够构造积分为能够构造积分(jfn)(jfn)和及保证和式极限存在，和及保证和式极限存在，通常总要求积分通常总要求积分(jfn)(jfn)区间为有限区间，被积函数区间为有限区间，被积函数为为有界函数。但在一些实际问题中却可能出现积有界函数。但在一些实际问题中却可能

2、出现积分区间为无穷区间或被积函数在积分分区间为无穷区间或被积函数在积分(jfn)(jfn)区间上区间上无无界的情形，于是就有了反常积分界的情形，于是就有了反常积分(jfn)(jfn)的概念。的概念。第一页，共35页。问题问题 1 1点电荷电场中一点的电场强度点电荷电场中一点的电场强度 考虑点电荷电场的电场强度。由于场的存在考虑点电荷电场的电场强度。由于场的存在(cnzi)(cnzi)，每，每点就具有了能量，电场中各点的能量大小就是电场强度点就具有了能量，电场中各点的能量大小就是电场强度的概念。电场中一点具有的能量大小取决于该点位置及的概念。电场中一点具有的能量大小取决于该点位置及所受电场力的大

3、小。设点电荷电所受电场力的大小。设点电荷电场中某点单位电荷所受电场力为场中某点单位电荷所受电场力为 f(r)=k/r 2 f(r)=k/r 2，则该点电场强度定，则该点电场强度定义为将该单位电荷移出电场，即义为将该单位电荷移出电场，即移到无穷远处时电场力所作的功。移到无穷远处时电场力所作的功。第二页，共35页。由定积分物理意义知，单位电荷受电场力作用，从由定积分物理意义知，单位电荷受电场力作用，从点点 r r 移动到移动到 r+d r r+d r 时电场力所作的功为时电场力所作的功为 dW=f(r dW=f(r)d r.)d r.于是，质点从于是，质点从 r=a r=a 处沿矢径移动到点处沿矢

4、径移动到点 r=b r=b 处时，电处时，电场场力所作的功为力所作的功为 将单位电荷从将单位电荷从点点 r=a r=a 处沿矢径移动到无穷处沿矢径移动到无穷(wqing)(wqing)远处时电场力所远处时电场力所作的功即作的功即该点的电场强度为该点的电场强度为 第三页，共35页。第四页，共35页。从几何上看，这种无穷区间上的积分对应于一个开从几何上看，这种无穷区间上的积分对应于一个开口的曲边梯形，即由曲线口的曲边梯形，即由曲线 f(r)=k/r 2 f(r)=k/r 2，x x 轴及直线轴及直线 x=ax=a 所围成的不封闭的曲边梯形。所围成的不封闭的曲边梯形。按面积一般概念，开口曲边梯形无法

5、定义按面积一般概念，开口曲边梯形无法定义(dngy)(dngy)其其面积，面积，但由于但由于 x x 轴是曲线轴是曲线 f(r)=k/r 2 f(r)=k/r 2的一条渐近线，该曲的一条渐近线，该曲线与线与直线直线 x=a x=a 及及 x x 轴所夹的轴所夹的“区域区域”可认为有一种广义的可认为有一种广义的面积。这种广义面积可通过如下方式进行讨论：面积。这种广义面积可通过如下方式进行讨论：作辅助直线作辅助直线 x=b a 0 x=b a 0，考虑由直线，考虑由直线 x=a,x x=a,x=b,=b,x x 轴及曲线轴及曲线 f(x)=k/x 2 f(x)=k/x 2 所围成的曲边梯形面积所围

6、成的曲边梯形面积 A(A(b)b)第五页，共35页。由定积分的几何由定积分的几何(j h)(j h)意义，曲边梯形面积意义，曲边梯形面积 A(b)A(b)对应于对应于 函数函数 f(x)=k/x 2 f(x)=k/x 2 在有限闭区间在有限闭区间 a,b a,b 上的定积上的定积分，即分，即 显然，显然，b b 越大，越大，A(b)A(b)的值越接近于开口曲边梯形的值越接近于开口曲边梯形的的“广义面积广义面积”，因此有，因此有 由此可见，开口曲边梯形是可以有由此可见，开口曲边梯形是可以有“广义面积广义面积”的，即开口曲边梯形的广义面积可以有确定的值的，即开口曲边梯形的广义面积可以有确定的值 A

