卯酉圈曲率半径讲课教案.ppt

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1、卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径第四章第四章地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面n n4.1 地球椭球的基本性质n n4.2 将地面观测值归算至椭球面n n4.3 大地测量主题解算概述本章重点：本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算地球椭球几何性质、地面观测值归算本章难点：本章难点：地面观测值归算至椭球面、大地主题解算地面观测值归算至椭球面、大地主题解算24.1 4.1 地球椭球的基本性质地球椭球的基本性质4.1.1 4.1.1 椭球面上的几种法截线的曲率半径椭球面上的几种法截线的曲率半径法截面和法截线：法截面和法截线：过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫

2、作法截面；法截面与椭球面的交线叫法截线。3一、子午圈曲率半径一、子午圈曲率半径4.1.1 椭球面上的几种法截线的曲率半径椭球面上的几种法截线的曲率半径 子午椭圆的一部分上取一微子午椭圆的一部分上取一微分弧长分弧长DKdS，相应地有坐标，相应地有坐标增量增量dx，点，点n是微分弧是微分弧dS的曲率的曲率中心，于是线段中心，于是线段Dn及及Kn便是子便是子午圈曲率半径。午圈曲率半径。由任意平面曲线的曲率半径的由任意平面曲线的曲率半径的定义公式，易知定义公式，易知4一、子午圈曲率半径一、子午圈曲率半径5一、子午圈曲率半径一、子午圈曲率半径6二、卯酉圈曲率半径二、卯酉圈曲率半径 过椭球面上一点的法线，

3、可作无限个法截面，其中一个过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点于午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈与该点于午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈与该点于午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈与该点于午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用称为卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用称为卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用称为卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用NN表示。表示。表示。表示。卯酉圈曲率半径7 卯西圈曲率半径恰好卯西圈曲率半径恰好卯西圈曲率半径恰好卯

4、西圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面等于法线介于椭球面等于法线介于椭球面等于法线介于椭球面和短轴之间和短轴之间和短轴之间和短轴之间 的长度，的长度，的长度，的长度，亦即卯酉圈的曲率中亦即卯酉圈的曲率中亦即卯酉圈的曲率中亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴心位于椭球的旋转轴心位于椭球的旋转轴心位于椭球的旋转轴上。上。上。上。二、卯酉圈曲率半径二、卯酉圈曲率半径8二、卯酉圈曲率半径二、卯酉圈曲率半径9三、主曲率半径的计算三、主曲率半径的计算主曲率半径主曲率半径主曲率半径主曲率半径:子午圈曲率半径子午圈曲率半径子午圈曲率半径子午圈曲率半径及卯酉圈曲率半及卯酉圈曲率半及卯酉圈曲率半及卯酉圈曲率半径径径径

5、NN，是两个互相，是两个互相，是两个互相，是两个互相垂直的法截弧的曲垂直的法截弧的曲垂直的法截弧的曲垂直的法截弧的曲率半径，称为率半径，称为率半径，称为率半径，称为主曲主曲主曲主曲率半径。率半径。率半径。率半径。10四、任意法截线的曲率半径四、任意法截线的曲率半径按泰勒级数展开：按泰勒级数展开：11四、任意法截线的曲率半径四、任意法截线的曲率半径n n引入平均曲率半径引入平均曲率半径引入平均曲率半径引入平均曲率半径n n代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得n n注：子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的变注：子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的变注：子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的变注：子午圈曲率半

6、径和卯酉圈曲率半径的变化规律化规律化规律化规律12五、平均曲率半径五、平均曲率半径n n在一定范围内，把椭球面当做球面来处理，在一定范围内，把椭球面当做球面来处理，在一定范围内，把椭球面当做球面来处理，在一定范围内，把椭球面当做球面来处理，推出这个球面的曲率半径平均曲率半径推出这个球面的曲率半径平均曲率半径推出这个球面的曲率半径平均曲率半径推出这个球面的曲率半径平均曲率半径：或或13六、六、M、N、R之间的关系之间的关系n n一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下 NRM NRMn n在极点上都等于极曲率半径在极点上都等于极曲率半径在极点上都等于极曲率半径在极点上都等于极曲率半径曲率半径曲率

