函数的单调性和极值培训讲学.ppt

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1、函数的单调性和极值函数的单调性和极值3.4.1、函数单调性的判定法函数单调性的判定法如图所示如图所示单调单调 递增递增曲线上各点处的切线曲线上各点处的切线的的 斜率斜率 是是 非负非负 的的单调单调 递减递减曲线上各点处的切线曲线上各点处的切线的的 斜率斜率 是是 非正非正 的的若若设函数设函数(递减递减).证证:不妨设不妨设任取任取由由 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 得得故故定理定理 3.4.1.例例1.确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解解:令令得得故故的单调增区间为的单调增区间为的单调减区间为的单调减区间为返回说明说明:1)单调区间的分界点除单调区间的分界点除 驻点驻点 外外,也

2、有可能是也有可能是 导数不存在的点导数不存在的点.例如例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号,则函数的单调性不改变则函数的单调性不改变.例如例如,讨论函数的单调性可按下列步骤进行讨论函数的单调性可按下列步骤进行:(1)确定连续函数确定连续函数的定义域的定义域;(2)求出求出(3)判断判断在每个子区间内的符号在每个子区间内的符号,就可以确定就可以确定出函数出函数的单调区间的单调区间.将定义域划分成若干子区间；将定义域划分成若干子区间；例例2.证明证明时时,成立不等式成立不等式证证:令令则则3.4.2、函数的极值及其求法、函数的极值及其求法定义定义3.4.1:在其中当在

3、其中当时时,(1)称称 为函数的为函数的 极大值极大值;(2)称称 为函数的为函数的 极小值极小值.极大值点极大值点 与与 极小值点极小值点 统称为统称为 极值点极值点，极大值极大值 与与 极小值极小值 统称为统称为 极值极值。注意注意:为极大值点为极大值点为极小值点为极小值点不是极值点不是极值点函数的函数的 极值极值 是函数的是函数的 局部性质局部性质.例如例如(例例1)极大值点极大值点,是极大值是极大值 是极小值是极小值 极小值点极小值点,定理定理 3.4.2 3.4.2(第一充分条件第一充分条件)且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数(1)如果如果处取得极大值。处取得极大值。(2)如果

4、如果处取得极小值。处取得极小值。(3)如果如果处没有极值。处没有极值。求极值的步骤求极值的步骤:例例3.求函数求函数的极值的极值.解解:1)求导数求导数2)求极值可疑点求极值可疑点令令得得3)列表判别列表判别是极大值点，是极大值点，其极大值为其极大值为是极小值点，是极小值点，其极小值为其极小值为定理定理3.4.3(第二充分条件第二充分条件)二阶导数二阶导数,且且则则 在点在点 取极大值取极大值;则则 在点在点 取极小值取极小值.证证:(1)存在存在由由 第一充分条件第一充分条件 知知(2)类似可证类似可证.返回例例4.求函数求函数的极值的极值.解解:1)求导数求导数2)求驻点求驻点令令得驻点得

5、驻点3)判别判别因因故故 为极小值为极小值;因因故需用故需用 第一充分条件第一充分条件 判别判别.试问试问 为何值时为何值时,在在时取得极值时取得极值,还是极小值。还是极小值。解解:由题意应有由题意应有又又所以所以 为极大值为极大值例例5.求出该极值求出该极值,并指出它是极大并指出它是极大3.4.3、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在则其最值只能在端点端点、导数不存在的点导数不存在的点或或驻点驻点处取得处取得.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求求 在在 内的最值可疑点内的最值可疑点(各驻点或不可导点各驻点或不可导点)(2)最大值最大值最小值最小值情形情形 1:例例6.

6、求函数求函数在闭区间在闭区间上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解:显然显然故函数在故函数在取最小值取最小值 0;在在及及取最大值取最大值 5.当当 在区间内可导且只有在区间内可导且只有 一个驻点一个驻点 时时,若在此点取极大若在此点取极大 值值,则也是最大则也是最大 值值.(小小)(小小)情形情形 2:情形情形 3:在应用问题在应用问题 中中,往往根据问题的性质就可以往往根据问题的性质就可以判断可导函数判断可导函数确有最大值或最小值确有最大值或最小值,而且一定而且一定在定义区间内部取得在定义区间内部取得,这时如果函数这时如果函数 在区间内部只有一个在区间内部只有一个驻点驻点就可以判定就可

7、以判定是最大值或最小值是最大值或最小值.例例7.把一根直径为把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的问矩形截面的高高 h 和宽和宽 b 应如何选择才能使梁的应如何选择才能使梁的抗弯截面模量抗弯截面模量最大最大?解解:由力学知识知矩形梁的由力学知识知矩形梁的 抗弯截面模量抗弯截面模量 为为令令得得此时此时即即由实际意义可知由实际意义可知,所求最值存在所求最值存在 且且在区间内部取得在区间内部取得,而在区间内部只有一个驻点而在区间内部只有一个驻点,故故 时最大。时最大。内容小结内容小结2.函数的极值函数的极值(1)极值可疑点极值可疑点:驻点驻点 和和 导数不存在的点导数不存

8、在的点(2)第一充分条件第一充分条件过过由正变负由正变负为极大值为极大值过过由负变正由负变正为极小值为极小值在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减1.可导函数单调性的判别可导函数单调性的判别(3)第二充分条件第二充分条件为极大值为极大值为极小值为极小值最值点最值点 应在应在 端点端点、导数不存在的点导数不存在的点 和和 驻点驻点 上找上找;应用题可根据问题的实际意义判别应用题可根据问题的实际意义判别.3.3.连续函数的最值连续函数的最值思考与练习思考与练习1.设设则在点则在点 a 处处().的导数存在的导数存在,取得极大值取得极大值;取得极小值取得极小值;的导数不存在的导

9、数不存在.B提示提示:利用极限的保号性利用极限的保号性.2.设设在在的某邻域内连续的某邻域内连续,且且处处则在点则在点(A)不可导不可导;(B)可导可导,且且(C)取得极大值取得极大值;(D)取得极小值取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性利用极限的保号性.3.设设是方程是方程的一个解的一个解,若若且且则则在在(A)取得极大值取得极大值;(B)取得极小值取得极小值;(C)某邻域内单调增加某邻域内单调增加;(D)某邻域内单调减少某邻域内单调减少.提示提示:A进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把

10、蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗

11、，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，

12、制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束