18.1勾股定理(第1课时)课件.ppt

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1、八年级数学下册八年级数学下册(人教版人教版)第十八章 勾股定理 古店中学古店中学 吕德品吕德品学习目标 1、知识与技能 掌握勾股定理反映的数量关系；会用拼图法、面积法证明勾股定理；在生活实践中学会使用勾股定理。2、过程与方法 通过“观察猜想归纳验证”过程理解勾股定理；学会从特殊到一般的数学思考方法。3、情感态度、价值观 通过实验、猜想、拼图、证明等了解数学知识的发生发展过程，学会合作交流，体验探究乐趣，增强探索意识；感受勾股定理的悠久历史，激发学习热情。除地球外，别的星球上有没有生命呢？自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别是近年来不断出现的UFO事件，更让人们相信有外星人的说法，如果真的有

2、，那我们怎么和他们交流呢？我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发射一种图形，因为这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形.一、创设情境数学家华罗庚曾建议用数学家华罗庚曾建议用“勾股定理勾股定理”图作为与图作为与“外星人外星人”联系的信号。联系的信号。弦图弦图这个图形里蕴这个图形里蕴涵着怎样博大涵着怎样博大精深的知识呢精深的知识呢？它标志着我国它标志着我国古代数学的伟古代数学的伟大成就！大成就！假如我们一旦和外星人见面，该使用什么语言呢？假如我们一旦和外星人见面，该使用什么语言呢？使用使用“符号语言符号语言”与外星人联系是最经济和最有效的，与

3、外星人联系是最经济和最有效的，外星人也最可能使用这种语言外星人也最可能使用这种语言,并且最可能是数学语言。并且最可能是数学语言。中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个图形作为与外中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个图形作为与外星人交谈的媒介，一个是星人交谈的媒介，一个是“数数”，另一个是，另一个是“数形关系数形关系”（勾股定理）。因为这种自然图形所具备的（勾股定理）。因为这种自然图形所具备的“数形关数形关系系”在整个宇宙中是普遍的。在整个宇宙中是普遍的。探索勾股定理探索勾股定理 那么这到底是一种什么样的图形呢？它真的有那么大的魅力吗？下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数学家毕达哥拉斯一起来研究

4、这种图形吧。毕达哥拉斯(公元前572-前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系AB C 我们也来观察右图的地面，你能发现A、B、C面积之间有什么数量关系吗？SA+SB=SC每块砖都是等腰直角三角形哦（图中每个小方格是1个单位面积）1.A中含有_个小方格，即A的面积是 个单位面积B的面积是 个单位面积C的面积是 个单位面积99189探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有什么数量关系吗？二、实验探究ABC图1结论：图1中三个正方形A，B，C的面积

5、之间的数量关系是:S SA A+S+SB B=S=SC C探究二：S SA A+S+SB B=S=SC C在图2中还成立吗？ABC图2结论：仍然成立。A的面积是 个单位面积B的面积是 个单位面积C的面积是 个单位面积25169 你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流（图中每个小方格是1个单位面积）ABC问题2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?问题4:那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是:abc 至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SCa2+b2=c2a2+b2=c2问题1:去掉网格结论会改

6、变吗？问题3:去掉正方形结论会改变吗？命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.abc我们猜想：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚。这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的三、拼图证明 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。赵爽拼图证明法：c c 小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.图1黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实

7、朱实图2c c黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实b a MNP剪、拼过程展示：“赵爽弦图”黄实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实朱实c ca ab b“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，当 2002年第24届国际数学家大会在北京召开时，“赵爽弦图”被选作大会会徽。现在，我们已经证明了命题1的正确性，在数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以命题1在我国叫做勾股定理(gou-gu theorem)。勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么 a2+b2 =c2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。1.1.成立条件成立

8、条件：在直角三角形中在直角三角形中3.3.作用作用：已知直角三角形任意两边长，：已知直角三角形任意两边长，求第三边长。求第三边长。2.2.公式变形公式变形:abc如果如果直角三角形直角三角形两直角边长分别为两直角边长分别为a a、b,b,斜边长为斜边长为c c勾勾 股股 定定 理理（注意（注意：哪条边是斜边哪条边是斜边）结论变形结论变形c2=a2 +b2abcABC 为什么叫勾股定理这个名称呢？原来在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。于是我国古代学者就把直角三角形中较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”.由于命题1反映的正好是直角三角