7、半径NNR RMM公公式式144.1.2椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算n n一、子午线弧长计算公式一、子午线弧长计算公式一、子午线弧长计算公式一、子午线弧长计算公式n n取子午线上微分弧取子午线上微分弧取子午线上微分弧取子午线上微分弧PP=dxPP=dxn nP P点的子午圈半径为点的子午圈半径为点的子午圈半径为点的子午圈半径为赤道到任意纬度的平行圈赤道到任意纬度的平行圈赤道到任意纬度的平行圈赤道到任意纬度的平行圈之间的弧长之间的弧长之间的弧长之间的弧长15二、由子午弧长求大地纬度二、由子午弧长求大地纬度n n1.迭代解法迭代解法n n2.2.直接解法直接解法直接解法直接解法16三、平行

8、圈弧长公式三、平行圈弧长公式n n旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴就是圆上任意旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴就是圆上任意旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴就是圆上任意旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴就是圆上任意一点的子午面直角坐标一点的子午面直角坐标一点的子午面直角坐标一点的子午面直角坐标如果平行圈上有两点，它们的经度差如果平行圈上有两点，它们的经度差平行圈弧长公式平行圈弧长公式：17三、平行圈弧长公式三、平行圈弧长公式n n平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为平行圈弧长随纬度变化的微分公

9、式可近似地写为由于由于式中式中184.1.3 大地线大地线n n一、相对法截弧一、相对法截弧一、相对法截弧一、相对法截弧 设在椭球上任取两点设在椭球上任取两点设在椭球上任取两点设在椭球上任取两点A A和和和和B B，纬度分，纬度分，纬度分，纬度分别为别为别为别为B1B1和和和和B2B2，且二者不等，过，且二者不等，过，且二者不等，过，且二者不等，过A A、B B两两两两点分别做法线与短轴和赤道面相交。点分别做法线与短轴和赤道面相交。点分别做法线与短轴和赤道面相交。点分别做法线与短轴和赤道面相交。如图又则19一、相对法截弧一、相对法截弧正、反法截线正、反法截线：A点照准点照准B，照准面同椭，照准

10、面同椭球面的交线球面的交线AaB，叫做，叫做A点点的的正法截线正法截线，或者，或者B点的点的反反法截线；同样，法截线；同样，B点照准点照准A，照准面同椭球面的交线照准面同椭球面的交线BbA，叫做，叫做B点的点的正法截线正法截线，或者或者A点的点的反法截线。反法截线。20一、相对法截弧一、相对法截弧 某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合的。AB方向在不同的象限时，正反法截线关系如图：21二、大地线的定义和性质二、大地线的定义和性质n n大地线大地线大地线大地线:大地线是一条空间曲面曲线，是椭球面

11、上两点间的最大地线是一条空间曲面曲线，是椭球面上两点间的最大地线是一条空间曲面曲线，是椭球面上两点间的最大地线是一条空间曲面曲线，是椭球面上两点间的最短线。大地线上每点的密切面短线。大地线上每点的密切面短线。大地线上每点的密切面短线。大地线上每点的密切面(无限接近的三个点构成的平面无限接近的三个点构成的平面无限接近的三个点构成的平面无限接近的三个点构成的平面)都包含该点的曲面法线，大地线上各点的主法线与该点的曲都包含该点的曲面法线，大地线上各点的主法线与该点的曲都包含该点的曲面法线，大地线上各点的主法线与该点的曲都包含该点的曲面法线，大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合。面法线重合。面法线

