3.1数系的扩充和复数的概念课件.ppt

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1、学习目标：学习目标：（1）在问题情境中，了解数系扩充的过程，体会实际需）在问题情境中，了解数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的关系。理性思维的作用以及数与现实世界的关系。（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 教学重点教学重点 ：理解复数概念以及复数的分类理解复数概念以及复数的分类教学难点：教学难点：掌握复数相等的充要条件掌握复数相等的充要条件了解虚数单位以及复数的引入了解虚数单位以及复数的引入 毕达哥拉斯（约公元前毕达哥拉

2、斯（约公元前560560480480年）年）“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉计数的需要计数的需要正整数正整数零零自然数自然数回顾：数系的扩充回顾：数系的扩充一、数的发展史被“数”出来的自然数 远古的人类，为了统计捕获远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，的野兽和采集的野果，用划痕、用划痕、石子、结绳记个数，历经漫长石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、自然数是现实世自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学界最基本的数量，是全部数学的发源地的发源地 古代印度人最早使用了

3、古代印度人最早使用了“0”.中国是世界上最早认识应用负数的国家.早在2000多年前多年前的九章算术中,就有正数和负数的记载.在古代人民生活中,以收入钱为正,以支出钱为负.在粮食生产中,以产量增加为正,以产量减少为负.古代的人们为区别正、负数,常用红色算筹表示正,黑色算筹表示负.小贴士回顾：数系的扩充回顾：数系的扩充珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米.吐鲁番盆地大约比海平面低155米.+8844-155回顾：数系的扩充回顾：数系的扩充自然数集自然数集整数负整数自然数正整数零整整 数数 集集回顾：数系的扩充回顾：数系的扩充被“分”出来的分数 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数随着生产、

4、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的是远远不行的.分数的引入分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾解决了在整数集中不能整除的矛盾.如果分配猎获物时，如果分配猎获物时，2个人分个人分1件东西，每个人应该得多少呢？件东西，每个人应该得多少呢？于是分数就产生了于是分数就产生了.整数整数负整数负整数自然数自然数正整数正整数零零分数分数有理数有理数集有理数集自然数集自然数集整整 数数 集集回顾：数系的扩充回顾：数系的扩充CA1DB1古老古老的问题的问题:“正方形的对角线是个正方形的对角线是个奇怪奇怪的数的数”有理数集自然数集整 数 集回顾：数系的扩充回顾：数系的扩充被“推”出来的无理数

5、古希腊的毕达哥拉斯学派认为古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都世间任何数都可以用整数或分数表示可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条.有一有一天天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方的正方形的对角线是个奇怪的数形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究于是努力研究,终于证明出它不终于证明出它不能用整数或分数表示能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做

6、出了贡献。由于希伯斯坚持真理，了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数实实实实 数数数数 集集集集有理数集有理数集有理数集有理数集自然数集自然数集整整整整 数数数数 集集集集回顾：数系的扩充回顾：数系的扩充实数的分类实数的分类正整数正整数实数实数有理数有理数无理数无理数整数整数分数分数零零负整数负整数正分数正分数负分数负分数自然数自然数有限小数或有限小数或循环小数循环小数负无理数负无理数正无理数正无理数无限不循环小数无限不循环小数回

7、顾：数系的扩充回顾：数系的扩充 1545年，卡尔丹在大衍术中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了”能作为“数”吗？它表示什么意义？历史回历史回顾顾 1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”(R.Descartes,1596-1661)笛卡尔能作为“数”吗？它表示什么意义？新课：数系的扩充新课：数系的扩充17771777年年 欧拉首次提出用欧拉首次提出用i i表示平方等于表示平方等于-1-1的新数的新数Leonhard Euler（1707-1783）欧欧 拉拉18011801年年 高斯系统使用了高斯系统使用了i i这个符号这个符号 使之

8、通行于世使之通行于世 （17771855）高高 斯斯Johann Carl Friedrich Gauss11:02加除乘减实数解方程？我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i i ，把，把，把，把 i i 叫做虚数单位，叫做虚数单位，叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：并且规定：并且规定：（1）i i2 21 1；（2）实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算进行四

9、则运算，在进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率时，原有的加法与乘法的运算率时，原有的加法与乘法的运算率时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和包括交换率、结合率和包括交换率、结合率和包括交换率、结合率和分配率分配率分配率分配率)仍然成立。仍然成立。仍然成立。仍然成立。引入新数，完善数系引入新数，完善数系引入新数，完善数系引入新数，完善数系?虚数虚数?实 数 集有理数集自然数集整 数 集整数整数负整数负整数自然数自然数正整数正整数零零分数分数有理数有理数无理数无理数实数实数新课：数系的扩充新课：数系的扩充 复数复数Z=a+bi(a R，b R)把实数把实

10、数a，b叫做叫做 复数的复数的实部实部和和虚部虚部。1、定义定义:形如形如a+bi（aR，bR）的数叫）的数叫复数复数,其中其中i叫叫虚数单位虚数单位。全体复数所组成的集合叫复数集，记作全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。注意注意:复数通常用字母复数通常用字母z表示，即复数表示，即复数a+bi （aR，bR)可记作可记作:z=a+bi（a R，b R），把这一表），把这一表示形式叫做示形式叫做复数的代数形式复数的代数形式。复数有关概念复数有关概念复数有关概念复数有关概念实部实部实部实部虚部虚部虚部虚部其中其中 称为虚数单位。称为虚数单位。复数的分类？复数的分类？讨论讨论观察复数的代数形式观察

