1-样本及抽样分布.ppt

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1、第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布一一.总体与样本总体与样本总体与样本总体与样本样本：随机样本样本：随机样本样本：随机样本样本：随机样本 在总体在总体在总体在总体X X X X中抽取中抽取中抽取中抽取n n个个体个个体个个体个个体X X X X1 1 1 1,X X X X2 2 2 2 ,X X X Xn n n n,n n为样本容量，为样本容量，为样本容量，为样本容量，(X X X X1 1 1 1,X X X X2 2 2 2 ,X X X Xn n n n)构成构成构成构成n n n n维随机变量。维随机变量。维随机变量。维随机变量。1.

2、1.1.1.总体和个体总体和个体总体和个体总体和个体总体：研究对象的全体，用随机变量总体：研究对象的全体，用随机变量总体：研究对象的全体，用随机变量总体：研究对象的全体，用随机变量X X X X表示。表示。表示。表示。个体：总体的每个单元。个体：总体的每个单元。个体：总体的每个单元。个体：总体的每个单元。2.2.2.2.样本与样本值样本与样本值样本与样本值样本与样本值样本值：数据样本样本值：数据样本样本值：数据样本样本值：数据样本 样本的取值，即样本的观察值样本的取值，即样本的观察值样本的取值，即样本的观察值样本的取值，即样本的观察值x x1 1 1 1,x x2 2 2 2 ,x xn n第

3、一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本的联合分布函数为样本的联合分布函数为样本的联合分布函数为样本的联合分布函数为F F*(x x x x1 1 1 1,x,x,x,x2 2 2 2,x,x,x,xn n),),),),样本的联合概率密度函数为样本的联合概率密度函数为样本的联合概率密度函数为样本的联合概率密度函数为f f*(x x x x1 1 1 1,x,x,x,x2 2 2 2,x,x,x,xn n n n),),),),简单随机样本简单随机样本简单随机样本简单随机样本 (1(1(1(1)每个个体每个个体每个个体每个个体X X X Xi i i

4、 i与总体与总体与总体与总体X X X X同分布；同分布；同分布；同分布；(2)(2)(2)(2)个体之间相互独立。个体之间相互独立。个体之间相互独立。个体之间相互独立。且且且且 F F F F*(x1 1 1 1,x2 2 2 2,x n n)=)=)=)=F F F F(x1 1 1 1)F F F F(x2 2 2 2)F F F F(xn n n n )f f*(x1 1 1 1,x2 2 2 2,xn n)=)=)=)=f f(x1 1 1 1)f f(x2 2 2 2)f f (xn n n n )设总体设总体设总体设总体X X X X的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数

5、为F F (x x),),),),概率密度为概率密度为概率密度为概率密度为f f(x x)，则，则，则，则第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布二二二二.经验分布函数经验分布函数经验分布函数经验分布函数1.1.1.1.经验分布函数经验分布函数经验分布函数经验分布函数将将将将n n n n个个个个样本值按大小排成顺序样本值按大小排成顺序样本值按大小排成顺序样本值按大小排成顺序 x(1)1)1)1)x(2)(2)(2)(2)x(n n n n)记记记记F F F Fn n n n(x)为不大于为不大于为不大于为不大于x x的样本值出现的频率。的样本值出现

6、的频率。的样本值出现的频率。的样本值出现的频率。称称称称F F F Fn n n n(x)为经验分布函数。为经验分布函数。为经验分布函数。为经验分布函数。第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布2.2.2.2.格列汶科定理格列汶科定理格列汶科定理格列汶科定理 设总体分布函数为设总体分布函数为设总体分布函数为设总体分布函数为F F F F(x x)，经验分布函数为经验分布函数为经验分布函数为经验分布函数为F F F Fn n n n(x)，则则则则即即即即 当当当当n n 很大时，很大时，很大时，很大时，F F F F n n (x x )F F F F

