复变函数与积分变换课件4.1 复数项级数知识分享.ppt

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1、复变函数与积分变换课件4.1 复数项级数24.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 4.1 复数项级数复数项级数一、复数序列一、复数序列二、复数项级数二、复数项级数34.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 44.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 54.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 64.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解由由 或或 发散，发散，即得即得 也发散。也发散。已知已知故序列故序列 收敛。收敛。附附 考察考察实实序列序列 的收敛性的收敛性。(其中其中 见上例见上例)根据根据复数模的三角不等式复数模的三角不等式有有74.1 复数项级数

2、第四章 解析函数的级数表示 注注(1)序列序列 收敛收敛序列序列 收敛；收敛；(2)例例 设设讨论序列讨论序列 的收敛性。的收敛性。解解即序列即序列 收敛。收敛。84.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、复数项级数二、复数项级数1.基本概念基本概念定义定义 设设 为一复数序列，为一复数序列，(1)称称 为为复数项级数复数项级数，(2)称称 为级数的为级数的部分和部分和；并且极限值并且极限值 s 称为级数的称为级数的和和；(3)如果序列如果序列 收敛，即收敛，即则称级数则称级数收敛收敛，(4)如果序列如果序列 不收敛，不收敛，则称级数则称级数发散发散。简记为简记为94.1 复数项级数

3、 第四章 解析函数的级数表示 二、复数项级数二、复数项级数2.复数项级数收敛的充要条件复数项级数收敛的充要条件级数级数 和和 都收敛。都收敛。则级数则级数 收敛的充分必要条件是收敛的充分必要条件是定理定理 设设证明证明令令 和和 分别为级数分别为级数和和 的部分和，的部分和，则级数则级数 的部分和的部分和即得级数即得级数 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 和和 都收敛。都收敛。由于序列由于序列 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 和和 都收敛，都收敛，P80定理定理 4.1 104.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、复数项级数二、复数项级数3.复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛

4、的必要条件则则 收敛的必要条件是收敛的必要条件是定理定理 设设等价于等价于因此因此 收敛的必要条件是收敛的必要条件是证明证明 由于级数由于级数 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 和和 都收敛，都收敛，而实数项级数而实数项级数 和和 收敛的必要条件是：收敛的必要条件是：P80 定理定理4.3 114.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 级数级数 收敛，收敛，解解但级数但级数 发散，发散，因此级数因此级数 发散。发散。(几何级数几何级数 时收敛时收敛)(p 级数级数 时发散时发散)P81 例例4.2 部分部分 124.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解由于级数由于级数 和和

5、均为收敛，均为收敛，(绝对收敛绝对收敛)故有级数故有级数 和和 均收敛，均收敛，即得级数即得级数 收敛。收敛。记为记为 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？P81 例例4.2 部分部分 134.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 4.复数项级数的绝对收敛与条件收敛复数项级数的绝对收敛与条件收敛二、复数项级数二、复数项级数定义定义(1)若若 收敛，则称收敛，则称 绝对收敛绝对收敛。(2)若若 发散，发散，收敛，则称收敛，则称 条件收敛条件收敛。由由 收敛，收敛，证明证明收敛，收敛，定理定理 若若 收敛，则收敛，则 必收敛。必收敛。又又根

6、据根据正项级数的比较法正项级数的比较法可得，可得，和和 均收敛，均收敛，和和 均收敛，均收敛，收敛。收敛。P81 P80 定理定理4.4 144.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解 由于由于即即 绝对收敛，绝对收敛，故故 收敛。收敛。154.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 分析分析 由于由于 发散，发散，(p 级数级数，比阶法比阶法)因此不能马上判断因此不能马上判断 是否收敛。是否收敛。解解故级数故级数 收敛。收敛。记为记为(莱布尼兹型的交错级数莱布尼兹型的交错级数)收敛，收敛，收敛，收敛，164.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 4.2 复变函数项级数复变