7、.A.第六页，共35页。(1)(1)(1)(1)无穷区间无穷区间无穷区间无穷区间(q jin)(q jin)(q jin)(q jin)上反常积分的定义上反常积分的定义上反常积分的定义上反常积分的定义 设函数设函数 f(x)f(x)在区间在区间 a,+a,+)上连续，取上连续，取 b a b a，如如果极限果极限 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 f(x)f(x)在无穷区间在无穷区间 a,+a,+)上的反常积分，记作：上的反常积分，记作：这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛，如果此极限不存在，就称反常积分收敛，如果此极限不存在，就称反常积分 发散，此时发散，此时(c sh)(c

8、sh)该记号不具有数值意义。该记号不具有数值意义。a,+a,+a,+a,+）上的反常）上的反常）上的反常）上的反常(fnchng)(fnchng)(fnchng)(fnchng)积分积分积分积分 第七页，共35页。设函数设函数(hnsh)f(x)(hnsh)f(x)在区间在区间(-(-,b ,b 上连续，取上连续，取 a a b b，如，如果极限果极限 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数(hnsh)f(hnsh)f(x)x)在在在无穷区间在无穷区间(-(-,b ,b 上的反常积分，记作：上的反常积分，记作：这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛，如果此极限不存在，就称反常积分收敛，如

9、果此极限不存在，就称反常积分 发散。发散。(-(-,b ,b 上的反常上的反常(fnchng)(fnchng)积分积分 第八页，共35页。设函数设函数 f(x)f(x)在区间在区间(-(-,+,+)上连续，如果上连续，如果(rgu)(rgu)反常积反常积分分 都收敛，则称上述两反常积分都收敛，则称上述两反常积分的和为函数的和为函数 f(x)f(x)在无穷区间在无穷区间(-(-,+,+)上的反常积分上的反常积分,记作：记作：这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛，如果收敛，如果(rgu)(rgu)反常积分反常积分 有一个发散，就称反常积分有一个发散，就称反常积分 发散。发散。(-(-,+,+)上

10、的反常上的反常(fnchng)(fnchng)积分积分 第九页，共35页。无穷区间上的反常积分计算本质无穷区间上的反常积分计算本质(bnzh)(bnzh)上是变上、下上是变上、下限函限函数的极限计算，即先按定义将无穷区间上的反常积分写数的极限计算，即先按定义将无穷区间上的反常积分写成定积分与极限计算的组合形式，再先按定积分计算法成定积分与极限计算的组合形式，再先按定积分计算法及牛顿莱布尼兹公式求出原函数及其增量，再计算相及牛顿莱布尼兹公式求出原函数及其增量，再计算相应的极限。应的极限。此外，某些无穷区间上此外，某些无穷区间上的反常积分也可通过变量的反常积分也可通过变量代换直接转化为定积分代换直

11、接转化为定积分进行计算。进行计算。第十页，共35页。例：计算反常积分例：计算反常积分 由定义由定义(dngy)(dngy)先考虑定积分的计算：先考虑定积分的计算：按定义计算反常积分按定义计算反常积分 第十一页，共35页。于是于是(ysh)(ysh)求得求得 第十二页，共35页。例：计算反常积分例：计算反常积分 先考虑对应的积分计算。先考虑对应的积分计算。由于被积函数含有反三函数因子，不便直接积分。由于被积函数含有反三函数因子，不便直接积分。为此考虑先通过代换消去反三函数因子，再进行为此考虑先通过代换消去反三函数因子，再进行(jnxng)(jnxng)积积分。分。令令:arctan x=t:ar