7、 (x x)第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布三三三三.样本的数字特征样本的数字特征样本的数字特征样本的数字特征1.1.1.1.样本均值样本均值样本均值样本均值2.2.2.2.样本方差样本方差样本方差样本方差3.3.3.3.样本标准差样本标准差样本标准差样本标准差第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布4.4.4.4.样本的样本的样本的样本的 k k 阶原点矩阶原点矩阶原点矩阶原点矩5.5.5.5.样本的样本的样本的样本的 k k 阶中心矩阶中心矩阶中心矩阶中心矩第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样

8、本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布由大数定律可知由大数定律可知由大数定律可知由大数定律可知定理定理定理定理 样本的数字特征依概率收敛到总体的数字特征样本的数字特征依概率收敛到总体的数字特征样本的数字特征依概率收敛到总体的数字特征样本的数字特征依概率收敛到总体的数字特征样本均值样本均值样本均值样本均值总体均值总体均值总体均值总体均值 E E(X X X X )P P P Pn n 样本方差样本方差样本方差样本方差总体方差总体方差总体方差总体方差 D D(X X X X )P P P Pn n 样本矩样本矩样本矩样本矩总体矩总体矩总体矩总体矩P P P Pn n 第一章第一章第一章第一章 样

9、本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布四四四四.统计量统计量统计量统计量设设设设X X1 1,X X2 2,X Xn n是总体是总体是总体是总体X X X X的样本，若函数的样本，若函数的样本，若函数的样本，若函数 g g(X X1 1,X X2 2,X Xn n )不含任何未知参数，不含任何未知参数，不含任何未知参数，不含任何未知参数，则称函数则称函数则称函数则称函数g g(X X1 1,X X2 2,X Xn n )为一个统计量。为一个统计量。为一个统计量。为一个统计量。如如如如样本均值样本均值样本均值样本均值,样本方差样本方差样本方差样本方差,样本矩样本矩样本矩样本矩经验

10、分布函数经验分布函数经验分布函数经验分布函数F F F F n n(x )第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布顺序统计量顺序统计量顺序统计量顺序统计量 设设设设X X1 1,X X2 2,X Xn n是总体是总体是总体是总体X X X X 的样本，将样本的各分量由的样本，将样本的各分量由的样本，将样本的各分量由的样本，将样本的各分量由小到大的顺序排列成：小到大的顺序排列成：小到大的顺序排列成：小到大的顺序排列成：称称称称为顺序统计量。为顺序统计量。为顺序统计量。为顺序统计量。极差极差极差极差武汉理工大学应用数学系模式分析研究室王展青武汉理工大学应用

11、数学系模式分析研究室王展青武汉理工大学应用数学系模式分析研究室王展青武汉理工大学应用数学系模式分析研究室王展青1.2 1.2 抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布一.一.分布函数的分位点分布函数的分位点二.二.四大统计分布四大统计分布三.三.正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布F(F(F(F(F(F(u u u)u u uo o o一一一一.分布函数的分位点分布函数的分位点分布函数的分位点分布函数的分位点分位点分位点分位点分位点设统计量设统计量设统计量设统计量U U U U服从某分布，如果对于服从某分布，如果

12、对于服从某分布，如果对于服从某分布，如果对于 (0(0(0(0 1)1)1)U U U U )=)=)=)=则称则称则称则称U U U U 为该为该为该为该分布的上分布的上分布的上分布的上 分位点。分位点。分位点。分位点。抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布 统计量的分布。统计量的分布。统计量的分布。统计量的分布。U U 面积面积面积面积 =第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布二二二二.四大统计分布四大统计分布四大统计分布四大统计分布1.1.正态分布正态分布u u 设设设设 X X N N(,2 2),),则则则则U=(X-)U=(X-)/N N(0,

