数学史与中学数学教学（华东师大数学系 汪晓勤）2009.12.10杭州.ppt

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1、数学史与中学数学教学汪汪 晓晓 勤勤华东师大数学系华东师大数学系 2009-12-10数学史与中学数学教学数学史与中学数学教学&一座宝藏一座宝藏&一条进路一条进路&一缕书香一缕书香&一种视角一种视角&一一个领域个领域数学史与中学数学教学数学史与中学数学教学l全日制义务教育数学课程标准：在教学活动中，教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用时时 间间作者或著作作者或著作工工 作作相似三角形性相似三角形性质质前2000年？巴比伦祭司分割直角三角形面积之比等于对于边平方比前6世纪泰勒斯测量金字高度及轮船与海岸距离

2、对应边成比例前6世纪欧帕里诺斯开掘直线穿山隧道对应角相等前2世纪周髀算经测量太阳直径对应边成比例1世纪九章算术远距离测量对应边成比例16世纪欧洲数学著作测量对应边成比例案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米。设计者：欧帕里诺斯案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l萨莫斯岛上的穿山隧道(前530年)案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l泰勒斯是如

3、何测量金字塔高度的？Thales(about624BC-about547BC)POLEPYRAMID案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l泰勒斯是如何测量轮船离海岸距离的？案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l周髀算经周髀算经卷上：取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径一寸。故以勾为首，以髀为股。从髀之日下六万里而髀无影，从此以上至日则八万里。若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。从髀所旁至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故曰日晷径千二百五十里。案例案例 1 相似三角

4、形的应用相似三角形的应用l刘徽刘徽九章算术序：以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也。案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用周髀算经测日径法案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l九章算术九章算术勾股章：今有句五步、股十二步，问：句中容方几何？案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l九章算术九章算术勾股章（17）：今有邑方二百步，各开中门。出东门一十五步有木。问：出南门几何步而见木？案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l九章算术九章算术勾股章（18）：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门。出东门一十五

5、里有木。问：出南门几何步而见木？案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l九章算术九章算术勾股章（19）：今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l九章算术九章算术勾股章（22）：今有木去人不知远近。立四表，相去各一丈。另左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问：木去人几何？案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l九章算术九章算术勾股章（23）：今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九长五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺，问：山高几何？案例案例 1 相似三角形的

6、应用相似三角形的应用l九章算术九章算术勾股章（24）：今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深几何？案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用l巴比伦泥版文献（巴格达博物馆藏）：已知直角三角形ABC中，AB=75，BC=60，CA=45。S(ACD)=8,6；S(CDE)=5,11;2,24；S(DEF)=3,19;3,56,9,36；S(EFB)=5,53;53,39,50,24。求AD、CD、BD、CE、DE、EF、DF、BE、BF。答案：AD=27；CD=36；BD=48；CE=21;36。案例案例 1 相似三角形的应用相似三角形的应用案例案例 1 相

7、似三角形的应用相似三角形的应用16世纪的测量方法案例案例 2 全等三角形的应用全等三角形的应用古代的水准仪 在古代埃及和巴比伦，一些测量工具和基本的几何图形，往往被看作神圣的符号而被用作护身符。下图是埃及古墓中出土的测量工具形状的护身符，其中第二种显然是测水准的工具。案例案例 2 全等三角形的应用全等三角形的应用古代的水准仪由一个等腰三角形以及悬挂在顶点处的铅垂线组成。测量时，调整底边的位置，如果铅垂线经过底边中点，就表明底边垂直于铅垂线，即底边是水平的。这就是“边边边”定理的应用。案例案例 2 全等三角形的应用全等三角形的应用我们有理由相信，埃及人在建造金字塔时必用到这种测量工具。案例案例

8、2 全等三角形的应用全等三角形的应用 在古罗马土地丈量员的墓碑上，我们也看到了这种水平仪。中世纪和文艺复兴时代，这种工具仍被广泛使用。案例案例 2 全等三角形的应用全等三角形的应用17世纪意大利数学家Pomodoro的实用几何一书中给出的利用水准仪测量山坡高度的方法案例案例 2 全等三角形的应用全等三角形的应用角边角希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales,前6世纪）发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus,5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其几何史中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”案例案例 2 全等三角形的应用全等三角形的应用坦纳

9、里（P.Tannery,18431904）认为，泰勒斯应该是用右图所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线。利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。案例案例 2 全等三角形的应用全等三角形的应用希思（T.L.Heath,1861-1940）提出了另一种猜测：如图，泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量。直竿EF 垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕A 转动，但可以固定在任一位置上。将该细竿调准到指向船的位置，然后转动EF