12、重合。面法线重合。不在同一子午圈或同一不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法平行圈上的两点的正反法裁线是不重合的，它们之裁线是不重合的，它们之间的夹角间的夹角；大地线是两；大地线是两点间惟一最短线，而且位点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠于相对法截线之间，并靠近正法截线。近正法截线。22二、大地线的定义和性质二、大地线的定义和性质 在一等三角测量中，在一等三角测量中，在一等三角测量中，在一等三角测量中，数值可达干分之一二秒，可数值可达干分之一二秒，可数值可达干分之一二秒，可数值可达干分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角见在一等或相当于一等三角见在一等或相当于一等三角见在一等或相

13、当于一等三角测量精度的工程三角测量中测量精度的工程三角测量中测量精度的工程三角测量中测量精度的工程三角测量中是不容忽略的。是不容忽略的。是不容忽略的。是不容忽略的。大地线与法截线长度之差大地线与法截线长度之差大地线与法截线长度之差大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以只有百万分之一毫米，所以只有百万分之一毫米，所以只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差在实际计算中，这种长度差在实际计算中，这种长度差在实际计算中，这种长度差异总是可忽略不计的。异总是可忽略不计的。异总是可忽略不计的。异总是可忽略不计的。23三、大地线的微分方程和克莱劳方程三、大地线的微分方程和克莱劳方程 设设设

14、设P P P P为大地线上任意一点，其经为大地线上任意一点，其经为大地线上任意一点，其经为大地线上任意一点，其经度为，纬度为，大地线方位角为度为，纬度为，大地线方位角为度为，纬度为，大地线方位角为度为，纬度为，大地线方位角为。当大地线增加。当大地线增加。当大地线增加。当大地线增加d d d d到到到到P1P1P1P1点时，则点时，则点时，则点时，则上述各量相应变化上述各量相应变化上述各量相应变化上述各量相应变化dLdLdLdL，dBdBdBdB及及及及dAdAdAdA。所谓大地线微分方程，即表示所谓大地线微分方程，即表示所谓大地线微分方程，即表示所谓大地线微分方程，即表示dLdLdLdL、dB

15、dBdBdB和和和和dAdAdAdA与与与与dSdSdSdS的关系。的关系。的关系。的关系。dSdSdSdS在子午圈上的分量在子午圈上的分量在子午圈上的分量在子午圈上的分量 dS dS dS dS在平行圈上的分量在平行圈上的分量在平行圈上的分量在平行圈上的分量24三、大地线的微分方程和克莱劳方程三、大地线的微分方程和克莱劳方程 三角形三角形PPPP2 2P P1 1是一微分直角三角形是一微分直角三角形25三、大地线的微分方程和克莱劳方程三、大地线的微分方程和克莱劳方程n n大地线微分方程大地线微分方程26三、大地线的微分方程和克莱劳方程三、大地线的微分方程和克莱劳方程由和得由于两边积分，易得克

16、莱劳定理克莱劳定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半克莱劳定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。274.2 4.2 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 将地面观测元素（包括方向和距离等将地面观测元素（包括方向和距离等将地面观测元素（包括方向和距离等将地面观测元素（包括方向和距离等)归算至归算至归算至归算至椭球面。在归算中有两条基本要求：椭球面。在归算中有两条基本要求：椭球面。在归算中有两条基本要求：椭球面。在归算中有两条基本要求：n n 以椭球面的法线为基准；以椭球

17、面的法线为基准；以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准；n n 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相将地面观测元素化为椭球面上大地线的相将地面观测元素化为椭球面上大地线的相将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素；应元素；应元素；应元素；284.2.1 将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测的水平方向归算至椭球面 将地面观测的水平方向归算至椭球面，将地面观测的水平方向归算至椭球面，进行进行三差改正三差改正三差改正三差改正：垂线偏差改正垂线偏差改正标高差改正标高差改正截面差改正截面差改正29一、垂线偏差改正一、垂线偏差改正n n在椭球面上则要求以该点在椭球面上则要求以该点在椭球面上则要