12、ctan x=t，即，即 x=tan t x=tan t，d x=sec 2t d td x=sec 2t d t，则，则 当当 x:0 x:0 +时，时，t:0 t:0 /2 /2，于是有，于是有 通过代换原反常积分转化成了常义积分，因此只需通过代换原反常积分转化成了常义积分，因此只需计算定积分即可。计算定积分即可。通过变量代换转化积分形式通过变量代换转化积分形式 第十三页，共35页。第十四页，共35页。例：计算反常积分例：计算反常积分 按定义，讨论此反常积分敛散性应分别考察按定义，讨论此反常积分敛散性应分别考察(koch)(koch)两两反常积分反常积分 对于第一个反常积分，因为对于第一个

13、反常积分，因为故反常积分故反常积分 发散。发散。由定义，原反常积分发散。由定义，原反常积分发散。按定义考察反常积分按定义考察反常积分 第十五页，共35页。是是是是-a a ,a a 上的奇函数，故上的奇函数，故上的奇函数，故上的奇函数，故第十六页，共35页。上述解法是错误上述解法是错误(cuw)(cuw)的，其原因在于，虽然有：的，其原因在于，虽然有：因为其中两极限过程因为其中两极限过程 a+a+，b +b +是相互独立的。是相互独立的。第十七页，共35页。考虑由曲线考虑由曲线 x x 轴、轴、y y 轴及直线轴及直线 x=1 x=1所围成的开口曲边梯形的面积所围成的开口曲边梯形的面积 A.A

14、.从概念上讲，曲线从概念上讲，曲线 x x 轴、轴、y y 轴及轴及直线直线 x=1 x=1 不构成封闭图形，因而并不能定义所谓的面不构成封闭图形，因而并不能定义所谓的面积，但从几何上看，由于积，但从几何上看，由于 y y 轴是曲线的一条渐近线，因轴是曲线的一条渐近线，因此此开口曲边梯形可以此此开口曲边梯形可以(ky)(ky)具有某种具有某种“广义面积广义面积”。上开口曲边梯形的面积问题上开口曲边梯形的面积问题 问题问题 第十八页，共35页。第十九页，共35页。这种广义面积可通过如下方式进行讨论：作辅助直线 x=,(0 0 越小，此曲边梯形的面积 A()越接近于开口曲边梯形的面积 A.于是由极

15、限概念有 第二十页，共35页。所谓上开口曲边梯形对应于曲边梯形的曲边函数所谓上开口曲边梯形对应于曲边梯形的曲边函数有无穷间断点的特殊情形。有无穷间断点的特殊情形。函数函数 虽有无穷间断点虽有无穷间断点 x=0 x=0，但其，但其在在区间区间(0,1(0,1 上连续。通过作辅助线上连续。通过作辅助线 x=x=，上开口，上开口的曲的曲边梯形面积问题可归结为定积分计算边梯形面积问题可归结为定积分计算(j sun)(j sun)和相应和相应极限计算极限计算(j sun)(j sun)0 0 考察。因此上开口曲边梯形面积可能有意义。考察。因此上开口曲边梯形面积可能有意义。此具体问题及处理问题的方法具有一

16、般性，当被此具体问题及处理问题的方法具有一般性，当被积函数在积分区间内有无穷间断点时，相应积分和极积函数在积分区间内有无穷间断点时，相应积分和极限可能有意义。由此可建立无界函数反常积分概念。限可能有意义。由此可建立无界函数反常积分概念。第二十一页，共35页。瑕点瑕点(xi din)(xi din)与瑕积分的概念与瑕积分的概念 如果函数如果函数 f(x)f(x)在点在点 a a 的任意邻域内都无界，那么的任意邻域内都无界，那么点点 a a 称为称为(chn wi)f(x)(chn wi)f(x)的瑕点的瑕点(也称无界间断点也称无界间断点)，无界函数的无界函数的反常积分又称为反常积分又称为(chn