9、形三边的关系，所以叫做勾股定理。勾股国外又叫毕达哥拉斯定理勾勾2 +股股2 =弦弦2股股勾勾勾勾较短的直角边较短的直角边称为称为 ，股股较长的直角边较长的直角边称为称为 ，直角三角形中直角三角形中弦弦斜边斜边称为称为 。弦弦勾股世界勾股世界 我国是最早了解勾股定理的国家之我国是最早了解勾股定理的国家之一。三千多年前，周朝数学家商高就提一。三千多年前，周朝数学家商高就提出了出了“勾勾三三股股四四弦弦五五”的说法。的说法。其他证明方法用四个全等三角形拼图证明。勾股定理是几何学中的明珠，它充满了无穷的魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓

10、，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种。验证勾股定理的正确性验证勾股定理的正确性例题：求出下列直角三角形中未知边的长度.解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100 x2=62+82x0 y2+52=132 y2=132-52y2=144 y=12（2）在RtABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2y0A68xCB5y13CABX=10四、实践应用方法总结：利用勾股定理建立方程.1.1.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长:8 8171712125 5xx用勾股定理用勾股定理

11、建立方程建立方程.判断哪条边判断哪条边是斜边！是斜边！练习1：图中已知数据表示面积，求表示边的未知数x、y的值.916xy144169看谁算得快如图，大风将一根木制旗如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后十分危急。接警后“119119”迅速赶到现场，并决定从迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少全区域的半径至少是多少米吗？米吗？议一议：议一议：9m24m?练习2：已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4,求S

12、5、S6、S7的值.看谁算得快s s3 311美丽的勾股树1、求下列图中字母所表示的正方形的面积.=625=625225400A22581B=144五、反馈评价2、如图，受台风影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？4米3米3、求下列直角三角形中未知边的长.6x101213x 2.受台风莎麦影响，一棵树在离地面受台风莎麦影响，一棵树在离地面4 4米处断裂，米处断裂，树的顶部落在离树根底部树的顶部落在离树根底部3 3米处，问这棵树折断前有米处，问这棵树折断前有多高？（注：树干与地面垂直）多高？（注：树干与地面垂直）4米米3米米ABC解：解：常用勾股数：常

13、用勾股数：勾勾3 3，股，股4 4，弦，弦5 5（勾股定理）169 或或119注意：哪条边是斜边!分类讨论分类讨论思想思想12125 5ACBBCBC为斜边为斜边12125 5CABBABA为斜边为斜边4、已知：、已知：Rt ABC中，中，AB12，AC5,则则 等于等于_.若直角三角形的两条边长为若直角三角形的两条边长为6cm、8cm8cm，则第三边长一定为，则第三边长一定为10cm.()10cm.()判断正误判断正误:68685 5.高速公路上有高速公路上有A A、B B两站相距两站相距25km25km，C C、D D为两个小为两个小鎮，鎮，DA=15km,CB=10kmDA=15km,C

14、B=10km，现在要在公路边上建设一，现在要在公路边上建设一个收购站个收购站E E，使得它到两镇的距离相等，则，使得它到两镇的距离相等，则E E站应建站应建在距在距A A站多远处站多远处?DAEBC1510 x25-x方程思想方程思想你能用四个直角边长是你能用四个直角边长是a a、b(ba)b(ba)，斜边长，斜边长c c的的全等三角形，拼成一个边长为全等三角形，拼成一个边长为c c的正方形吗？的正方形吗？abcabcabcabc想一想想一想（1 1）你能用几种方式表示正方形）你能用几种方式表示正方形ABCDABCD的面积？的面积？（2 2）由此你能得到怎样的等式？你能利用该等）由此你能得到怎

15、样的等式？你能利用该等式证明勾股定理吗？式证明勾股定理吗？ABCDEFGHcaba 赵爽（即赵君卿）是三国时期吴赵爽（即赵君卿）是三国时期吴国的数学家，他在国的数学家，他在注释周髀算经注释周髀算经时，用四个全等的直角三角形拼图，时，用四个全等的直角三角形拼图，对勾股定理进行了详细证明。他是我对勾股定理进行了详细证明。他是我国最早对勾股定理进行证明的数学家，国最早对勾股定理进行证明的数学家，也也是我们中华民族的骄傲。是我们中华民族的骄傲。ABCDEFGHcabcccaaabbb这就是赵爽的这就是赵爽的弦图弦图，又叫勾股圆方图！又叫勾股圆方图！为了纪念他的这一重大贡献，为了纪念他的这一重大贡献，2