11、复数的代数形式当当当当a=a=0 0 且且且且b=b=0 0 时，则时，则时，则时，则z=0z=0当当当当b=b=0 0 时，则时，则时，则时，则z z为实数为实数为实数为实数当当当当b b 0 0 时，则时，则时，则时，则z z为虚数为虚数为虚数为虚数当当当当a=a=0 0 且且且且b b 00时，则时，则时，则时，则z z为纯虚数为纯虚数为纯虚数为纯虚数2 2、复数、复数a+bia+bi3.复数集，虚数集，实数复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系集，纯虚数集之间的关系？思考？思考？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集 复数的分类复数的分类复数的分类复数的分类例例1.请指出哪些

12、是实数，哪些是虚数，哪请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数些是纯虚数.解解:实数有实数有 ;虚数有虚数有 ;纯虚数有纯虚数有 .4 ，0例例2 2 实数实数m m取什么值时，取什么值时，复数复数 是是 （1 1）实数（）实数（2 2）虚数（）虚数（3 3）纯虚数）纯虚数解解:（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当时，复数时，复数z 是纯虚数是纯虚数（4）0（5）6+2i4.复数相等的定义复数相等的定义 根据两个根据两个复数相等复数相等的定义的定义，设设a,b,c,dR，两个复数两个复数a+bi和和 c+di

13、相等规定相等规定为为a+bi =c+di 如果两个复数的实部和虚部分别相等如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就我们就说这两个说这两个复数相等复数相等.两个复数不能比较大小两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相只能由定义判断它们相 等或不相等等或不相等。例例3:3:已知已知复数相等的问题复数相等的问题转化转化求方程组的解的问题求方程组的解的问题数系的扩充数系的扩充与与转化（复数问题实数化）转化（复数问题实数化）解解:根据两个复数相等的充要条件，根据两个复数相等的充要条件，可得方程组可得方程组解得解得:求实数求实数变式变式1、已知两个复数、已知两个复数x2-1+(y+1)i大于大于2x+3

14、+(y2-1)i试求实数试求实数x,y的取值范围的取值范围变式变式2、已知实数、已知实数x与纯虚数与纯虚数y满足满足2x-1+2i=y,求求x,y。11:02课堂小结虚数的引入复 数 z=a+bi(a,bR)复数的分类当b=0时z为实数;当b0时z为虚数(此时,当a=0时z为纯虚数).复数的相等a+bi=c+di(a,b,c,dR)a=cb=d当堂检测1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的复数是 （）A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为_。3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则

15、实数a的值为_。问题拓展问题拓展 已知方程已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解有实数解,a为实数，为实数，求求a的值的值.解：设方程的解为解：设方程的解为x011:02若方程至少有一个实数根，求实数m的值在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?想想一一想想？实数的几何意义实数的几何意义类比类比实数的实数的表示，可以表示，可以用什么来表用什么来表示复数？示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。实数实数 数轴数轴上的点上的点(形形)(数数)一一对应一一对应 回回忆忆复数的一般形式？Z=a+bi(a,b R)实部!虚部!一个复数一

16、个复数由什么唯由什么唯一确定？一确定？复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi复数的几何意义（一）复数的几何意义（一）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应

17、的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。数都是纯虚数。例例4.辨析：辨析：1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）D例例5 5 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(

18、几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应复数的几何意义（二）复数的几何意义（二）xyobaZ(a,b)z=a+bixOz=a+biy复数的绝对值复数的绝对值(复数的模复数的模)的的几何意义几何意义:Z(a,b)对应平面向量对应平面向量 的模的模|，即，即复数复数 z=z=a+bi i在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的到原点的距离。距离。|z|=|例例6 求下列复数的模：求下列复数的模：

19、(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(2)(2)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？思考：思考：(1)(1)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？(4)z4=1+mi(mR)(5)z5=4a-3ai(a0)这些复这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形数对应的点在复平面上构成怎样的图形？xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的复数复数z z对应的点在复对应的点在复平面上将构成怎样平面上将构成怎样的图形？的图形？55551.1.

20、虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部、虚部、虚部复数相等复数相等复数的分类复数的分类课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结3.3.复数的两种几何意义；复数的两种几何意义；关于无理数的发现关于无理数的发现 古希腊的古希腊的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认为认为,世间任何数都可以用世间任何数都可以用整数或分数表示整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条.有一天有一天,这个这个学派中的一个成员学派中的一个成员希伯斯希伯斯突然发现边长为突然发现边长为1 1的正方形的对角的正方形的对角线是个奇怪的数线是个

21、奇怪的数,于是努力研究于是努力研究,终于证明出它不能用整数或终于证明出它不能用整数或分数表示分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉于是毕达哥拉斯命令他不许外传斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达毕达哥拉斯大怒哥拉斯大怒,要将他处死要将他处死.希伯斯连忙外逃希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住然而还是被抓住了了,被扔入了大海被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯希伯斯发现的这类数发现的这类数,被称为被称为无理数无理数.无理数的发现无理数的发现,导致了第一次导致了第一次数学危机数学危机,为数学的发展做出了重大贡献为数学的发展做出了重大贡献.