17、 wi)(chn wi)瑕积分。瑕积分。第二十二页，共35页。(1)(1)无界函数无界函数(hnsh)(hnsh)反常积分的定义反常积分的定义 区间左端点为无界间断区间左端点为无界间断(jindun)(jindun)点的反常积分点的反常积分 设函数设函数 f(x)f(x)在区间在区间(a,b(a,b 上连续，点上连续，点 a a 为为 f(x)f(x)的的瑕点，取瑕点，取 t 0 t 0，如果极限，如果极限 存在，则称此存在，则称此极限为函数极限为函数 f(x)f(x)在区间在区间(a,b(a,b 上的反常积分，仍记作上的反常积分，仍记作:这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛。如果上述收敛。

18、如果上述(shngsh)(shngsh)极极限不存限不存在，就称此反常积分发散。在，就称此反常积分发散。第二十三页，共35页。区间右端点为无界间断区间右端点为无界间断(jindun)(jindun)点的反常积分点的反常积分 设函数设函数 f(x)f(x)在区间在区间 a,b)a,b)上连续，点上连续，点 b b 为为 f(x)f(x)的的瑕点，取瑕点，取 t 0 t 0，如果极限，如果极限 存在，则称此存在，则称此极限为函数极限为函数 f(x)f(x)在区间在区间 a,b)a,b)上的反常积分，仍记作上的反常积分，仍记作:这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛收敛(shulin)(shulin

19、)。如果上述极。如果上述极限不存限不存在，就称此反常积分发散。在，就称此反常积分发散。第二十四页，共35页。无界间断无界间断无界间断无界间断(jindun)(jindun)(jindun)(jindun)点在积分区间内部的反常积分点在积分区间内部的反常积分点在积分区间内部的反常积分点在积分区间内部的反常积分 设函数设函数 f(x)f(x)在区间在区间 a,c)(c,b a,c)(c,b 上连续，点上连续，点 c c 为为 f(x)f(x)的瑕点，如果两反常积分的瑕点，如果两反常积分都收敛，则定义都收敛，则定义 如果两个反常积分如果两个反常积分 有一个有一个(y)(y)发发散，就称反常积分散，就

20、称反常积分 发散。发散。C.P.U.Math.Dept.C.P.U.Math.Dept.杨访杨访杨访杨访第二十五页，共35页。无界函数反常积分与定积分的记号是完全一样的无界函数反常积分与定积分的记号是完全一样的,都表示为都表示为 ，二者的区别仅在于，二者的区别仅在于(ziy)(ziy)被积函数的被积函数的性性质的差别。质的差别。对定积分而言，要求被积函数对定积分而言，要求被积函数 f(x)f(x)在区间在区间 a,b a,b 上有界，即上有界，即 f(x)f(x)在区间在区间 a,b a,b 上可以有间断点，但不上可以有间断点，但不能有无穷间断点。能有无穷间断点。对无界函数的反常积分而言，其特

21、点是被积函数对无界函数的反常积分而言，其特点是被积函数f(x)f(x)在区间在区间 a,b a,b 上有无穷间断点。若上有无穷间断点。若 f(x)f(x)是初等是初等函函数，则无穷间断点通常是分母零点。数，则无穷间断点通常是分母零点。无界函数无界函数无界函数无界函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)反常积分与定积分的区别反常积分与定积分的区别反常积分与定积分的区别反常积分与定积分的区别 第二十六页，共35页。按无界函数反常积分被积函数按无界函数反常积分被积函数 f(x)f(x)在积分区间在积分区间 a,b a,b 上瑕点位置的不同，相应反常积分有不同的定上瑕点位置的不同，相应反常