16、0022002年在北京召开的年在北京召开的第第2424届国际数学家大会，将弦图作为了该届大会会徽。届国际数学家大会，将弦图作为了该届大会会徽。通过构造几何图形通过构造几何图形,并利用不同方法去表示同并利用不同方法去表示同一个几何图形的面积，来证明代数式之间的恒等关一个几何图形的面积，来证明代数式之间的恒等关系，这种方法既具严密性，又具直观性，是数形结系，这种方法既具严密性，又具直观性，是数形结合的一个典范。合的一个典范。面积构造法面积构造法ABCDEFGHcabcccaaabbb数形结合思想数形结合思想周髀算经周髀算经 毕达哥拉斯毕达哥拉斯毕达哥拉斯毕达哥拉斯 商高商高 数学史话数学史话勾股圆

17、方图勾股圆方图勾股圆方图勾股圆方图如果用四个直角边长是如果用四个直角边长是a a、b b，斜边长，斜边长c c的的全等三角形，拼成一个边长为（全等三角形，拼成一个边长为（a+ba+b）的正）的正方形，方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法你能根据所拼出的图形，利用面积法证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？动动手动动手动动手动动手abcabcabcabc如果用四个直角边长是如果用四个直角边长是a a、b b，斜边长，斜边长c c的的全等三角形，拼成一个边长为（全等三角形，拼成一个边长为（a+ba+b）的正）的正方形，方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法你能根据所拼出的图形，利用面积法证明勾股定理吗

18、？证明勾股定理吗？动动手动动手动动手动动手证明：证明：周元治证法周元治证法 abbcABCD 总统证法总统证法 用两个直角边长分别为用两个直角边长分别为a,b,a,b,斜边斜边长为长为c c的直角三角形和一个以的直角三角形和一个以c c为直角为直角边的等腰直角三角形拼成一个梯形。边的等腰直角三角形拼成一个梯形。acbbacADCBEacbbacACBEacbbacABE总统证法拼图正好是周元治总统证法拼图正好是周元治证法拼图证法拼图 的一半！图图1图图2acbbacCDacbbacABE 总统证法总统证法周元治证法周元治证法 如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展如果我们要找一个定理，

19、它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳选择史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳选择,很多具有很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理，它的发现和证明在世界数学史上有着独特的是勾股定理，它的发现和证明在世界数学史上有着独特的贡献和地位。贡献和地位。勾股定理勾股定理 人类伟大的发现人类伟大的发现勾勾 股股 弦弦 定定 理理商商 高高 定定 理理 中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，我国古代著名的数学著作我国古代著名的数学著作周髀算经中曾记周髀算经中曾记载，早在

20、三千多年前，周朝数学家商高就提出载，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了：勾三，股四，弦五。了：勾三，股四，弦五。毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理百牛定理百牛定理图1图2毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法（邹元治证明）（邹元治证明）（赵爽证明）（赵爽证明）（总统证明）（总统证明）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法 迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力，勾股定理体，完美地体现了数形结合的魅力，勾股定理是数学中数与形的第一定理。是数学中数与形的第一定理

21、。精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（欧几里得证明）（欧几里得证明）（刘徽的青朱出入图）（刘徽的青朱出入图）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（达芬奇证法）（达芬奇证法）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法印度、阿拉伯世界和印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明欧洲出现的一种拼图证明（李锐证明）（李锐证明）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（陈杰证明）（陈杰证明）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（项明达证明）（项明达证明）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（向明达证法）（杨作玫证明）（杨作玫证明）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（辛卜松证明

22、）（辛卜松证明）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（梅文鼎证明）（梅文鼎证明）精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法 毕达哥拉斯命题是1940年出版的一本勾股定理的证明专辑，其中收集了370种不同的证明方法。毕达哥拉斯命题 如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。高斯1、本节课我们学到了什么？通过学习,我们知道了著名的勾股定理，掌握了从特殊到一般的探索方法，还学会到了拼图证明的方法。2、学了本节课后我们有什么感想？我们发现有些数学结论就存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现。六、感悟收获1.必做题：课本第70页，习题18.1 第2、3、4题.2.选做题：（1）课本第71页“阅读与思考”，了解勾股定理的多种证法.（2）有兴趣的学生上网查阅了解勾股定理的有关知识并写一篇小论文.七、课后作业说不定你也可以创造一种新的证明方法呢！要养成用数学的思维去解读世界的习惯。只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。其实数学在我们的生活中无处不在,只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前,还有很多象“勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现教师寄语教师寄语 只要我们细心观察、认真思考，就可以在生活中发现数学的奇妙，让我们在奇妙的数学世界里，不懈探索、自由翱翔，享受数学带给我们的乐趣吧！