同济大学高等数学第七版1_1映射与函数知识分享.ppt

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1、第一章分析分析(fnx)基基础础 函数函数(hnsh)极限极限(jxin)连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限第一页，共81页。第一章 二、映射二、映射(yngsh)三、函数三、函数(hnsh)一、集合一、集合(jh)第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数四、四、初等函数初等函数第二页，共81页。元素(yun s)a 属于集合 M,记作元素(yun s)a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合(jh)1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集,记作 .(或).机动 目录

2、 上页 下页 返回 结束 第三页，共81页。表示法表示法：(1)列举(lij)法：按某种方式(fngsh)列出集合中的全体元素.例例:有限(yuxin)集合自然数集(2)描述法：x 所具有的特征例例:整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:M 为数集 表示 M 中排除 0 的集;表示 M 中排除 0 与负数的集.第四页，共81页。是 B 的子集(z j),或称 B 包含 A,2.集合集合(jh)之间的关系及运之间的关系及运算算定义定义(dngy(dngy)2.)2.则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如,显然有下列关系:

3、,若设有集合记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五页，共81页。定义定义 3.给定给定(i dn)两个集两个集合合 A,B,并集交集(jioj)且差集且定义(dngy)下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页 返回 结束 或第六页，共81页。3.3.区间区间(q(q jin)jin)与领域与领域是指介于某两个实数之间的全体是指介于某两个实数之间的全体(qunt)实数实数.这两个实数叫做区间的这两个实数叫做区间的端点端点.称为称为(chn wi)开区间开区间,称为闭区间称为闭区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束 区间区间:第七页，共81页。称为称为(c

4、hn wi)半开半开区间区间,称为称为(chn wi)半开区间半开区间,以上以上(yshng)是是有限区间有限区间无限区间无限区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八页，共81页。邻域邻域(ln(ln y):y):机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第九页，共81页。绝对值绝对值设设 a 是一个是一个(y)实数，实数，数轴数轴(shzhu)上上 a 所对应的点到原所对应的点到原点的距离点的距离称为称为(chn wi)a 的绝对值，记为：的绝对值，记为：一般：一般：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十页，共81页。数轴(shzhu)上点 x 到点 a 的距离为运算运算(yn s

5、un)性质性质:机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第十一页，共81页。逻辑逻辑(lu j)量词量词全称全称(qun chn)量词量词任意任意(rny)AFor AllFor All存在量词存在量词E E存在存在There ExistThere Exist机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二页，共81页。解释解释(jish)以下命题以下命题对任意对任意(rny)实数实数x，都存在比，都存在比x 更大的实数更大的实数y。任意任意(rny)(rny)两个实数之间，都存在着一个实数。两个实数之间，都存在着一个实数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三页，共81页。二、二、映射映射(

6、yngsh)1.映射映射(yngsh)的概念的概念 某校学生某校学生(xu sheng)的集合的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例第十四页，共81页。定义定义(dngy)4.设 X,Y 是两个(lin)非空集合,若存在一个(y)对应规则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十五页，共81页。定义域

7、定义域：Df =X Rf =值域值域：注意注意(zh y):1)映射的三要素 定义域,对应(duyng)规则,值域.2)元素(yun s)x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应规则：对应规则：f第十六页，共81页。几种几种(j zhn)映射的类型映射的类型满映射满映射(yngsh)(yngsh)（满射）（满射）单映射单映射(yngsh)(yngsh)（单射）（单射）一一映射一一映射(yngsh)(yngsh)（双射）（双射）机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第十七页，共81页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第十八页

8、，共81页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第十九页，共81页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第二十页，共81页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第二十一页，共81页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第二十二页，共81页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第二十三页，共81页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第二十四页，共81页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第二十五页，共81页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第二十六页，共81页。定义定义(dngy).则当则当由上述由上述(shngsh)映

9、射链可定义由映射链可定义由 D 到到 Y 的的设有映射设有映射(yngsh)链链记作记作复合映射复合映射,时时,或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:构成复合映射的条件构成复合映射的条件 不可少不可少.复合映射复合映射第二十七页，共81页。三、函数三、函数(hnsh)1.函数函数(hnsh)的的概念概念 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第二十八页，共81页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第二十九页，共81页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第三十页，共81页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 2.反函数反函数 （教材（教材(jio