7、函数项级数一、基本概念一、基本概念二、二、幂级数幂级数三、三、幂级数的性质幂级数的性质174.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、基本概念一、基本概念1.复变函数项级数复变函数项级数(2)称称 为区域为区域 G 内内(1)称称 为区域为区域 G 内的内的复变函数序列复变函数序列。定义定义 设复变函数设复变函数 在区域在区域 G 内有定义，内有定义，的的复变函数项级数复变函数项级数，简记为简记为184.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、基本概念一、基本概念2.复变函数项级数收敛的定义复变函数项级数收敛的定义(1)称称 为级数为级数 的的部分和部分和。定义定义 设设 为区

8、域为区域 G 内的内的复变函数项级数复变函数项级数，称级数称级数 在在 点收敛点收敛。z0则称级数则称级数 在区域在区域 D 内收敛内收敛。(3)如果存在区域如果存在区域 D G，有有此时，称此时，称(2)如果对如果对 G 内的某一点内的某一点 ，有，有z0则则为为和函数和函数，D 为为收敛域收敛域。194.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、二、幂级数幂级数1.幂级数的概念幂级数的概念其中，其中，为复常数。为复常数。定义定义 称由下式给出的复变函数项级数为称由下式给出的复变函数项级数为幂级数幂级数：(I I)特别地，当特别地，当 时有时有()()注注(1)下面主要是对下面主要是对

9、 型幂级数进行讨论，所得到的结论型幂级数进行讨论，所得到的结论()()只需将只需将 换成换成 即可应用到即可应用到 型幂级数。型幂级数。(I I)z(2)对于对于 型幂级数，在型幂级数，在 点肯定收敛。点肯定收敛。()()204.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、二、幂级数幂级数2.阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理(1)如果级数在如果级数在 点收敛，则它在点收敛，则它在 上上绝对收敛绝对收敛；对于幂级数对于幂级数 ，有，有定理定理(2)如果级数在如果级数在 点发散，则它在点发散，则它在 上上发散。发散。则存在则存在 M，使对所有的，使对所有的 n 有有即得即得 收敛。收敛。证明证

10、明(1)由由 收敛，有收敛，有其中其中 ，当当 时，时，P83定理定理 4.5 推论推论(阿贝尔与伽罗华阿贝尔与伽罗华)214.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 对于幂级数对于幂级数 ，有，有二、二、幂级数幂级数2.阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理(1)如果级数在如果级数在 点收敛，则它在点收敛，则它在 上上绝对收敛；绝对收敛；定理定理(2)如果级数在如果级数在 点发散，则它在点发散，则它在 上上发散。发散。证明证明(2)反证法反证法：与已知条件矛盾。与已知条件矛盾。已知级数在已知级数在 点发散，点发散，假设假设存在存在使得级数在使得级数在 点收敛，点收敛，由定理的第由定理的第(1)

11、条有，条有，级数在级数在 上上绝对收敛；绝对收敛；级数在级数在 点收敛，点收敛，224.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、二、幂级数幂级数3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛分析分析234.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、二、幂级数幂级数3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛定义定义 如图设如图设 CR 的半径为的半径为 R，(1)称圆域称圆域为为收敛圆收敛圆。(2)称称 R 为为收敛半径收敛半径。R注意注意 级数在收敛圆的边界上级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。各点的收敛情况是不一定的。约

12、定约定表示级数仅在表示级数仅在 z=0 点收敛；点收敛；表示级数在整个复平面上表示级数在整个复平面上 收敛。收敛。244.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 例例 考察级数考察级数 的收敛性。的收敛性。对任意的对任意的解解都有都有收敛半径为收敛半径为(必要条件必要条件?)例例 考察级数考察级数 的收敛性。的收敛性。由由 收敛，收敛，因此级数因此级数 在全平面上收敛，在全平面上收敛，收敛，收敛，故级数故级数 仅在仅在 点收敛，点收敛，收敛半径为收敛半径为对对任意固定任意固定的的解解当当 时，有时，有254.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 级数的部分和为级数的部分和为解解级数发

