5梁弯曲时的变形.ppt

《5梁弯曲时的变形.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5梁弯曲时的变形.ppt（75页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、梁 的 变 形 1 概述(挠度和转角)2 梁的挠曲线的近似微分方程 3 积分法计算梁的位移 4 叠加法计算梁的位移 5 梁的刚度校核 6 弯曲应变能1 概述(挠度和转角)应力应力变形变形强度要求强度要求刚度要求刚度要求 荷载 主轴变形对加工精度的影响主轴变形对加工精度的影响变形的利用：变形的利用：汽车的钢板弹簧汽车的钢板弹簧竖向位移挠曲线挠曲线竖向位移竖向位移CC挠度挠度转角挠度与转角之间的关系 xBxF 梁变形的两个位移度量CBACw wC 挠度与转角的正负号规定：挠度：挠度：向下为正，反之为负向下为正，反之为负 转角：转角：顺时针为正，反之为负顺时针为正，反之为负如何求挠曲线的方程式？2

2、梁的挠曲线的近似微分方程 纯弯曲：纯弯曲：非纯弯曲：非纯弯曲：梁挠曲线的梁挠曲线的近似近似微分方程微分方程 1 略去了剪力的影响略去了剪力的影响 2 略去了变形高次方略去了变形高次方 wxM 0wxM 03 积分法计算梁的位移积分法积分法 式中，式中，C、D为积分常数，可由梁的某些截面的已为积分常数，可由梁的某些截面的已知变形条件来确定知变形条件来确定，如：，如：边边界界条条件件 BAAB连续条件连续条件光滑条件光滑条件铰支座铰支座PABC铰连接铰连接PDCAwx连续但连续但不光滑不光滑 例例1 图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯曲刚图示为一受均布荷载作用的简支梁，梁的弯曲刚度度EIz为常

3、数。试求此梁的最大挠度为常数。试求此梁的最大挠度wmax和两端面的转角和两端面的转角A、B。解：取如图所示的坐标系，弯矩方程为：FRAFRBxwBqlA xAB挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分得：积分得：梁的边界条件为：梁的边界条件为：xwBqlAx 转角方程式和挠度方程式分别为：转角方程式和挠度方程式分别为：xwBqlAx 例例2 用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠用积分法求位移时，图示梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程曲线的近似微分方程？试分别列出确定积分常数时试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件需用的边界条件和变形连续条件。边界条件：变形光滑条件：

4、B、C、D：变形连续条件：弯矩方程的分界点弯矩方程的分界点EIABq CEDFl/2l/2l/2l/2 静定静定(组合组合)梁如图所示，试分别列出确定积分梁如图所示，试分别列出确定积分常数时需用的边界条件和变形连续条件常数时需用的边界条件和变形连续条件。AlxwCBq aCBlq aAxw例3 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCba解：利用平衡方程求两个支反力解：利用平衡方程求两个支反力：显然显然，AC段与段与CB段弯矩方程的表达式不一样段弯矩方程的表达式不一样。分别列出分别列出AC、CB段弯矩方程并积分段弯矩方程并

5、积分：wxFRAFRBAPBLCbaAC段段CB段段边界条件：边界条件：边界条件：边界条件：支承条件支承条件 连续条件连续条件 光滑条件光滑条件wxAPBLCba利用边界条件解得：利用边界条件解得：最大转度最大转度从从AB，（顺时针顺时针）（逆时针逆时针）（绝对值绝对值）最大挠度最大挠度最大挠度最大挠度w wmaxmaxw w(x x0 0)为极值为极值APBLCbawx讨论：讨论：结论：对于简支梁而言，无论集中力对于简支梁而言，无论集中力P作用在何作用在何处，用处，用w(l/2)代替代替wmax，最大误差为最大误差为2.65%。APBLCbawx 例例4 用用积积分法求分法求图图示外伸梁自由