18、求以该点在椭球面上则要求以该点的法线为依据。在每一三的法线为依据。在每一三的法线为依据。在每一三的法线为依据。在每一三角点上，把以垂线为依据角点上，把以垂线为依据角点上，把以垂线为依据角点上，把以垂线为依据的地面观测的水平方向值的地面观测的水平方向值的地面观测的水平方向值的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方归算到以法线为依据的方归算到以法线为依据的方归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为向值而应加的改正定义为向值而应加的改正定义为向值而应加的改正定义为垂线偏差改正垂线偏差改正垂线偏差改正垂线偏差改正30一、垂线偏差改正一、垂线偏差改正n n以以以以AOAO方向作为参考方向。方向作

19、为参考方向。方向作为参考方向。方向作为参考方向。以垂线以垂线以垂线以垂线AZ1AZ1为准，照准为准，照准为准，照准为准，照准MM点得点得点得点得OR1OR1；以法线；以法线；以法线；以法线AZAZ为为为为准，则得准，则得准，则得准，则得OROR。由此可见，。由此可见，。由此可见，。由此可见，垂线偏差对水平方向的影垂线偏差对水平方向的影垂线偏差对水平方向的影垂线偏差对水平方向的影响是响是响是响是(R(R一一一一R1)R1)，这个量就，这个量就，这个量就，这个量就是垂线偏差。是垂线偏差。是垂线偏差。是垂线偏差。31二、标高差改正二、标高差改正 标高差改正标高差改正标高差改正标高差改正:又称由照准点

20、又称由照准点又称由照准点又称由照准点高度而引起的改正。不在同一高度而引起的改正。不在同一高度而引起的改正。不在同一高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的两点子午面或同一平行圈上的两点子午面或同一平行圈上的两点子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。这样，当的法线是不共面的。这样，当的法线是不共面的。这样，当的法线是不共面的。这样，当进行水平方向观测时，如果照进行水平方向观测时，如果照进行水平方向观测时，如果照进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则准点高出椭球面某一高度，则准点高出椭球面某一高度，则准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法照准面就不能通过照

21、准点的法照准面就不能通过照准点的法照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起线同椭球面的交点，由此引起线同椭球面的交点，由此引起线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差的方向偏差的改正叫做标高差的方向偏差的改正叫做标高差的方向偏差的改正叫做标高差改正。改正。改正。改正。32二、标高差改正二、标高差改正n n标高差改正的计算公式标高差改正的计算公式标高差改正的计算公式标高差改正的计算公式33三、截面差改正三、截面差改正n n在椭球面上，纬度不同的在椭球面上，纬度不同的在椭球面上，纬度不同的在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，两点由于其法线不共面，两点由于其法线不共面

22、，两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法所以在对向观测时相对法所以在对向观测时相对法所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点截弧不重合，应当用两点截弧不重合，应当用两点截弧不重合，应当用两点间的大地线代替相对法裁间的大地线代替相对法裁间的大地线代替相对法裁间的大地线代替相对法裁弧。这样将法裁弧方向化弧。这样将法裁弧方向化弧。这样将法裁弧方向化弧。这样将法裁弧方向化为大地线方向应加的改正为大地线方向应加的改正为大地线方向应加的改正为大地线方向应加的改正叫叫叫叫截面差改正。截面差改正。截面差改正。截面差改正。34三、截面差改正三、截面差改正354.2.2 4.2.2 将地面观测的长度归算

23、至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面一、基线尺量距的归算一、基线尺量距的归算1.垂线偏差对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响36一、基线尺量距的归算一、基线尺量距的归算2高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响如果将上式展开级数，取至二次项，有如果将上式展开级数，取至二次项，有37一、基线尺量距的归算一、基线尺量距的归算n n地面基线长度归算到椭球面上长度的公式地面基线长度归算到椭球面上长度的公式地面基线长度归算到椭球面上长度的公式地面基线长度归算到椭球面上长度的公式38二、电磁波测距的归算二、电磁波测距的归算n n电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点问的直线斜电磁波测距仪测得的长度是连接

