《微积分一》导数的基本公式与运算法则.ppt

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1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的导数 三、基本初等函数的导数 四、复合函数的导数 3.3 导数的基本公式与运算法则五、隐函数的导数 六、对数求导法 八、综合举例 七、由参数方程所确定的函数的导数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 一、函数的和、差、积、商的求导法则 如果u(x)、v(x)都是x的可导函数 则它们的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数 并且 u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)特别地 cu(x)cu(x)公式的推广(u1u2 un)u1u2 un(u1

2、u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 二、反函数的导数 设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f(x)并且其反函数xf 1(y)在相应点处连续 则f 1(y)存在 并且 简要证明 这是因为 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 三、基本初等函数的导数 1 常数的导数 (c)0 这是因为 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 1(c)0 2 幂函数的导数 这是因为 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 1(c)0 3 指数函数的导数 (ax)axln a(ex)ex 这是因为 首页上一页下一页结束

3、微积分 (第三版)教学课件 4 对数函数的导数 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 5 三角函数的导数(sin x)cos x 这是因为 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 5 三角函数的导数 这是因为 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 6 反三角函数的导数 这是因为 函数 yarcsinx与xsin y互为反函数 所以由反函数的求导公式得 5(sinx)cosx(c

4、osx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(sec x)sec xtan x(csc x)csc xcot x 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 5(sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 基本导数公式基本导数公式 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 课前复习1.导数的几何意义？切线方程？2.可导与连续的关系？可导可导连续连续反之不成立！反之不成立！首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件

5、例1.计算下列函数的导数.0 0 1）4）5）6）7）8）2）3）_)(2=e首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解：解：解：解：例2.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解：解：解：解：=首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解：解：解：解：首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解：解：解：解：四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时需要将表达式适当变形后再应用公式.注.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 引例引例1 1引例引例2 2?首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 四、复合函数的导数 设u(x)在点x处可导 yf(u

6、)在对应点u处可导 则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为 简要证明 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 推广 设 yf(u)u(v)v(x)则 复 合 函 数y(x)对x的导数是四、复合函数的导数 设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 因此因此四、复合函数的导数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 若yf(x)u(x)则 解 设yln u usin x 则 例11 求函数ylnsin x的导数 解 例12 求函数yarcsin(3x2)的导数 解 y(

7、ax)例10 求函数yax的导数 axln a axln a(x)首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 解 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 练 习首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 五、隐函数的导数 显函数显函数隐函数隐函数首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 例15 求由方程y22px所确定的隐函数yf(x)的导数 将方程两边同时对x求导 得 2yy2p 解出y即得隐函数的求导法则首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 将方程两边同时对x求导 得 例16 求由方程yxln y所确定的隐函数yf(x)的导数 解出y即得 解 将

8、方程两边同时对x求导 得解出y 得 例17 求由方程e y xy所确定的隐函数y的导数 e yy yxy 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 例18 由方程x2xyy24确定y是x的函数 求其曲线上点(2,2)处的切线方程 将方程两边同时对x求导 得2xyxy2yy0 解出y即得所求切线的斜率为 ky|x2,y21 于是所求切线为 y(2)1(x2)即yx4 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 求下列隐函数的导数：1 1）2 2）3 3）练练 习习首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 六、取对数求导法 将函数yf(x)两边取对数 转化为隐函数求导 这种方法

9、称之为“取对数求导法取对数求导法”解 例19 求函数yxx的导数 法一.yxxexln x xx(ln x1)exln x(ln x1)将yxx两边取对数 ln yxln x 两边对x求导数 得 于是得 yy(ln x1)xx(ln x1)法二.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 先在两边取对数 得 上式两边对x求导 得 例20.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 思考：思考：具有什么特征的显函数用对数求导法较好？1.幂指函数2.多个因子相乘除的函数练练 习习求下列函数的导数：首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 2.对数求导法(1)适用的函数类型？(2)

10、方法？课前复习1.隐函数求导法 （1）方法？（2）特别要注意的地方？练练 习习求下列函数的导数：首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 七、由参数方程所确定的函数的导数 设x(t)有连续反函数t1(x)又(t)与(t)存在 且(t)0 则：首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解：解：例21.练 习首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 八、综合举例 例22 y3xx333xx 求y 解 3xln33x20exln x(xln x)3xln33x2xx(ln x1)y(3x)(x 3)(33)(xx)证 所以 y(a)y(a)例23.首页上一页下一页结束微积分 (第三

11、版)教学课件 例24 已知f(u)可导 求f(ln x)f(xa)n及f(xa)nf(xa)nf(xa)nn(xa)n1(xa)n(xa)n1f(xa)n f(xa)n(xa)nf(xa)nnf(xa)n1f(xa)nf(xa)n1f(xa)(xa)nf(xa)n1f(xa)首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例25.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 解 当x0时 当0 x1时 f(x)1f(x)2 在x0处f(x)不连续 故f(0)不存在 在x1处 有 故 f(1)2 当x1时 f(x)2x 例26.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 例27 设球半径R以2厘米/秒的速度等速增加 求当球半径R10厘米时 其体积V增加的速度 答 当R10厘米时 体积V的增加速度为800(厘米)3/秒