22、积分有不同的定义，其几何义，其几何(j h)(j h)意义也有区别。意义也有区别。瑕点位置与无界函数瑕点位置与无界函数(hnsh)(hnsh)反常积分的几何意义反常积分的几何意义 左端点左端点左端点左端点(du(du(du(du n n n n didididi n)n)n)n)为瑕点为瑕点为瑕点为瑕点第二十七页，共35页。第二十八页，共35页。第二十九页，共35页。若瑕点若瑕点 x=c x=c 位于积分区间位于积分区间 a,b a,b 内部，即当内部，即当a c b a c b 时，相应反常积分时，相应反常积分 有三点需注意：有三点需注意：第一，当且仅当两反常积分第一，当且仅当两反常积分都收

23、敛时，才能称反常积分都收敛时，才能称反常积分 收敛，此时收敛，此时(c(c sh)sh)积积分记号才具有数值的意义。分记号才具有数值的意义。第二，式子第二，式子定义式，不能混淆为定积分关于积分区间的可加性。定义式，不能混淆为定积分关于积分区间的可加性。第三，式子第三，式子 中的中的两极限过程是独立的，不可混淆为一个极限过程。两极限过程是独立的，不可混淆为一个极限过程。瑕点瑕点(xi din)(xi din)在积分区间内部时应注意的问题在积分区间内部时应注意的问题 第三十页，共35页。无界函数的反常积分与定积分形式完全一样，因此无界函数的反常积分与定积分形式完全一样，因此考虑其计算时应先确定被积

24、函数的瑕点。对含多个瑕点考虑其计算时应先确定被积函数的瑕点。对含多个瑕点的反常积分，应先将其分解为若干个只含一个瑕点的反的反常积分，应先将其分解为若干个只含一个瑕点的反常积分，再考虑按定义计算。常积分，再考虑按定义计算。无穷区间上反常积分的计算一无穷区间上反常积分的计算一般也是变上、下限函函数的极限般也是变上、下限函函数的极限(jxin)(jxin)计计算，即先按定积分计算法求出原函数算，即先按定积分计算法求出原函数增量，再计算相应的极限增量，再计算相应的极限(jxin)(jxin)。在某些情形下，无穷区间上的反常在某些情形下，无穷区间上的反常积分也可直接通过代换化为定积分计算。积分也可直接通

25、过代换化为定积分计算。第三十一页，共35页。例：计算反常积分例：计算反常积分 由于被积函数为初等函数，考虑由于被积函数为初等函数，考虑(kol)(kol)其瑕点主其瑕点主要考察积要考察积分区间内的分母零点。分区间内的分母零点。令：令：3 x 2-2 x-1=(3x+1)(x-1)=0 3 x 2-2 x-1=(3x+1)(x-1)=0，在在1,21,2内内可解得可解得:x=1.:x=1.由于由于 故本题是个无界函数的反常积分，故本题是个无界函数的反常积分，x=1 x=1 是被积函数在是被积函数在积分区间积分区间1,21,2内唯一的瑕点。内唯一的瑕点。按定义计算反常积分按定义计算反常积分 判别判

26、别(pnbi)(pnbi)被积函数的瑕点被积函数的瑕点 第三十二页，共35页。瑕点瑕点 x=1 x=1 是积分区间是积分区间 1,2 1,2 的左端点，故由无界的左端点，故由无界函数反常积分的定义有函数反常积分的定义有 对于上式的积分，容易想到先消去对于上式的积分，容易想到先消去(xio q)(xio q)根式中的一根式中的一次项次项将其化为形如将其化为形如 的积分，再通过三角代的积分，再通过三角代换进行计算。换进行计算。然而，由于分母根式前还含有因子然而，由于分母根式前还含有因子 x x，直接采用三，直接采用三角代换会得到高次三角式。为避免出现这种情形，宜考角代换会得到高次三角式。为避免出现这种情形，宜考虑先消去虑先消去(xio q)(xio q)因子因子 x .x .于是采用倒代换并凑微分。于是采用倒代换并凑微分。计算计算(j sun)(j sun)反常积分反常积分 第三十三页，共35页。第三十四页，共35页。第三十五页，共35页。