10、（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C。则根据角边角定理，DC=DB。EFDCBA案例案例 2 全等三角形的应用全等三角形的应用上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利数学家贝里（S.Belli,?1575）出版于1565年的测量著作中的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。有一个故事说，拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。因此，从古希腊开始，角边角定理在测量中一直扮演者重要角色。案例案例3 三角比三角比日晷（古埃及、巴比伦、古希腊Anaximander）案例案例3 三角比三角比Aristarch

11、us（310B.C.-230B.C.）案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇古代两河流域的陶碗（图1）以及中国仰韶文化陶盆（图2）上的花瓣纹则表明，新石器时代的人们已经知道用圆弧来构造若干对称图形了。案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇大英博物馆所藏古巴比伦时期（公元前1800年-公元前1600年）的数学泥版BM15285（残缺不全）上，我们看到很多圆弧或圆弧与线段所围图形的面积问题，这些问题很可能是当时祭司编制的学校数学练习题。案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇案例案例 4 从巴比伦祭

12、司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇公元前5世纪，希波克拉底在研究化圆为方问题时，求得了某些特殊弓月形的面积。在图17中，希波克拉底发现，等腰直角三角形斜边上的半圆与以直角顶点为圆心、直角边为半径的四分之一圆弧所围成的弓月形面积与等腰直角三角形的面积相等。在图18中，希波克拉底发现，大圆内接正六边形相邻三边上的小半圆与大圆所围成的三个弓月形连同其中一个小半圆的面积与等腰梯形面积相等。案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇“盐窖”形“鞋匠刀”形 阿基米德发现，鞋匠刀形的面积恰好等于以图中大圆的半弦为直径的圆面积。盐窖形的面积恰好等于以大半圆直径中垂线介于大半圆和中间小半圆之间的线段为直

13、径的圆面积。案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇达芬奇笔记本中的数学问题案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇达芬奇笔记本中的数学问题案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇BBBAAACCCCBA拿破仑远征埃及途中提出的数学问题用圆将一个圆四等分案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇Reuleaux三角形“海豚形”案例案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇从巴比伦祭司到达芬奇“蘑菇”形“海豚形”Reuleaux三角形AB案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式巴比论：泥版数学文献泥版数学文献中含有三种类型的一元二次方程：x

14、2+bx=c；x2=bx+c；x2+c=bx 巴比伦人已经分别知道求根公式案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式l巴比伦泥版问题1：“【正方形】面积与边长之和为3/4，【求边长。】”解法：“置投影（projection）1，半之，得1/2。1/2和1/2相乘，得1/4。将1/4与3/4相加，得1，从中减去1/2，即得边长为1/2。”案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式lHyrup之解释：案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式l巴比伦泥版问题：一个正方形面积减去它的边长，差为870。求边长。相当于求解。解法：“取1的一半，得1/2，以1/2乘1/

15、2，得1/4；将1/4加到870，得8701/4。这是291/2的平方。把1/2加到291/2，结果得30，即为正方形的边长。”案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式v几何原本在长度为b的线段AB的延长线上求一点D，使AD（b+x）与BD（x）构成的矩形面积为c。欧几里得的作图法b/2b/2b/2xx案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式释律佗罗(Sridhara,10世纪)方程ax2+bx=c的解法：方程两边乘以4倍的二次项系数，再加上一次项系数的平方。(然后开方。)案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式Al-Kitb al-mukhta Ja

16、r f Hisb al-jabr wa-l-muqbalaAl-Khwarizmi(780?-850?)案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式花拉子米代数学案例案例 5 一元二次方程求根公式一元二次方程求根公式韦达 x2+ax=b (令x=u+z)u2+(2z+a)u+(z2+az+b)=0(令2z+a=0)u2-1/4(a2-4b)=0F.Vite（1540-1603）案例案例 6 等比数列求和公式等比数列求和公式l泥版MS1844（约公元前2050年）上记载如下问题的解法：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多得1/6，问所分财产共有多少？七兄弟所得构成一个首项为2、公

17、比为7/6、项数为6的等比数列。案例案例 6 等比数列求和公式等比数列求和公式泥版M7857（古巴比伦时期）上，人们发现了一个等比数列问题。正面是一个首项为99、公比为9的等比数列：99，891，8019，72171，649539。反面是：649539大麦72171麦穗8019蚂蚁891鸟99人案例案例 6 等比数列求和公式等比数列求和公式莱因得纸草书（约公元前1650年）莱因得纸草上的等比数列问题 案例案例 6 等比数列求和公式等比数列求和公式埃及乘法127案例案例 6 等比数列求和公式等比数列求和公式几何原本第9卷命题35案例案例 6 等比数列求和公式等比数列求和公式References1