13、散。级数发散。级数收敛；级数收敛；(1)当当 时，时，和函数为和函数为(2)当当 时，时，故级数收敛半径为故级数收敛半径为264.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、二、幂级数幂级数4.求收敛半径的方法求收敛半径的方法(1)比值法比值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为对于幂级数对于幂级数 ，有，有推导推导 考虑正项级数考虑正项级数利用利用达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法：当当 即即 时，级数收敛；时，级数收敛；当当 即即 时，级数发散。时，级数发散。P85 274.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 (2)根值法根值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为二、二、幂级数幂级数4.求收

14、敛半径的方法求收敛半径的方法(1)比值法比值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为对于幂级数对于幂级数 ，有，有(利用正项级数的利用正项级数的柯西判别法柯西判别法即可得到即可得到)284.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。由由解解收敛圆为收敛圆为收敛半径为收敛半径为例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。由由解解收敛圆为收敛圆为收敛半径为收敛半径为得得得得P86 例例4.3 部分部分 294.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。收敛圆为

15、收敛圆为故级数的收敛半径为故级数的收敛半径为由于由于解解304.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 令令则在则在 内有内有三、三、幂级数的性质幂级数的性质1.幂级数的运算性质幂级数的运算性质P86 314.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 2.幂级数的分析性质幂级数的分析性质即即(3)在收敛圆内可以在收敛圆内可以逐项积分逐项积分，即即(1)函数函数在收敛圆在收敛圆 内内解析解析。设设性质性质则则(2)函数函数 的导数可由其幂函数的导数可由其幂函数逐项求导逐项求导得到，得到，三、三、幂级数的性质幂级数的性质P87 324.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 3.幂级数的

16、代换幂级数的代换(复合复合)性质性质 在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。又设函数又设函数 在在 内解析，且满足内解析，且满足设级数设级数 在在 内收敛，内收敛，和函数和函数为为性质性质当当 时，有时，有则则三、三、幂级数的性质幂级数的性质334.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解 方法一方法一 利用乘法运算性质利用乘法运算性质方法二方法二 利用逐项求导性质利用逐项求导性质344.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解其收敛半径为其收敛半径为收敛圆为收敛圆为354.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数

17、表示 4.3 泰勒级数泰勒级数一、泰勒一、泰勒(Taylor)定理定理二、将函数展开为二、将函数展开为泰勒级数的方法泰勒级数的方法364.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 z0DC一、泰勒一、泰勒(Taylor)定理定理则当则当 时，有时，有定理定理 设函数设函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，C 为为 D 的边界，的边界，其中，其中，证明证明 (略略)Rl 为为 D 内包围内包围 点的点的z0的任意一条闭曲线。的任意一条闭曲线。l P88定理定理 4.6 (进入证明进入证明?)?)374.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、泰勒一、泰勒(Taylor)定理定理注注(

18、1)为什么只能在圆域为什么只能在圆域 上展开为幂级数，上展开为幂级数，z0RDC而不是在整个解析区域而不是在整个解析区域 D 上展开？上展开？回答回答这是由于受到幂级数本身这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制：的收敛性质的限制：幂级数的收敛域必须幂级数的收敛域必须是圆域。是圆域。幂级数一旦收敛，其幂级数一旦收敛，其和函数和函数一定解析。一定解析。384.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、泰勒一、泰勒(Taylor)定理定理注注(2)展开式中的系数展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。还可以用下列方法直接给出。方法一方法一394.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一

19、、泰勒一、泰勒(Taylor)定理定理注注(2)展开式中的系数展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。还可以用下列方法直接给出。方法二方法二z0RDCl404.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、泰勒一、泰勒(Taylor)定理定理注注(3)对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的，即具有唯一性。其结果都是一样的，即具有唯一性。将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。比如比如方法一方法一 利用已知的结果利用已知的结果(4.2):方法二方法二 利用泰勒定理利用泰勒定理:方法三方法三 利用长除法。利用长除法。