6、端示外伸梁自由端C的截的截面面转转角和角和挠挠度度，其中其中Me=ql2/16。解：取图示的坐标系，求支座反力得解：取图示的坐标系，求支座反力得：ll/2q CBAEIMex yFAyFAxFB边界边界(A、C点点)条件条件：ll/2q CBAEIMex yFAyFAxFB弯矩方程弯矩方程：梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程 边界条件边界条件：连续性条件连续性条件：ll/2q CBAEIMex yFAyFAxFB解得解得：将积分常数回代得将积分常数回代得：自由端自由端C的截面转角和挠度的截面转角和挠度：ll/2q CBAEIMex yFAyFAxFB4 叠加法计算梁的位移 积分法Me

7、单独作用 q单独作用 q CBAEIll/2Mexwq CBAEIll/2xwCBAEIll/2Mexw线性关系线性关系 叠加原理：梁在几个荷载同时作用时，其任一截梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在面处的转角（或挠度）等于各个荷载单独作用时梁在该截面处的转角（或挠度）的总和。该截面处的转角（或挠度）的总和。适用条件：1 小变形2 材料处于弹性阶段且服从胡克定律但是有一点需要说明：q CBAEIll/2Mexw 线弹性，位移可以叠加线弹性，位移可以叠加线弹性，位移可以叠加线弹性，位移可以叠加 1 1F F1 1F F1 1+F+F2 2 1+21+2F

8、 F2 2 2 2F F OF F OF F O 2 2 1 1为什么线性关系可以叠加？F F OF F OF F O 非线性弹性，位移不可以叠加非线性弹性，位移不可以叠加非线性弹性，位移不可以叠加非线性弹性，位移不可以叠加F F1 1 1 1F F2 2 2 2F F1 1+F+F2 2 2 2表7(4)-1转角转角(rad)挠度挠度(m)q(N/m)F(N)M(N.m)简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，简支梁跨中受集中力作用，如果其它条件不变，则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来的则当梁长增加一倍时，梁内的最大正应力变为原来的 ，最大挠度变为原来的，最大挠度变为原来的 。E

9、Iz称为称为抗弯刚度抗弯刚度BqAFFBABqA试用试用叠加法叠加法求图示悬臂梁自由端的挠度求图示悬臂梁自由端的挠度wB。F1 ABw1w2F1 AF=16kNBll/2CAF=16kNBCwC例例 试用叠加法求图示悬臂梁自由端试用叠加法求图示悬臂梁自由端B处的挠度处的挠度。q A B xdx w x l q.dx表7(4)-1(2)表7(4)-1(3)例例4：简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求简支梁受图示荷载作用，试用叠加法求C截面截面的挠度和截面转角的挠度和截面转角A。q BAEIll/2Cq B AEIll/2Cq B AEIll/2Cq B AEIll/2Cq B AEIll/2C表表

10、7(4)-1分析：分析C点：q BAEIll/2CCBAq/2EIlABCEIlq/2q/2 结论（规律）：(2)当梁的支承情况当梁的支承情况对称对称，荷载，荷载反对称反对称时，则弯矩时，则弯矩图永为图永为反对称反对称图形，剪力图永为图形，剪力图永为对称对称图形。图形。(1)当梁的支承情况当梁的支承情况对称对称，荷载也，荷载也对称对称时，则弯矩时，则弯矩图永为图永为对称对称图形，剪力图永为图形，剪力图永为反对称反对称图形；图形；FQ图M图CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2表表7(4)-1q/2AM FQ跨度为跨度为l/2的简支梁的简支梁ABCEIlq/2q/2 例例5：外伸梁受图示荷载

11、作用，试用叠加法求外伸外伸梁受图示荷载作用，试用叠加法求外伸端端C截面的挠度截面的挠度。BAEIlaFC分析：表7(4)-1 表7(4)-1 请思考：能不能将力F向A点简化，为什么？BAEIlaFCFEIABCFEIABCFFAEIBCC1wC1wC2悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁CEIABC2FM 例例6：FEI2EIABCllC2wFwBeFFCFwCBABC1 表表7(4)-1表表7(4)-1M FEI2EIABCll例题：已知例题：已知 F，E，G，求，求C点铅垂位移点铅垂位移A FBC尺寸：尺寸：l,d尺寸：尺寸：a,b,h分析：分析：AB 弯曲弯曲+扭转变形，扭转变形，BC 弯曲变形弯曲