10、ci)14页）页）第三十一页，共81页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第三十二页，共81页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第三十三页，共81页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 In Excel:abs(x)第三十四页，共81页。机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 例例7：符号：符号(fho)函数（函数（The sign function）当当 x 0当当 x=0当当 x 0In Excel:sign(x)奇函数奇函数第三十五页，共81页。机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 例例8：取整函数：取整函数(hnsh)当当In Excel:x=IN

11、T(x)第三十六页，共81页。3、函数的几种、函数的几种(j zhn)特性特性(1)有界性有界性(2)单调单调(dndio)性性(3)奇偶性奇偶性(4)周期性周期性机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第三十七页，共81页。3、函数的几种、函数的几种(j zhn)特性特性定义定义(dngy)：设函数：设函数(1)有界性有界性恒有恒有则称则称 在在 a,b 上为有界函数上为有界函数(hnsh).否则称否则称在在 a,b 上为上为无界函数无界函数.有界函数必介于直线有界函数必介于直线与与之间。之间。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十八页，共81页。在在D上上有上有上(或下）界。或下

12、）界。如果如果(rgu)存在常数存在常数M(N),有时还要用到有上界(shngji)或有下界。使得使得(sh de)对任意的对任意的总有总有则称则称函数函数函数在某个区间函数在某个区间D上有上有界时函数既有上界、也有下界，界时函数既有上界、也有下界，反之也成立。反之也成立。但当函数但当函数在在D上只有上界（或有下界）时，上只有上界（或有下界）时，函数在函数在D上无界。上无界。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十九页，共81页。当当时，时，则称则称当当时为有界函数时为有界函数(hnsh)。当当不存在不存在(cnzi)正数正数使使则称则称当当时，为无界函数时，为无界函数(hnsh)。说明：说

13、明：一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。例例1 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 时，时，第四十页，共81页。则称则称 f(x)则称则称 上是单调上是单调(dndio)增加的增加的;上是单调上是单调(dndio)减少的减少的.(2)单调单调(dndio)性性定义定义：设函数：设函数且且在在在在单增和单减函数统称为单调函数。单增和单减函数统称为单调函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十一页，共81页。例例1：证明：证明(zhngmng)的符

14、号的符号(fho)。证明证明(zhngmng)函数函数且且的单调性，关键是看的单调性，关键是看看看机动 目录 上页 下页 返回 结束 时，判别时，判别（或（或（或（或。或当第四十二页，共81页。例例2这说明这说明(shumng)：有时一个函数在整个区间：有时一个函数在整个区间D不是单调的，不是单调的，而将而将D分成分成(fn chn)几个小区间，几个小区间，却在每个小区间却在每个小区间(q jin)上是单调的，上是单调的，这需要分别讨论。这需要分别讨论。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十三页，共81页。(3)奇偶性奇偶性若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称 f(x)为为

15、奇函数奇函数.定义定义(dngy)：设函数设函数(hnsh)在对称在对称(duchn)区间区间上有定义。上有定义。且满足且满足其图形对称于其图形对称于 y 轴。轴。其图形对称于原点。其图形对称于原点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十四页，共81页。(3)奇偶性奇偶性说明说明(shumng):若若在在 x=0 有定义有定义(dngy),为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有偶倍奇零偶倍奇零(j lng)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十五页，共81页。则此函数则此函数(hnsh)在为偶函数在为偶函数(hnsh)。例例2 判断判断(pndun)函数函数的奇偶性。的奇偶性。解解 是

16、偶函数是偶函数 是奇函数是奇函数例例1：机动 目录(ml)上页 下页 返回 结束 第四十六页，共81页。是定义是定义(dngy)在在上的任意函数上的任意函数(hnsh)，证明，证明是偶函数，是偶函数，是奇函数。是奇函数。证明证明(zhngmng)对于任意的对于任意的是偶函数，是偶函数，是奇函数。是奇函数。例例3 设一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。补充：补充：两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；之积是偶函数之积是偶函数;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十七页，共81页。(4)周期性周期性且且则称则称为周期函数

17、为周期函数(zhu q hn sh),若若称称 l 为周期为周期(zhuq)(一般一般(ybn)指最小正周期指最小正周期).周期为周期为 周期为周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.例如例如,常量函数常量函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十八页，共81页。求周期函数求周期函数(zhu q hn sh)的周期的方法：的周期的方法：由此等式由此等式(dngsh)中解出中解出 l .例：例：求函数求函数的周期的周期(zhuq)l .解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十九页，共81页。4、复合、复合(fh)函数函数定义(dngy)：的定义域内，的