24、地面两点问的直线斜电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点问的直线斜电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点问的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上距，也应将它归算到参考椭球面上距，也应将它归算到参考椭球面上距，也应将它归算到参考椭球面上39二、电磁波测距的归算二、电磁波测距的归算将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得404.3 4.3 大地测量主题解算概述大地测量主题解算概述4.3.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明 大地元素大地元素:大地经度大地经度L L

25、、大地纬度、大地纬度B B、两点间的大地、两点间的大地线长度线长度S S及其正反大地方位角及其正反大地方位角A A1212、A A2121。大地主题解算大地主题解算：如果知道某些大地元素推求另一些：如果知道某些大地元素推求另一些大地元素，这样的计算问题就叫大地主题解算，大地主大地元素，这样的计算问题就叫大地主题解算，大地主题解算有正解和反解。题解算有正解和反解。414.3.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明大地主题大地主题正解：已知已知已知已知PlPlPlPl点的大地坐标点的大地坐标点的大地坐标点的大地坐标(L1(L1(L1(L1，B1)B1)B1)B1)，P1P1P1P1至至至

26、至P2P2P2P2的大地线的大地线的大地线的大地线长长长长S S S S及其大地方位角及其大地方位角及其大地方位角及其大地方位角A12A12A12A12，计，计，计，计算算算算P2P2P2P2点的大地坐标点的大地坐标点的大地坐标点的大地坐标(L2(L2(L2(L2，B2)B2)B2)B2)和大地线和大地线和大地线和大地线S S S S在在在在P2P2P2P2点的反方位点的反方位点的反方位点的反方位角角角角A21A21A21A21，这类问题叫做大地，这类问题叫做大地，这类问题叫做大地，这类问题叫做大地主题正解。主题正解。主题正解。主题正解。424.3.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般

27、说明n n大地主题反解：大地主题反解：如果已知如果已知如果已知如果已知P1P1和和和和P2P2点的大地坐标点的大地坐标点的大地坐标点的大地坐标(L1(L1，B1)B1)和和和和(L2(L2，B2)B2)，计算，计算，计算，计算P1P1至至至至P2P2的大地线长的大地线长的大地线长的大地线长S S及其正、反方位及其正、反方位及其正、反方位及其正、反方位角角角角A12A12和和和和A21A21这类问题叫做大地主这类问题叫做大地主这类问题叫做大地主这类问题叫做大地主题反解。题反解。题反解。题反解。434.3.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明大地主题解算根据不同理论基础的分五类：大地主

28、题解算根据不同理论基础的分五类：大地主题解算根据不同理论基础的分五类：大地主题解算根据不同理论基础的分五类：n n1 1 1 1以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。接在地球椭球面上进行积分运算。接在地球椭球面上进行积分运算。接在地球椭球面上进行积分运算。n n2 2 2 2以白塞尔大地投影为基础。以白塞尔大地投影为基础。以白塞尔大地投影为基础。以白塞尔大地投影为基础。n n3 3 3 3利用地图投影理论解算大地问题。利用地图投影理论解

29、算大地问题。利用地图投影理论解算大地问题。利用地图投影理论解算大地问题。n n4 4 4 4对大地线微分方程进行数值积分的解法。对大地线微分方程进行数值积分的解法。对大地线微分方程进行数值积分的解法。对大地线微分方程进行数值积分的解法。n n5 5 5 5依据大地线外的其他线为基础。依据大地线外的其他线为基础。依据大地线外的其他线为基础。依据大地线外的其他线为基础。444.3.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明n n1 1 1 1以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在以大地线在大地

