幂级数教学提纲.ppt

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1、一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念(ginin)(ginin)二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算四、小结四、小结幂级数幂级数第一页，共55页。1.1.1.1.定义定义定义定义(dngy):(dngy):(dngy):(dngy):一、函数项级数的一般一、函数项级数的一般(ybn)概念概念第二页，共55页。2.收敛收敛(shulin)点与收敛点与收敛(shulin)域域:第三页，共55页。函数项级数函数项级数(j sh)的的部分和部分和余项余项(x在收敛在收敛(shulin)域上域上)注意注意(zh y)：函数项级数在某点函数项级数在某点x的收

2、敛问题的收敛问题,实质上是实质上是数项级数的收敛问题数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数和函数和函数第四页，共55页。解解由达朗贝尔判别由达朗贝尔判别(pnbi)法法原级数原级数(j sh)绝对收绝对收敛敛.第五页，共55页。原级数原级数(j sh)发发散散.收敛收敛(shulin);发散发散(fsn);第六页，共55页。1.定义定义(dngy):2.收敛性收敛性收敛性收敛性:二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性第七页，共55页。证明证明证明证明(zhn(zhngmnggmng)定理定理(dngl)1(Abel定理定理(dngl)第八页，共55页。第九页，共55页。由由(1)结论结论(

3、jiln)几何几何几何几何(j(j(j(j h)h)h)h)说明说明说明说明:收敛收敛(shulin)区域区域发散区域发散区域发散区域发散区域第十页，共55页。推论推论(tul(tuln)n)定义定义定义定义:以上推论中的正数以上推论中的正数以上推论中的正数以上推论中的正数(zhngsh)R(zhngsh)R 称为幂级数的收敛称为幂级数的收敛称为幂级数的收敛称为幂级数的收敛半径半径半径半径.对应的开区间对应的开区间对应的开区间对应的开区间 称为收敛区间称为收敛区间称为收敛区间称为收敛区间.第十一页，共55页。而幂级数的收敛而幂级数的收敛(shulin)则域为以下几种形则域为以下几种形式之一：式

4、之一：规定规定(gudng)问题问题(wnt(wnt)如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?第十二页，共55页。定理定理定理定理(dngl)2.(dngl)2.若若若若的系数的系数(xsh)满足满足证证:1)若若 0,则根据则根据(gnj)比值审敛法可知比值审敛法可知:当当时时,原级数绝对收敛原级数绝对收敛;当当时时,原级数发散原级数发散.即即1)当当 0 时时,2)当当 0 时时,3)当当 +时时,即即则则 因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径第十三页，共55页。2)若若则根据则根据(gnj)比值审敛法可比值审敛法可知知,绝对绝对(judu)收收敛敛,3)若若则对除则对除 x=0 以

5、外的一切以外的一切 x 原级数原级数(j sh)发散发散,对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 的收敛半径为的收敛半径为说明说明说明说明:据此定理据此定理第十四页，共55页。例例2 求下列求下列(xili)幂级数的收敛域幂级数的收敛域:解解该级数该级数(j sh)收敛；收敛；该级数该级数(j sh)发散。发散。第十五页，共55页。第十六页，共55页。发散发散(fsn)收敛收敛(shulin)故收敛故收敛(shulin)域域为为(0,1.令：令：则原级数变为：则原级数变为：第十七页，共55页。解解:缺少缺少(qusho)偶偶次幂的项次幂的项幂级数绝对幂级数绝对(judu)收敛收敛.第十

6、八页，共55页。幂级数发散幂级数发散(fsn),级数级数(j sh)发散发散,级数级数(j sh)发散发散,所以原幂级数的收敛域为：所以原幂级数的收敛域为：第十九页，共55页。注注注注:前面前面前面前面(qin mian)(qin mian)介绍的定理介绍的定理介绍的定理介绍的定理1(Abel1(Abel定理定理定理定理)以及定理以及定理以及定理以及定理2(2(求收敛半径公求收敛半径公求收敛半径公求收敛半径公式式式式)都都都都 是对标准幂级数是对标准幂级数是对标准幂级数是对标准幂级数而言的而言的;但形如但形如 的非标准幂级数的非标准幂级数,则不能直接用上述则不能直接用上述(shngsh)(sh

7、ngsh)定理。定理。1.用变量代换把它们化为标准幂级数用变量代换把它们化为标准幂级数 2.对非标准幂级数每一项取绝对值变成正项级数后用比值对非标准幂级数每一项取绝对值变成正项级数后用比值(bzh)或或 根值判别法。根值判别法。但可以考虑：但可以考虑：第二十页，共55页。例例例例4.4.求下列级数求下列级数求下列级数求下列级数(j sh)(j sh)的收敛域的收敛域的收敛域的收敛域:则原级数则原级数(j sh)变为变为则此幂级数的收敛则此幂级数的收敛(shulin)区间为区间为(-1,1).而当而当t=-1时时,级数级数 收敛收敛;而当而当t=1时时,级数级数 发散发散.故当故当-12x+11