18、定义域内，则则即：即：设有函数设有函数(hnsh)链链称为由称为由,确定的确定的复合函数复合函数,u 称为称为中间变量中间变量.注意注意:构成复合函数的条件构成复合函数的条件 不可少不可少.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十页，共81页。两个以上函数两个以上函数(hnsh)也可构成复合函数也可构成复合函数(hnsh).例如例如(lr),可定义复合可定义复合(fh)函数函数:或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十一页，共81页。例例1：设求求解：即：即：机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第五十二页，共81页。求求 f(x).解：例例2：已知机动 目录 上页 下页 返回

19、(fnhu)结束 第五十三页，共81页。四四.初等初等(chdng)函数函数1、基本基本(jbn)初初等函数等函数幂函数、幂函数、指数函数指数函数(zh sh hn sh)、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数2、初等函数初等函数由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数.例如例如,并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数,经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所构成骤所构成,称为称为初等函数初等函数.可表为可表为故为初等函数故为初等函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十四页，共81页。1、幂函数、幂函

20、数无论无论(wln)为何为何(wih)值，值，幂函数在幂函数在内总是内总是(zn sh)有定义。有定义。反比例函数：反比例函数：定义域为：定义域为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十五页，共81页。幂函数的图形幂函数的图形(txng)(txng)和性和性质质1、图形、图形(txng)都通过点（都通过点（1，1）。）。2、时，图形时，图形(txng)过原点，过原点，且在且在内单调增加。内单调增加。3、时，图形在时，图形在内单调减少。内单调减少。图像特点及性质：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十六页，共81页。2、指数函数、指数函数(zh sh hn sh)此类函数此类函数(hns

21、h)的特点是：的特点是：底数底数(dsh)均为常数，均为常数，指数是变量指数是变量定义 称为称为指数函数，用描点法在同一坐标系中用描点法在同一坐标系中引例三个函数的图形分别为三个函数的图形分别为:它的定义域是整个实数它的定义域是整个实数第五十七页，共81页。指数函数指数函数(zh sh hn sh)(zh sh hn sh)（3）曲线曲线(qxin)从左到右逐渐上升。从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐曲线从左到右逐渐(zhjin)下降。下降。但与但与 x 轴不相交轴不相交.(4)与与的图形对称于的图形对称于 y 轴轴.（1）图形在）图形在 x 轴的上方轴的上方（2）图形均过点）图形均过点性质：

22、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十八页，共81页。3、对数函数对数函数(du sh hn sh)的定义的定义的反函数记为的反函数记为称为称为(chn wi)对数函数对数函数,指数函数指数函数(zh sh hn sh)与对数函数与对数函数互为反函数。互为反函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十九页，共81页。对数函数对数函数(du sh hn(du sh hn sh)sh)的性质的性质2、图形、图形(txng)在在 y 轴的右方轴的右方1、图形、图形(txng)均过点均过点(4)与与的图形对称于的图形对称于 x轴轴.不与不与 y 轴相交。轴相交。曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到

23、右逐渐上升。曲线从左到右逐渐下降。曲线从左到右逐渐下降。3、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十页，共81页。特别：自然特别：自然(zrn)对数函数对数函数的反函数记为的反函数记为称为称为(chn wi)自然对数函数自然对数函数,互为反函数。互为反函数。与与机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第六十一页，共81页。例例1：验证验证(ynzhng)函数函数是单调是单调(dndio)增加的。增加的。证：且且是单调是单调(dndio)增加的。增加的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十二页，共81页。则此函数则此函数(hnsh)为为奇函数奇函数(hnsh)判断判断(pndun)

24、函数函数的奇偶性的奇偶性.解例例2机动(jdng)目录 上页 下页 返回 结束 第六十三页，共81页。4、三角函数、三角函数(snjihnsh)1、是有界函数是有界函数(hnsh)；是奇函数，是奇函数，4、周期、周期(zhuq)3、是单增函数；是单增函数；此为最小周期。此为最小周期。图形关于原点对称；图形关于原点对称；值域值域:-1,1（1）正弦函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十四页，共81页。（2）余弦函数）余弦函数(hnsh)的性的性质质1、是有界函数是有界函数(hnsh)；是偶函数对称是偶函数对称(duchn)于于y 轴；轴；4、周期、周期3、是单减函数；。是单减函数；