13、1)(0,1)u u uo o o记标准正态分布的分布函数为记标准正态分布的分布函数为记标准正态分布的分布函数为记标准正态分布的分布函数为(u),(u),分位点为分位点为分位点为分位点为u u P P(U U u u )=)=P P(U U u u )=)=1 1 =(u u )1 1 例如例如例如例如 求求求求 u 0.050.05 由于由于由于由于 1 1 =0.95=0.95 查表查表查表查表 (1.645)=0.95(1.645)=0.95所以所以所以所以 u 0.05 0.05 =1.645=1.645第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布

14、定义：定义：定义：定义：设总体设总体设总体设总体X X N N(0,1)(0,1)，X X X X1 1 1 1,X X X X2 2 2 2,X X X Xn n n n是是是是X X X X的样本统的样本统的样本统的样本统计量计量计量计量 2 2 2 2定义为定义为定义为定义为 称称称称 2 2 2 2 服从自由度是服从自由度是服从自由度是服从自由度是 n n 的卡方分布。的卡方分布。的卡方分布。的卡方分布。2.2.2 2 (卡方卡方)分布分布概率密度为概率密度为概率密度为概率密度为第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布 2 2 2 2分布的可加

15、性分布的可加性分布的可加性分布的可加性 若若若若 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2(n n n n1 1 1 1)，2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2(n n n n2 2 2 2)且相互独立，且相互独立，且相互独立，且相互独立，则则则则 1 1 1 12 2 2 2+2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2(n n n n1 1 1 1+n n n n2 2 2 2)2 2 2 2 分布的性质分布的性质分布的性质分布的性质 E E E E(2 2 2 2(n n n n)=)=)=)=n n，D D D D(2 2 2 2(n n n n)=)=)=)=2 n2 n

16、 当当当当 n n =1=1=1=1时，时，时，时，2 2 2 2(n n)为为为为 分布分布分布分布,当当当当 n n=2=2=2=2时，时，时，时，2 2 2 2(n n)为指数分布。为指数分布。为指数分布。为指数分布。第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布当当当当n n 4545时时时时,利用以下近似公式计算利用以下近似公式计算利用以下近似公式计算利用以下近似公式计算 2 2 2 2 分布的分位数计算分布的分位数计算分布的分位数计算分布的分位数计算 2 2 2 22 2x x xo o o 2 2 2 2(n n)当当当当n n 4545时时时

17、时,可直接查表求出可直接查表求出可直接查表求出可直接查表求出如如如如 2 2 2 20.10.1 (25)=34.328(25)=34.328(25)=34.328(25)=34.328如如如如第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布定义：设定义：设定义：设定义：设X X X X N N N N(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)，Y Y Y Y 2 2 2 2(n n)，且且且且X X X X,Y Y Y Y相互独立，相互独立，相互独立，相互独立，3.3.t t 分布分布则称则称则称则称 T T T T 服从服从服从服从自由度是自由度是自由度是自

18、由度是n n的的的的t t t t 分布分布分布分布概率密度为概率密度为概率密度为概率密度为(2)(2)当当当当n n时时时时,t,t,t,t 分布的极限为标准正态分布分布的极限为标准正态分布分布的极限为标准正态分布分布的极限为标准正态分布t t 分布的性质分布的性质(1)(1)(1)(1)f f(t)(t)(t)(t)关于关于关于关于t =0(t =0(t =0(t =0(纵轴纵轴纵轴纵轴)对称。对称。对称。对称。第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布t 分布的分位数计算分布的分位数计算分布的分位数计算分布的分位数计算当当当当n n 4545时时时

19、时,利用以下近似公式计算利用以下近似公式计算利用以下近似公式计算利用以下近似公式计算 t t (n n)u u 当当当当n n 4545时时时时,可直接查表求出可直接查表求出可直接查表求出可直接查表求出如如如如 t0.0050.005 (8)=3.3554(8)=3.3554(8)=3.3554(8)=3.3554t t 1-1-(n n)=-)=-t t (n n)t t tx x xo o o t t (n n)如如如如 t0.0250.025 (52)(52)(52)(52)u u 0.0250.025 =1.96 =1.96 =1.96 =1.96t t 1-1-(n n)第一章第一章