12、变形 故故 C点的挠度由三部分组成点的挠度由三部分组成 AB弯曲引起的弯曲引起的B点下沉点下沉AB扭转引起扭转引起C点位移点位移 BC弯曲引起弯曲引起C点下沉点下沉解：采用逐段刚化法解：采用逐段刚化法(1)将将AB刚化，计算刚化，计算BC弯曲变形引起的弯曲变形引起的C点的挠点的挠度。度。FB(固定端固定端)C尺寸：尺寸：a,b,h(2)将将BC刚化刚化,即去掉即去掉BC，但保留，但保留BC对对AB的的 作用力，计算作用力，计算AB弯曲引起的弯曲引起的C点的挠度点的挠度FAB尺寸尺寸：l,dMx(3)将将BC刚化计算刚化计算AB扭转变形引起的扭转变形引起的C点的挠度点的挠度计算计算B截面扭转角截

13、面扭转角所以，所以，C点位移为：点位移为：BCFAB尺寸尺寸：l,dMxq DBAEIll3ql2xw2qlCl根据梁的根据梁的弯矩图弯矩图和和支座条件支座条件，画出梁的挠曲线的，画出梁的挠曲线的大致形状。大致形状。FQ图M图5 梁的刚度计算一、梁的刚度条件：起重机大梁、吊车梁：起重机大梁、吊车梁：发动机曲轴、凸轮轴：发动机曲轴、凸轮轴：普通机床主轴、一般的轴：普通机床主轴、一般的轴：强度与刚度强度与刚度BACP1P2D 例例7：车床主轴如图所示，车床主轴如图所示，已知工作时的径向力已知工作时的径向力P1=2000N，齿轮啮合处的齿轮啮合处的径向力径向力P2=1000N；主轴主轴的外径的外径D

14、=8cm，内径内径d=4cm；l=40cm，a=20cm，C处的许用挠度处的许用挠度y=0.0001l，轴承轴承B处的处的许用转角许用转角=0.001rad。试校核其刚度试校核其刚度。将主轴简化为如图将主轴简化为如图b所示的外伸所示的外伸梁，梁，横截面的惯性矩为横截面的惯性矩为(1)计算变形计算变形 由表由表7-1查出，因查出，因P1在在C处引起的挠度和在处引起的挠度和在B引起的引起的转角为：转角为：yCP1BACP1BACP1P2D 由表由表7-1查得，因查得，因P2在在C处引起的挠度和在处引起的挠度和在B处处引起的转角为：引起的转角为：P2yCP2BACD 则则C处的总挠度为：处的总挠度为

15、：则则B处的总转角为：处的总转角为：主轴的许用挠度和许用转角为：主轴的许用挠度和许用转角为：故主轴满足刚度条件故主轴满足刚度条件(2)校核刚度校核刚度 二、提高承载能力的措施1 减小梁的跨度减小梁的跨度2 选择合理截面形状选择合理截面形状3 改善梁的受力和支座位置改善梁的受力和支座位置4 预加反弯度预加反弯度FF（增加支座）（增加支座）大自然中的悬臂梁 独根草，独根草，独根草，独根草，多年生草本植多年生草本植多年生草本植多年生草本植物，具粗壮的物，具粗壮的物，具粗壮的物，具粗壮的根状茎，生长根状茎，生长根状茎，生长根状茎，生长在山谷和悬崖在山谷和悬崖在山谷和悬崖在山谷和悬崖石缝处，为中石缝处，

16、为中石缝处，为中石缝处，为中国特有属。国特有属。国特有属。国特有属。BBAF 拱拱拱拱预应力梁预应力梁预应力梁预应力梁6 梁内的弯曲应变能MeMeAOMeMel纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲 例例 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度点的挠度wB，已知梁的弯曲刚度为，已知梁的弯曲刚度为EI。解解：1 弯矩方程弯矩方程2 弯曲应变能弯曲应变能3 计算计算B点的挠度点的挠度FwB7 简单超静定梁 未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力未知反力的数目多于平衡方程的数目，仅由静力平衡方程不能求解的梁，称为平衡方程不能求解的梁，称为超静定梁超静定梁超静定梁超静