20、(长除法长除法)414.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、泰勒一、泰勒(Taylor)定理定理注注(4)对于一个给定的函数，能不能在对于一个给定的函数，能不能在不具体不具体展开为幂级数展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？的情况下，就知道其收敛域？可以知道可以知道。函数函数 在在 点展开为泰勒级数，其收敛半径点展开为泰勒级数，其收敛半径结论结论等于从等于从 点到点到 的最近一个奇点的最近一个奇点 的距离。的距离。(1)幂级数在收敛圆内解析，幂级数在收敛圆内解析，因此奇点因此奇点 不可能不可能理由理由在收敛圆内；在收敛圆内；(2)奇点奇点 也也不可能在收敛圆外，不然收敛半径不可能在

21、收敛圆外，不然收敛半径还可以扩大，还可以扩大，故奇点故奇点 只能在收敛圆周上。只能在收敛圆周上。424.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、将函数展开为二、将函数展开为泰勒级数的方法泰勒级数的方法1.直接展开法直接展开法 利用泰勒定理，直接计算展开系数利用泰勒定理，直接计算展开系数将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。例例解解P90 例例4.6 434.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、将函数展开为二、将函数展开为泰勒级数的方法泰勒级数的方法1.直接展开法直接展开法 利用泰勒定理，直接计算展开系数利用泰勒定理，直接计算展开系数 同理可得同理可得444.1

22、 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 二、将函数展开为二、将函数展开为泰勒级数的方法泰勒级数的方法2.间接展开法间接展开法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式两个重要的已知展开式454.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 故收敛半径故收敛半径函数函数 有奇点有奇点解解 函数函数 有奇点有奇点故收敛半径故收敛半径(1)(2)P92 例例4.10 464.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 (1)解解将函数将函数 分别

23、在分别在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。例例P92 例例4.11 修改修改 474.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 (2)解解将函数将函数 分别在分别在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。例例484.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 (1)解解(2)494.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解504.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。例例将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。例例解解514.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为

24、幂级数。例例*P93 例例4.12 524.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 4.4 洛朗级数洛朗级数一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”二、洛朗二、洛朗(Laurent)定理定理三、将函数展开为三、将函数展开为洛朗级数的方法洛朗级数的方法534.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1.问题分析问题分析引例引例 根据前面的讨论已知，根据前面的讨论已知，函数函数 在在 点的幂级数点的幂级数展开式为展开式为 事实上，该函数在整个复平面上仅有事实上，该函数在整个复平面上仅有 一个奇点，一个奇点，但正是这样一个奇点，

25、使得函数只能在但正是这样一个奇点，使得函数只能在 内展开内展开为为 z 的幂级数，的幂级数，而在而在 如此广大的如此广大的解析区域解析区域内不能内不能展开为展开为 z 的幂级数。的幂级数。有没有其它办法呢？有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！一粒老鼠屎，坏了一锅汤！544.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1.问题分析问题分析设想设想 这样一来，在整个复平面上就有这样一来，在整个复平面上就有由由 ，有有 从而可得从而可得554.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1.

26、问题分析问题分析启示启示 如果如果不限制不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开复平面上展开(除了奇点所在的圆周上除了奇点所在的圆周上)。在引入了负幂次项以后，在引入了负幂次项以后，“幂级数幂级数”的收敛特性如何呢？的收敛特性如何呢？下面将讨论下列形式的级数下面将讨论下列形式的级数:564.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”分析分析2.级数级数 的收敛特性的收敛特性将其分为两部分：将其

27、分为两部分：正幂次项部分正幂次项部分与与负幂次项部分负幂次项部分。(A)(B)(1)对于对于(A)式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为(2)对于对于(B)式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为根据上一节的讨论可知：根据上一节的讨论可知：574.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2.级数级数 的收敛特性的收敛特性(1)如果级数如果级数 收敛，收敛，则其收敛域则其收敛域“一定一定”为环域：为环域：如果只含如果只含正正幂次项幂次项(或者加上有限个或者加上有限个负负幂次项幂次项)，特别地特别地则其收敛域为：则其收敛域为：或或