8、时时,即即-1x0时时,级数级数收敛收敛.解：解：解：解：即原级数收敛域为即原级数收敛域为-1,0).的收敛域为的收敛域为-1,1).第二十一页，共55页。则原级数则原级数(j sh)变为变为由由(1)知知,则此幂级数的收敛则此幂级数的收敛(shulin)域为域为-1,1).时时,原级数原级数(j sh)收敛收敛.即原级数收敛域为即原级数收敛域为-2,2)。第二十二页，共55页。1.1.代数运算代数运算代数运算代数运算(yn sun)(yn sun)性质性质性质性质:(1)加减法加减法加减法加减法(其中其中(qzhng)三、幂级数的运算三、幂级数的运算三、幂级数的运算三、幂级数的运算(yn s

9、un)(yn sun)第二十三页，共55页。(2)乘法乘法(chngf)(其中其中(qzhng)柯柯西西乘乘积积(chngj)第二十四页，共55页。(3)(3)除法除法除法除法(chf)(chf)说明说明说明说明(shum(shum(shum(shumng):ng):ng):ng):两个幂级数相除所得两个幂级数相除所得(su d)(su d)幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径可能比可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多原来两个幂级数的收敛半径小得多.第二十五页，共55页。(收敛收敛收敛收敛(shulin)(shulin)半径不变半径不变半径不变半径不变)2.2.和函数和函数和函数和函数(hnsh)

10、(hnsh)的分析运算性质的分析运算性质的分析运算性质的分析运算性质:第二十六页，共55页。(收敛收敛收敛收敛(shulin)(shulin)半径半径半径半径不变不变不变不变)第二十七页，共55页。解解解解两边两边(lingbin)积分得积分得容易容易(rngy)(rngy)求出幂级数的收敛半求出幂级数的收敛半径为径为1 1 第二十八页，共55页。且且 在在 处有定义且连续处有定义且连续,第二十九页，共55页。解解解解:由例由例由例由例2(3)2(3)可知可知可知可知(k zh)(k zh)级数的收敛半径级数的收敛半径级数的收敛半径级数的收敛半径 R R+.+.例例6.6.则则故有故有故得故得

11、的和函数的和函数(hnsh).因此因此(ync)得得设设第三十页，共55页。解解:易求出幂级数的收敛易求出幂级数的收敛(shulin)半径为半径为 1,x1 时级数时级数(j sh)发发散散,例例7.的和函数的和函数第三十一页，共55页。x=1 时级数时级数(j sh)发散发散,则在则在(-1,1)中，中，易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1,且且 时时收敛收敛,例例例例8.8.求级数求级数求级数求级数(j sh)(j sh)的和函数的和函数的和函数的和函数解解解解:第三十二页，共55页。故由和函数故由和函数(hnsh)的连续性得的连续性得:而而 x=0 时级数时级数(j sh

12、)收敛于收敛于1,且且 及及且且 在在 处有定义且连续处有定义且连续,因为因为(yn wi)原幂级数在原幂级数在 时收敛时收敛,第三十三页，共55页。例例例例9.9.设设(1)证证明明(zhngmng)在开区在开区间间内内连续连续(linx);(3)计计算算(j sun)定定积积分分的的值值.(2)求求幂级幂级数数的收敛域的收敛域;解：解：解：解：(1)所以所以幂级幂级数数 的收的收敛敛半径半径从而收从而收敛敛区区间为间为由和函数在收由和函数在收敛敛区区间间内的内的连续连续性知性知结论结论(1)成立成立.,而而是此是此幂级幂级数的和函数数的和函数,(2012级期末考题级期末考题)(12分分)第

13、三十四页，共55页。故此故此幂级幂级数的收数的收敛敛域域为为(2)因当因当时时,级级数数为为,发散发散,当当 时时,级级数数为为 ,发散发散,(3)因在收因在收敛敛区区间间 内内,第三十五页，共55页。所以所以(suy)从而从而(cng r)或可直接或可直接或可直接或可直接(zhji)(zhji)求：求：求：求：第三十六页，共55页。求求幂级幂级数数 的收敛域及和函数的收敛域及和函数 (10分分).(2011级期末考试级期末考试(q m ko sh)题题)1.2.求幂级数求幂级数 的收敛的收敛(shulin)域及和函数域及和函数 (10分分)。(2013级期末考试级期末考试(q m ko sh