17、定梁(静不定梁静不定梁静不定梁静不定梁)概念概念概念概念AFAyFAxFB MAFAzFAx讨论：F1 AF=16kNBll/2CF1 AF=16kNBll/2C实质：存在多余约束多余约束多余约束的作用的作用增加了未知力个数增加了未知力个数增加对变形的限制增加对变形的限制使问题变为不可解使问题变为不可解使问题变为可解。使问题变为可解。wB=0FAyFAxwB=0相当系统相当系统MAF1 AF=16kNBll/2C1 解除多余约束解除多余约束(代之以约束反力代之以约束反力)；2 补充方程；补充方程；3 与平衡方程联立求解。与平衡方程联立求解。变形协调条件变形协调条件物理方程物理方程解解题题步步骤

18、骤EFCFBAAl/2BECFFFCFC力法力法确定超静定次数，用反力代替多余约束得新结构确定超静定次数，用反力代替多余约束得新结构 静定基静定基AF=16kNBll/2CwB=0F1 AF=16kNBll/2CA=0BlAF=16kNl/2CMA静定基静定基1静定基静定基2思考题思考题1.弯矩和剪力分别由什么应力组成?2.研究梁的正应力的基本思路是什么？3.什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中性轴必通过横截面的形心。4.什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也越小，对吗？为什么？5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围可否推广到一般梁？6、写出截

19、面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和抗扭截面模量有何关系？7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。8、由直径为D的圆木切割出一矩形梁，求出使梁的强度最大的高宽比。简支梁跨中受集中力作用简支梁跨中受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用悬臂梁自由端受集中力作用转角方程和挠度方程总是连续的转角方程和挠度方程总是连续的(5)梁的最大挠度必产生于最大弯矩处梁的最大挠度必产生于最大弯矩处。(4)弯矩突变的截面处转角也突变弯矩突变的截面处转角也突变；(3)弯矩为零处，挠曲线曲率必为零弯矩为零处，挠曲线曲率必为零；(2)弯矩最大的截面转角最大，弯矩为零的截面

20、弯矩最大的截面转角最大，弯矩为零的截面转角为零转角为零；(1)正弯矩产生正转角，负弯矩产生负转角正弯矩产生正转角，负弯矩产生负转角；9 试判断 10 应用叠加原理的条件是什么应用叠加原理的条件是什么？小变形小变形 材料处于弹性阶段且服从胡克定律材料处于弹性阶段且服从胡克定律 11 两悬臂梁，其横截面和材料相同，一梁的长度是两悬臂梁，其横截面和材料相同，一梁的长度是另一梁的另一梁的2倍，在梁的自由端作用有大小相等的集中力，倍，在梁的自由端作用有大小相等的集中力，则长梁自由端的挠度、转角分别是短梁的多少倍？则长梁自由端的挠度、转角分别是短梁的多少倍？作业作业：P146 习题习题 7-1(1)7-2

21、(1)7-3(1)7-4(2)(3)7-6 7-9(2)7-19 7-20作业作业：P181 习题习题5-15-2 5-5 5-6 5-75-9 5-10 5-12 5-15(a)5-18 (a)5-19 (c)5-20 (c)5-23 结论与讨论结论与讨论 比较三种情形下梁的比较三种情形下梁的受力、剪力和弯矩图的受力、剪力和弯矩图的相同相同 之处和不同之处之处和不同之处从中能得到什么从中能得到什么 重要结论重要结论？FQq(x)q(x)FQq(x)q(x)FQq(x)q(x)Lq0MABAq0LRBABxq0LABf或或用变形比较法解简单超静定用变形比较法解简单超静定梁梁处理方法：处理方法：

22、3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，求全部未知力求全部未知力解：解：建立静定基建立静定基 确定超静定次数确定超静定次数 用反力代替多余约束用反力代替多余约束 得新结构得新结构 静定基静定基等价等价几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程q0LRBAB=+RBABq0AB物理方程物理方程补充方程补充方程求解其它问题求解其它问题 （反力、应力、变形等）（反力、应力、变形等）几何方程几何方程 变形协调方程变形协调方程解：解：建立静定基建立静定基例例10 求求B B点反力点反力=LBCxfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB+物理方程物理方程 变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程LBCxfq0LRBABC=RBABq0AB求解其它问题求解其它问题（反力、应力、变形等）（反力、应力、变形等）