25、。值域值域:-1,1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十五页，共81页。（3）正切）正切(zhngqi)函数函数机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第六十六页，共81页。正切正切(zhngqi)函数函数的性质的性质（1）在定义域中是无界函数）在定义域中是无界函数(hnsh)；（2）是奇函数；）是奇函数；（3）在）在内是单调内是单调(dndio)增函数；增函数；（4）周期为）周期为第六十七页，共81页。（4）余切）余切(yqi)函数函数性质(xngzh)：（1）在定义域）在定义域（2）是奇函数；）是奇函数；（3）在）在内是单调内是单调(dndio)减函数；减函数；（4）周期为）周

26、期为中是无界函数；中是无界函数；第六十八页，共81页。（5）正割）正割(zhngg)函数函数机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第六十九页，共81页。（6）余割）余割(yg)函数函数机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第七十页，共81页。5、反三角函数、反三角函数(snjihnsh)三角函数的对应三角函数的对应(duyng)关系在其定义域内是单值的，关系在其定义域内是单值的，但是但是(dnsh)，它们的反对应关系是多值的。它们的反对应关系是多值的。根据反函数的根据反函数的定义，定义，三角函数在其定义域内是没有反函数的。三角函数在其定义域内是没有反函数的。如果把三角函数的定义

27、域划分成若干个区间，如果把三角函数的定义域划分成若干个区间，使在每个区间函数的反对应关系是单值的。使在每个区间函数的反对应关系是单值的。那么，那么，三角函数在这些区间内都分别存在反函数。三角函数在这些区间内都分别存在反函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十一页，共81页。（1 1）反正弦函数）反正弦函数(hnsh)(hnsh)的定义的定义正弦正弦(zhngxin)函数函数反正反正(fnzhng)弦函数弦函数定义正弦函数正弦函数在在上的反函数，称为上的反函数，称为反正弦函数，记为反正弦函数，记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十二页，共81页。反正弦函数反正弦函数(hnsh)(

28、hnsh)的的性质性质（1）在）在-1,1 上有界函数上有界函数(hnsh)。（2）是奇函数）是奇函数（3）在）在上是单调上是单调(dndio)增函数。增函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十三页，共81页。（2 2）反余弦函数）反余弦函数(hnsh)(hnsh)的定义的定义余弦余弦(yxin)函数函数反余弦反余弦(yxin)函数函数定义 余弦函数余弦函数在在上的反函数，称为上的反函数，称为反余弦函数，记为反余弦函数，记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十四页，共81页。反余弦函数反余弦函数(hnsh)的性的性质质（1）在）在-1,1 是有界函数是有界函数(hnsh)。（2）

29、是非）是非(shfi)奇非偶函数；奇非偶函数；（3）在）在上是单调减函数。上是单调减函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十五页，共81页。（3）反正）反正(fnzhng)切函数切函数定义(dngy)正切正切(zhngqi)函数函数在在内的反函数，内的反函数，称为称为反正切函数，记为，记为定义域：定义域：值域：值域：其图形：其图形：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十六页，共81页。反正反正(fnzhng)切函数切函数的性质的性质（1）在）在（2）是奇函数）是奇函数（3）在）在上是单调上是单调(dndio)增函数。增函数。内是有界函数内是有界函数(hnsh)机动 目录 上页 下页

30、 返回 结束 第七十七页，共81页。性质(xngzh)（1）在）在（2）是非）是非(shfi)奇非偶函数；奇非偶函数；（3）在）在内是单调内是单调(dndio)减函数。减函数。内是有界函数内是有界函数（4）反余切函数）反余切函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十八页，共81页。注意注意(zh y):1、都是表示都是表示(biosh)角。角。3、反三角函数的值域称为反三角函数的值域称为(chn wi)主值区间，务必牢记。主值区间，务必牢记。注意反三角函数的定义、定义域和值域。注意反三角函数的定义、定义域和值域。2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十九页，共81页。常用几个的初等常用几个的初等(chdng)函数公式函数公式机动 目录 上页 下页 返回(fnhu)结束 第八十页，共81页。内容内容(nirng)小结小结1.集合集合(jh)的概念的概念定义域定义域对应对应(duyng)规律规律3.函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性4.反函数与复合函数反函数与复合函数2.函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素5.基本初等函数基本初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八十一页，共81页。