14、)题题)答案：收敛域答案：收敛域-2,2),和函数为和函数为答案：收敛域答案：收敛域(3,5,和函数为和函数为第三十七页，共55页。例例例例10.10.解解解解:设设则则第三十八页，共55页。而而故故第三十九页，共55页。常用常用(chn yn)已知和函数的幂级数已知和函数的幂级数第四十页，共55页。解解收敛收敛(shulin)区区间间(-1,1),第四十一页，共55页。2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛收敛(shulin)半径半径R3.幂级数的运算幂级数的运算(yn sun):分析分析(fnx)运算性运算性质质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:四、小结四、小结第四十二页，共55页。1

15、.1.求幂级数收敛求幂级数收敛求幂级数收敛求幂级数收敛(shulin)(shulin)域域域域的方法的方法的方法的方法1)对标准型幂级数对标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径(bnjng),再讨论端点的收再讨论端点的收敛性敛性.2)对非标准型幂级数对非标准型幂级数(缺项缺项(qu xin)或通项为或通项为复合式复合式)求收敛半径时直接用求收敛半径时直接用比值法比值法或或根值法根值法,也可通过也可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求.第四十三页，共55页。2)在收敛在收敛(shulin)区间内幂级数的和函区间内幂级数的和函数连续数连续;3)幂级数在收敛幂级数在收敛(shulin)区间内可逐项

16、求导和求区间内可逐项求导和求积分积分.3.求和求和(qi h)函数的常用方法函数的常用方法 利用幂级数的性质利用幂级数的性质 2.2.幂级数的性质幂级数的性质幂级数的性质幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算乘法运算.第四十四页，共55页。1.已知已知处条件收敛处条件收敛,问该级数问该级数(j sh)收收敛敛半径半径(bnjng)是是多少多少?答答:根据根据Abel 定理可知定理可知(k zh),级数在级数在 收敛收敛,时发散时发散.(因为若因为若 故收敛半径为故收敛半径为练习练习练习练习则则 处绝对收敛。）处绝对收敛。）第四十

17、五页，共55页。2.在幂级数在幂级数 中，中，n 为奇数为奇数(j sh)n 为偶数为偶数(u sh)能否确定能否确定(qudng)它的收敛半径不存在它的收敛半径不存在?答答:不能不能.因为因为当当时级数收敛时级数收敛,时级数发散时级数发散,第四十六页，共55页。(A)绝对收敛(shulin)，(B)条件收敛(shulin)，(C)发散,(D)敛散性不确定(A)3.第四十七页，共55页。4.第四十八页，共55页。思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛幂级数逐项求导后，收敛(shulin)半半径不变，那么它的收敛径不变，那么它的收敛(shulin)域是否也域是否也不变？不变？第四十九页，共55页。

18、思考题解答思考题解答(jid)不一定不一定(ydng).例例它们它们(t men)的收敛半径的收敛半径都是都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是第五十页，共55页。1.求极限求极限(jxin)其中其中(qzhng)解解:令令作幂级数作幂级数易知其收敛易知其收敛(shulin)半径为半径为 1,设设其和为其和为则则思考与练习：思考与练习：第五十一页，共55页。6.6.求下列求下列求下列求下列(xili)(xili)级数的收敛域级数的收敛域级数的收敛域级数的收敛域:当当n充分大后级数充分大后级数(3)是正项级数，所以可以是正项级数，所以可以(ky)用比较审敛法。用比较审敛法。正项级数正项级数

19、(j sh).任意任意项级项级数数.注意：以上级数均不是幂级数，不可以直接用幂级数求收敛半径的公式注意：以上级数均不是幂级数，不可以直接用幂级数求收敛半径的公式注意：以上级数均不是幂级数，不可以直接用幂级数求收敛半径的公式注意：以上级数均不是幂级数，不可以直接用幂级数求收敛半径的公式第五十二页，共55页。求求幂级幂级数数 的收敛域及和函数的收敛域及和函数 (10分分).(2011级期末考试级期末考试(q m ko sh)题题)1.2.求幂级数求幂级数 的收敛的收敛(shulin)域及和函数域及和函数 (10分分)。(2013级期末考试级期末考试(q m ko sh)题题)第五十三页，共55页。解解解解（一）（一）（一）（一）考虑幂级数：考虑幂级数：，求其收敛域为：，求其收敛域为：(-1,1令：令：求求幂级幂级数数 的收敛域及和函数的收敛域及和函数 (10分分).(2011级期末考试级期末考试(q m ko sh)题题)1.第五十四页，共55页。（二）（二）（二）（二）的收敛域：的收敛域：(3.5令令：第五十五页，共55页。