20、第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布定义：设定义：设定义：设定义：设U U U U 2 2 2 2(n n1 1)，V V V V 2 2 2 2(n n2 2)且且且且U U U U,V V V V相互独立，相互独立，相互独立，相互独立，4.4.4.4.F F F F 分布分布分布分布则称则称则称则称F F F F服从服从服从服从自由度是自由度是自由度是自由度是(n n n n1 1 1 1 ,n n n n2 2 2 2)的的的的F F F F分布分布分布分布.概率密度为概率密度为概率密度为概率密度为第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样

21、本与抽样分布样本与抽样分布F F分布的分位数计算分布的分位数计算分布的分位数计算分布的分位数计算定理定理定理定理 若若若若X X X X F F F F(n n1 1,n n2 2)分布分布分布分布,则则则则1/1/1/1/X X X X F F(n n2 2,n n1 1)由此可知由此可知由此可知由此可知 F F F F (n n1 1,n n2 2)=1/)=1/)=1/)=1/F F F F 1-1-1-1-(n n2 2,n n1 1)当当当当 0.50.5时时时时,利用上述公式计算利用上述公式计算利用上述公式计算利用上述公式计算 当当当当 0.50.5时时时时,可直接查表求出可直接查

22、表求出可直接查表求出可直接查表求出如如如如 F F F F 0.005 0.005(9(9(9(9,9,9 )=6.54)=6.54)=6.54)=6.54如如如如 F F F F 0.9950.995 (9 9,9 9)=1/=1/=1/=1/F F F F 0.005 0.005(9(9(9(9,9,9 )=1/6.54 =1/6.54 =1/6.54 =1/6.54 =0.153 =0.153 =0.153 =0.153f f fx x xo o o F F F F (n n1 1,n n2 2)第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布三三.正态

23、总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理设总体设总体设总体设总体X X X X N NN N(,2 2 2 2)，X X X X1 1 1 1,X X X X2 2 2 2,X X X Xn n n n是其样本是其样本是其样本是其样本 12样本方差为样本方差为样本方差为样本方差为 S S2 2记样本均值为记样本均值为记样本均值为记样本均值为则有以下结论则有以下结论则有以下结论则有以下结论 (1)(5)(1)(5)第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布结论结论结论结论1,2 1,2 的证明的证明的证明的证明是是是是n n n n 个独立的正态随机变量的

24、个独立的正态随机变量的个独立的正态随机变量的个独立的正态随机变量的线性组合线性组合线性组合线性组合,故服从正态分布故服从正态分布故服从正态分布故服从正态分布1 1 1 12 2 2 2且且且且U U U U与与与与V V V V独立独立独立独立,根据根据根据根据t t t t分布的定义可知分布的定义可知分布的定义可知分布的定义可知第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布345第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布设有两个独立正态总体设有两个独立正态总体设有两个独立正态总体设有两个独立正态总体X X X X N

25、 N N N(1 1 1 1,1 1 1 12 2 2 2),),),),样本样本样本样本 X X X X1 1 1 1,X X X X2 2 2 2,X X X Xn n n n1 1 1 1，Y Y Y Y N N N N(2 2 2 2,2 2 2 22 2 2 2)样本样本样本样本 Y Y Y Y1 1 1 1,Y Y Y Y2 2 2 2,Y Y Y Yn n n n2 2 2 2，它们的样本均值及样本方差分别为它们的样本均值及样本方差分别为它们的样本均值及样本方差分别为它们的样本均值及样本方差分别为第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布6则有以下结论则有以下结论则有以下结论则有以下结论7第一章第一章第一章第一章 样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布样本与抽样分布8特别特别特别特别 当当当当时时时时