一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则.ppt
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1、一、微分的定义一、微分的定义二、微分的基本公式二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则三、微分的四则运算法则四、微分形式的不变性四、微分形式的不变性五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用微分及其运算微分及其运算一、微分的定义当正方形的边长从 变到 时,相应的面积增量 .函数增量 分成两部分,一部分是 的线性部分 ,一部分是关于 的高阶无穷小 当立方体的边长从 变到 时,相应的体积增量函数增量 分成两部分,一部分是 的线性部分 一部分是关于 的高阶无穷小定义 设y=f(x)在点 的某邻域内有定义,属于该邻域.若 其中A与 无关,而 是关于 的高阶无穷小,则称y=f(x)在 可微,而
2、 称为y=f(x)在点 处的微分,记为定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导,且有 .由于 ,即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比,因此导数也称微商.微分dy的几何意义,就是曲线y=f(x)在点 处的切线的纵坐标的增量.二、微分的基本公式微分的基本公式:三、微分的四则运算法则定理3.8 设u=u(x),v=v(x)可微,则 ,u,v可微,且有证定理3.9 设u=u(x),v=v(x)可微,且 ,则 可微,且有 .证例1 设解例2 设y=x tan xsin x,求dy.解注意,当然也可以直接用公式 求微分.例3 设解四、微分形式的不变性设y=f(u),u=g(x)都可微,则复合函数y=f(g(x)也可微,此时有 可见,若y=f(u)可微,不论u是自变量还是中间变量,总有 ,这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性,可以计算复合函数的微分.例4 设解如果不引入中间变量u,则可例5 设解当然,也可以直接用公式 来求微分,即求出 后再乘以dx得到dy.五、微分在近似计算中的应用设y=f(x)在 可导,当自变量从 变到x(即取得增量 ),则有当x很接近 时,即 很小时,就有近似公式即当 容易计算时,就可以用上述的近似公式来计算 附近点的函数值.例6解
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