18、T.L.Heath(1921).A History of Greek Mathematics.London:OxfordUniversityPress.2C.S.Roero(1994).EgyptianMathematics.InI.Grattan-Guinessed.,Encyclopaedia of the History and Philosophy of Mathematical Sciences.London:Rourledge.30-453汪晓勤,韩祥临(2002).中学数学中的数学史,北京:科学出版社4 汪晓勤等(2003).HPM视角下的等比数列教学，中学教研（数学）,(7)5

19、汪晓勤(2006).几何视角下的等比数列求和公式.中学数学教学参考,(2)案例案例 7 椭圆的方程椭圆的方程N.Guisne代数在几何上的应用(1705年)案例案例 7 椭圆的方程椭圆的方程圆锥曲线解析(1707)M.deLHospital1661-1704案例案例 7 椭圆的方程椭圆的方程斯蒂尔圆锥曲线论(1745)案例案例 7 椭圆的方程椭圆的方程赖特（J.M.F.Wright）圆锥曲线之代数体系（1836），案例案例 7 椭圆的方程椭圆的方程罗宾逊（H.N.Robinson,1806-1867）圆锥曲线与解析几何（1862）案例案例 7 椭圆的方程椭圆的方程查尔斯戴维斯（C.Davies

20、,1798-1876）解析几何基础（1867），案例案例 7 椭圆的方程椭圆的方程查理斯密（C.Smith,1844-1916）圆锥曲线初论（1890），案例案例 7 椭圆的方程椭圆的方程References1Guisne,N.Application de lAlgebre la Geometrie.J.BoudotetJ.Quillau,1705.71-722LHospital,M.de.Trait Analytique des Sections Coniques.Paris:Montalant,1720.22-253Robinson,H.N.Conic Sections&Analytica

21、l Geometry.NewYork:Ivison,Phinney&Co.,1862.140-1414Steell,R.A Treatise of Conic Sections.London:StJohnsGate,1745.175Wright,J.M.F.An Algebraic System of Conic Sections&Other Curves.London:Black&Amstrong,1836.94-956Davies,C.Elements of Analytic Geometry.NewYork:A.S.Barnes&Co.,1867.95-967Smith,C.An Ele

22、mentary Treatise on Conic Sections.London:Macmillan&Co.,1890.112-113案例案例8 和角公式和角公式v 托勒密（2世纪）案例案例8 和角公式和角公式v 托勒密（2世纪）案例案例8 和角公式和角公式v帕普斯（Pappus,3世纪末）数学汇编案例案例8 和角公式和角公式v帕普斯（Pappus,3世纪末）数学汇编案例案例8 和角公式和角公式v阿布韦发(Abul-Wefa,940-998)案例案例8 和角公式和角公式v克拉维斯（C.Clavius,1537-1612）星盘(1593)案例案例8 和角公式和角公式v阿布韦发的启示案例案例8

23、和角公式和角公式v阿布韦发的启示案例案例8 和角公式和角公式v面积变换法之一案例案例8 和角公式和角公式v面积变换法之二11数学史与中学数学教学数学史与中学数学教学&一座宝藏一座宝藏&一条进路一条进路&一缕书香一缕书香&一种视角一种视角&一一个领域个领域2 一条进路一条进路在数学教学中，我们总是在不断地回答“为什么”。J为什么等腰三角形两底角相等？（驴桥定理）J为什么 是无理数？（不可公度量的发现）J为什么？（均值不等式）J为什么正整数和（正）偶数是一样多的？（实无穷）J为什么函数 是奇函数？2 一条进路一条进路L为什么要将圆周分成360度？（即，为什么在角度制里，要将圆周的1/360作为度量

24、角的单位？）为什么？L为什么平面直角坐标系将平面所分成的四个部分叫“象限”？L为什么将幂指数称为“对数”？L为什么某些函数被称为“奇函数”和“偶函数”？L为什么称未知数为“元”？2 一条进路一条进路L为什么要将圆周分成360度？v1年360天；v60进制v迦勒底人将黄道圆分成12宫，每一宫分成30等分。2 一条进路一条进路v古希腊天文学家Hypsicles(c.180B.C.)将黄道圆分成360等分v托勒密（Ptolemy,125A.D.）在天文大成中使用60进小数，将圆周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分为60个小部分（秒），等等。2 一条进路一条进路 2 一条进路一条