30、坐标系中的微分方程为基础，直接在 地球椭球面上进行积分运算。地球椭球面上进行积分运算。地球椭球面上进行积分运算。地球椭球面上进行积分运算。大地线微分方程大地线微分方程45n n2 2以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础白塞尔大地主题解算的步骤：白塞尔大地主题解算的步骤：白塞尔大地主题解算的步骤：白塞尔大地主题解算的步骤：1)1)1)1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现 椭球面向球面的过渡；椭球面向球面的过渡；椭球面向球面的过渡；椭球面向球面的过渡；2)2)2)

31、2)在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问题；在球面上解算大地问题；3)3)3)3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数 值，即实现从圆球向椭球的过渡值，即实现从圆球向椭球的过渡值，即实现从圆球向椭球的过渡值，即实现从圆球向椭球的过渡46n n3 3 3 3利用地图投影理论解算大地问题。利用地图投影理论解算大地问题。利用地图投影理论解算大地问题。利用地图投影理论解算大地问题。如在地图投影中，采用椭球面对球面的正形投影和等距如在地图投影中，采用椭球面对球面的

32、正形投影和等距如在地图投影中，采用椭球面对球面的正形投影和等距如在地图投影中，采用椭球面对球面的正形投影和等距离投影以及椭球面对平面的正形投影离投影以及椭球面对平面的正形投影离投影以及椭球面对平面的正形投影离投影以及椭球面对平面的正形投影(如高斯投影如高斯投影如高斯投影如高斯投影)，它们，它们，它们，它们都可以用于解算大地主题，这类解法受距离的限制，只在都可以用于解算大地主题，这类解法受距离的限制，只在都可以用于解算大地主题，这类解法受距离的限制，只在都可以用于解算大地主题，这类解法受距离的限制，只在某此特定情况下才比较有利。某此特定情况下才比较有利。某此特定情况下才比较有利。某此特定情况下才

33、比较有利。n n4 4 4 4对大地线微分方程进行数值积分的解法。对大地线微分方程进行数值积分的解法。对大地线微分方程进行数值积分的解法。对大地线微分方程进行数值积分的解法。这种解法直接进行数值积分计算以解决大地主题的解算。这种解法直接进行数值积分计算以解决大地主题的解算。这种解法直接进行数值积分计算以解决大地主题的解算。这种解法直接进行数值积分计算以解决大地主题的解算。常用的数值积分算法有高斯法，龙格库塔法牛顿法以常用的数值积分算法有高斯法，龙格库塔法牛顿法以常用的数值积分算法有高斯法，龙格库塔法牛顿法以常用的数值积分算法有高斯法，龙格库塔法牛顿法以及契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，适用

34、任意长度及契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，适用任意长度及契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，适用任意长度及契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，适用任意长度距离。其缺点是随着距离的增长，计算工作量大，且精度距离。其缺点是随着距离的增长，计算工作量大，且精度距离。其缺点是随着距离的增长，计算工作量大，且精度距离。其缺点是随着距离的增长，计算工作量大，且精度降低，而在近极地区，这种方法无能为力。降低，而在近极地区，这种方法无能为力。降低，而在近极地区，这种方法无能为力。降低，而在近极地区，这种方法无能为力。47n n5 5依据大地线外的其他线为基础。依据大地线外的其他线为基础。依据大地线外的其他

35、线为基础。依据大地线外的其他线为基础。连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。所以量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。所以量问题，由

36、电磁波测距得到法截线弧长。所以量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。所以对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上归化至大地线的改正。归化至大地线的改正。归化至大地线的改正。归化至大地线的改正。484.3.2 勒让德级数式勒让德级数式 在过已知点在过已知点在过已知点在过已知点P1(L1P1(L1P1(L1P1(L1，B1)