28、如果只含如果只含负负幂次项幂次项(或者加上有限个或者加上有限个正正幂次项幂次项)，则其收敛域为：则其收敛域为：上述两类收敛域被看作是一种上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域特殊的环域。584.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2.级数级数 的收敛特性的收敛特性(1)如果级数如果级数 收敛，收敛，则其收敛域则其收敛域“一定一定”为环域：为环域：而且具有与幂级数同样的而且具有与幂级数同样的运算性质运算性质和和分析性质分析性质。(2)级数级数 在收敛域内其和函数是在收敛域内其和函数是解析解析的的,因此，下面将讨论如何将一个函数在其

29、解析环域内展开因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。为上述形式的级数。594.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 R2z0R1D二、洛朗二、洛朗(Laurent)定理定理设函数设函数 在圆环域在圆环域定理定理C 为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。解析解析,内内在此圆环域中展开为在此圆环域中展开为则则 一定能一定能其中，其中，证明证明(略略)z zC P94定理定理 4.7 (进入证明进入证明?)?)604.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 注注(1)展开式中的系数展开式中的系数 可以用下面得方法直接给出。可以

30、用下面得方法直接给出。二、洛朗二、洛朗(Laurent)定理定理R2z zz0R1CD614.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 注注(2)洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数二、洛朗二、洛朗(Laurent)定理定理的的解析部分解析部分和和主要部分主要部分。(3)一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。的级数是唯一的。(4)系数系数?(5)若函数若函数 在圆环在圆环 内解析，则内解析，则 在在在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式。在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展

31、开式。624.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 三、将函数展开为三、将函数展开为洛朗级数的方法洛朗级数的方法1.直接展开法直接展开法 根据洛朗定理，在根据洛朗定理，在指定指定的解析环上的解析环上R2z zz0R1CD直接计算展开系数：直接计算展开系数：有点繁！有点烦！有点繁！有点烦！634.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 三、将函数展开为三、将函数展开为洛朗级数的方法洛朗级数的方法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展

32、开式两个重要的已知展开式2.间接展开法间接展开法644.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 三、将函数展开为三、将函数展开为洛朗级数的方法洛朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定或者题目指定无论是无论是直接展开法直接展开法还是还是间接展开法间接展开法，在求展开式之前，在求展开式之前，注意注意的展开区域的展开区域 )分为若干个解析环。分为若干个解析环。比如比如 设函数的奇点为设函数的奇点为展开点为展开点为则复平面则复平面被分为四个解析环：被分为四个解析环：r1r2r3654.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 12函数函数

33、有两个奇点：有两个奇点：以展开点以展开点 为中心，为中心，将复平面分为三个解析环：将复平面分为三个解析环：解解(1)将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环(2)将函数进行将函数进行部分分式部分分式分解分解P97 例例4.13 664.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解12 当当 时，时，(3)将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开674.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解12 当当 时，时，(3)将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开684.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解12 当当 时，时，(3)将函数

34、在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开694.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 i-i有两个奇点：有两个奇点：以展开点以展开点 为中心，为中心，将复平面分为两个解析环：将复平面分为两个解析环：解解(1)将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环注意：注意：不需要将函数进行不需要将函数进行部分分式部分分式分解。分解。函数函数P98 例例4.15 704.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解 当当 时，时，i-i(2)将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开714.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解 当当 时，时，i-i(2)将

35、函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开724.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 函数函数 有两个奇点：有两个奇点：以展开点以展开点 为中心，为中心，解解(1)将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环注意：注意：不需要将函数进行不需要将函数进行部分分式部分分式分解。分解。将复平面分为两个解析环：将复平面分为两个解析环：12734.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解 当当 时，时，(2)将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开12744.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解 当当 时，时，(2)将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开12754.1 复数项级数 第四章 解析函数的级数表示 解解在在 内展开成洛朗级数。内展开成洛朗级数。例例 把函数把函数解解在在 内展开成洛朗级数。内展开成洛朗级数。例例 把函数把函数结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！76