历年高考理科数学真题分类汇编之数列（含解析答案）.docx

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1、第 1 页 共 10 页历年高考理科数学真题分类汇编之数列（含解析答案）一、选择题【2012 新课标】5. 已知 na为等比数列， ， 568a，则 10a（ 472aD ）()A7()B5()C()D【解析】 ， 或42a5647478,2aa47,a4711010,8,【2013 新课标 1】7、设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，S m1 2，S m0，S m1 3，则 m ( C )A、3 B、4 C、5 D、6【解析】有题意知 = =0， = =（ - ）=2，mS1()2ma1amS1m= - =3，公差 = - =1，3= = ， =5，故选 C.1ma d11【2013 新

2、课标 2】3. 等比数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 S3 a210 a1， a59，则a1( C )A B C D3 1319 19【解析】设数列 an的公比为 q，若 q1，则由 a59，得 a19，此时 S327，而a210 a199，不满足题意，因此 q1. q1 时， S3 a1q10 a1，3() q10，整理得 q29. a5 a1q49，即 81a19， a1 .3 9【2015 新课标 2】4. 等比数列 an满足 a1=3， 35 =21，则 357a ( B )第 2 页 共 10 页（A）21 （B）42 （C）63 （D）84【2016 新课标 1】3. 已知等

3、差数列 前 9 项的和为 27， ，则 （ na10=8a10C ）（A）100（B）99（C）98（D）97【解析】解法 1： ， 1995272aS53a105ad.10(0)8ad解法 2： ，即 ，又 ，解得9127Sa143ad1098ad，1,ad01()98【2017 新课标 1】4记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则nSna452a648S的公差为（ C ）nA1 B2 C4 D8【2017 新课标 1】12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，

4、1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依 此 类 推 .求 满 足 如 下 条 件 的 最 小 整 数N： N100 且 该 数 列 的 前 N 项 和 为 2 的 整 数 幂 .那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是（ A ）A440 B330 C220 D110【2017 新课标 2】3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2

5、 倍，则塔的顶层共有灯（ B ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【解析】设顶层灯数为 ， ， ，解得 1aq71738aS13a第 3 页 共 10 页【2017新课标3】9等差数列 的首项为1，公差不为0若 ， ， 成等比数列，na 2a36则 前6项的和为（ A ）naA B C3 D8243【解析】 为等差数列，且 成等比数列，设公差为 .na236,ad则 ，即 又 ，代入上式可得23621115dd1a20d又 ，则 ，故选A.0d 6165242Sa【2018 新课标 1】4记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则nn 324S12a（ ）3aA B C D12121010【答

6、案】B二、填空题【2012 新课标】16. 数列 满足 ，则 的前 项和为 na1()21nnana601830 【解析】 可证明： 142434342416nnnnnnbaaaab123415106830S【2013 新课标 1】14、若数列 an的前 n 项和为 Sn an ，则数列 an的通项公式是23 13an=_ _.1(2)n【解析】当 =1 时， = = ，解得 =1，1S1231当 2 时， = = ( )= ，即 = ，nna1na1n123nana12第 4 页 共 10 页 是首项为 1，公比为2 的等比数列， = .na na1(2)【2013 新课标 2】16等差数列

7、 an的前 n 项和为 Sn，已知 S100， S1525，则 nSn的最小值为_-49_【解析】设数列 an的首项为 a1，公差为 d，则 S10 10 a145 d0，192adS15 15 a1105 d25.1542d联立，得 a13， ， 所以 Sn .232(1)10323n令 f(n) nSn，则 ， .210()fn20()f令 f( n)0，得 n0 或 .3当 时， f( n)0, 时， f( n)0，所以当 时， f(n)取最小值，23200,故2369a3249a219q第 6 页 共 10 页。由 得 ，所以 。故数列a n的通项式为 an= 。13q12a123aq

8、13a13（2） 111logl.lognb(2.)n故 112()()nbn，12 12.()().()31n nn数列 的前 n 项和为nb21n【2014 新课标 1】17已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a n0，a nan+1=S n1，其中 为常数 （ 1）证明：a n+2a n= （ 2）是否存在 ，使得a n为等差数列？并说明理由【解析】（ 1）证明：a nan+1=S n1，a n+1an+2=S n+11，a n+1（a n+2a n）=a n+1a n+10， a n+2a n=（ 2）解：当 =0 时，a nan+1=1，假设a n为等差数列，设公差为

9、d则an+2a n=0，2d=0，解得 d=0，a n=an+1=1， 1 2=1，矛盾，因此 =0 时a n不为等差数列当 0 时，假设存在 ，使得a n为等差数列，设公差为 d则=a n+2a n=（a n+2a n+1）+（a n+1a n）=2d， ，S n=1+ = ，第 7 页 共 10 页根据a n为等差数列的充要条件是 ，解得 =4 此时可得 ，an=2n1因此存在 =4，使得a n为等差数列 【2014 新课标 2】17. 已知数列 满足 =1， .na113na（1）证明 是等比数列，并求 的通项公式； （2）证明：12na.123n+【解析】（1）由 得13ma113()

10、.2mma又 ，所以， 是首项为 ，公比为 3 的等比数列。122= ，因此 的通项公式为 =ma3nama31（2）由（1）知 = 因为当 n 1 时， 所以，1m23m123,m123mm于是， = 所以，3()2m【2015 新课标 1】17. Sn 为数列an的前 n 项和.已知 an0， 342nnSa（1）求an的通项公式， （2）设 ，求数列 的前 n 项和。1nabb【解析】第 8 页 共 10 页【2016 新课标 2】17. 为等差数列 的前 n 项和，且 ， 记 ，nSna1a728Slgnba其中 表示不超过 x 的最大整数，如 ， x 0.9lg9（1）求 ， ， ；

11、 （2）求数列 的前 项和1b10 nb0【解析】设 na的公差为 d， 7428Sa， 4a， 413ad，1()nad lgl0b， 11lglb， 101010lgl2b记 n的前 项和为 nT，则 02 210lllgaa当 0lg1a 时， 29，； 当 1lgn 时， 109，；当 2l3n 时， 01； 当 l3a时， n 1092939T第 9 页 共 10 页【2016 新课标 3】17. 已知数列 an的前 n 项和 Sn1 a n，其中 0，(1)证明 an是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5 ，求 。3132【解析】(1)由题意得 a1 S11 a 1，故 1，

12、 a1 ， a10211 分由 Sn1 a n， Sn1 1 a n1 得 an1 a n1 a n，即 an1 ( 1) a n，由a10， 0 得 an0 an 1an 1因此 an是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 an ( )n1 611 1 11 1分(2)由(1)得 Sn1( )n，由 S5 得 1( )5 ，即( )5 1 3132 1 3132 1 132解得 112 分【2018 新课标 2】17. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna17a315S（1）求 的通项公式；na（2）求 ，并求 的最小值Sn【解析】（1）设 的公差为 d，由题意得 .na135ad由 得 d=2.7第 10 页 共 10 页所以 的通项公式为 .na29na（2）由（1）得 .28(4)16S所以当 n=4 时, 取得最小值,最小值为16.n【2018 新课标 3】17. 等比数列 中， na1534a，（1）求 的通项公式；na（2）记 为 的前 项和若 ，求 Sn63mS【解析】（1）设 na的公比为 q，由题设得 1naq由已知得 42q，解得 0（舍去） ， 2或 故 1()nna或 1na（2）若 12nn，则 ()3nnS由 63mS得 (2)18m，此方程没有正整数解若 1na，则 n由 m得 24，解得 6综上， 6m