37、B1)B1)B1)且在该点处大地方位角为且在该点处大地方位角为且在该点处大地方位角为且在该点处大地方位角为A12A12A12A12的大的大的大的大地线地线地线地线S S S S上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点P2P2P2P2的大地坐标的大地坐标的大地坐标的大地坐标(L2(L2(L2(L2，B2)B2)B2)B2)及其方位角及其方位角及其方位角及其方位角A21A21A21A21必必必必是大地线长度是大地线长度是大地线长度是大地线长度S S S S的函数的函数的函数的函数S S0 0时，这些函数值等于时，这些函数值等于P1P1点的相应数值点的相应数值 因此，可在已知点因此，可在已知点P1P

38、1点点(S(S0)0)上，按马上，按马克劳林公式将克劳林公式将PlPl和和P2P2点的纬度差、经度差点的纬度差、经度差及方位角之差展开为大地线长度及方位角之差展开为大地线长度S S的幂级数。的幂级数。494.3.3 高斯平均引数正算高斯平均引数正算 首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在首先把勒让德级数在P1P1P1P1点展开改在大地线长度中点点展开改在大地线长度中点点展开改在大地线长度中点点展开改在大地线长度中点M M M M展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；展开，以便级数公式项

39、数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点其次，考虑到求定中点M M M M的复杂性，将的复杂性，将的复杂性，将的复杂性，将M M M M点用大地线两点用大地线两点用大地线两点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的端点平均纬度及平均方位角相对应的端点平均纬度及平均方位角相对应的端点平均纬度及平均方位角相对应的m m m m点来代替，并借助点来代替，并借助点来代替，并借助点来代替，并借助迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。504.3.4

40、 高斯平均引数反算高斯平均引数反算n n 大地主题反算是已知两端点的经、纬度大地主题反算是已知两端点的经、纬度大地主题反算是已知两端点的经、纬度大地主题反算是已知两端点的经、纬度L1L1L1L1，B1B1B1B1及及及及L2L2L2L2，B2B2B2B2，反求两点间的大地线长度，反求两点间的大地线长度，反求两点间的大地线长度，反求两点间的大地线长度S S S S及正、反大地及正、反大地及正、反大地及正、反大地方位角方位角方位角方位角A12A12A12A12和和和和A21A21A21A21。n n这时，由于经差这时，由于经差这时，由于经差这时，由于经差LLLL、纬差、纬差、纬差、纬差 B B B

41、 B及平均纬度及平均纬度及平均纬度及平均纬度BmBmBmBm均为均为均为均为已知，故可依正算公式很容易地导出反算公式。已知，故可依正算公式很容易地导出反算公式。已知，故可依正算公式很容易地导出反算公式。已知，故可依正算公式很容易地导出反算公式。514.3.5 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法n n将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，继而在球面上进行大地主题解算，到辅助球面上，继而在球面上进行大地主题解算，到辅助球面上，继而在球面上进行大地

42、主题解算，到辅助球面上，继而在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。由最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。由最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。由最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。由此可见，这种方法的关键问题是找出椭球面上的此可见，这种方法的关键问题是找出椭球面上的此可见，这种方法的关键问题是找出椭球面上的此可见，这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式。同时大地元素与球面上相应元素之间的关系式。同时大地元素与球面上相应元素之间的关系式。同时大地元素与球面上相应元素之间的关系式。同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。也

43、要解决在球面上进行大地主题解算的方法。也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。52本章小结本章小结n n1.1.地球椭球的几何性质。几个重要概念：法截线、地球椭球的几何性质。几个重要概念：法截线、子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、大地线、相子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、大地线、相对法截弧。对法截弧。n n2.2.地面观测值归算到椭球面的原理及过程：方向地面观测值归算到椭球面的原理及过程：方向归算、长度归算。归算、长度归算。n n3.3.大地测量主题解算方法。大地测量主题解算方法。53n n思考题：1、分别解释大地测量主题解算正解及反解?2、说明以大地线微

44、分方程为基础的大地测量主题解算的步骤。3、说明白塞尔大地主题解算方法的基本思想。4、白塞尔大地测量主题解算的三个投影条件是什么？54 下课了。下课了。休息一会儿。休息一会儿。55进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不

45、停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇

46、边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束