25、进路L为什么巴比伦人选择60进制（以60为底）？v Theon（4世纪）：60是能被1、2、3、4、5整除的最小正整数。v诺伊格鲍尔诺伊格鲍尔（O.Neugebauer,1899-1990）：可以将度量三等分。v康托康托：巴比伦人知道一年有360天；2 一条进路一条进路v60是一年中的月数与行星（金、木、水、火、土）个数的乘积；v苏美尔人将等边三角形看作是基本几何图形，而等边三角形内角为60度，因此若将60十等分，则就成为基本的角度单位，圆周含60个角度单位，故巴比伦人选择60为底；v人除左手拇指为2节外，另四指各有3节，共12节；分别用右手五指数这12部分，得60。v苏美尔文明融合了两种文明

26、，其中一个文明采用12进制，另一文明采用5进制。2 一条进路一条进路许凯（N.Chuquet,14451488）算学三部124816326412825651210485760123456789204对应的数16自乘，等于8对应的256；7对应的128乘以9对应的512，等于16对应的65536。2 一条进路一条进路施雷伯（H.Schreyber,14951525）艺术新作（1521）012345161248163265536第二个数列中两数的乘积对应于第一个数列中两数的和。第二个数列中三数的乘积对应于第一个数列中三数的和。第二个数列中平方数的开方对应于第一个数列中偶数除以2。第二个数列中某数开

27、立方对应于第一个数列中某数除以3。2 一条进路一条进路斯蒂菲尔（M.Stifel,14871567）整数算术（1544）0123456781248163264128256等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法；等差数列中的减法对应于等比数列中的除法；等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方；等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。2 一条进路一条进路克拉维斯(C.Clavius,1538-1612)实用算术概论(1583)1248163264128256512102420480123456789101132自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的两倍；8乘以256等于11上面的2

28、048，而11等于8和256下面3和8之和。2 一条进路一条进路纳皮尔（J.Napier,15501617）2 一条进路一条进路薛凤祚（?1680）比例对数表(1653)比例算124816326412825651210242048同余算(a)123456789101112同余算(b)579111315171921232527数理精蕴：“对数比例，乃西士若往讷白尔所作。以借以借数与真数对列成表，故名对数表。数与真数对列成表，故名对数表。其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开平方。以三因代再乘，故三归即开立方。推之至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也

29、。”数学史与中学数学教学数学史与中学数学教学&一座宝藏一座宝藏&一条进路一条进路&一缕书香一缕书香&一种视角一种视角&一一个领域个领域3 一缕书香一缕书香 萨顿 Isis(1913)科学史引论(1927-1947)数学史研究(1936)科学史研究（1936）科学史与新人文主义（19?）G.Sarton（1884-1956）3 一缕书香一缕书香萨顿在科学和人文之间只有一座桥梁，那就是科学史。建造这座桥梁是我们这个时代的主要文化需要。3 一缕书香一缕书香同样，在数学和人文之间也只有一座桥梁，那就是数学史。3 一缕书香一缕书香 “人生之意义在于研究日、月、天。”放弃财产、追求真理、身陷囹圄、铁窗下仍

30、在研究化圆为方问题的古希腊数学家阿那克萨哥拉Anaxagoras(499B.C.-428B.C.)16世纪法国数学家拉缪斯，少时家贫，祖父是烧炭的，父亲是个卑微的农夫。12岁时，拉缪斯作为一位富家子弟的仆人进入巴黎的Navarre学院，白天伺候主人，黑夜挑灯苦学，9年后竟获硕士学位！他的硕士论文是亚里士多德所说的一切都是错的！3 一缕书香一缕书香PeterRamus（1515-1572）3 一缕书香一缕书香每天只花4小时睡觉、2小时吃饭休息、18小时学习学习、做研究的16世纪英国数学家约翰第JohnDee（15271609）3 一缕书香一缕书香为了研究数学，常常三天三夜不出房门的韦达F.Vit

31、e(1540-1603)3 一缕书香一缕书香 吾先正有言：“一物不知，儒者之耻。”今此一家已失传，为其学者，皆暗中摸索耳。既遇此书，又遇子不骄不吝，欲相指授，岂可畏劳玩日，当吾世而失之！呜呼，吾避难，难呜呼，吾避难，难自长大；吾迎难，难自消微。自长大；吾迎难，难自消微。必成之。必成之。MatteoRicci(1552-1610)SeuKuang-ke(1562-1633)3 一缕书香一缕书香在墨水结冰的冬夜，依然勤学不怠的索菲热尔曼SophieGermain（1776-1831）3 一缕书香一缕书香如果你要成为一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必须对一切事情至少都怀疑一次。笛卡儿方法论3

32、一缕书香一缕书香华里司 人活着既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知的快乐给人生的酒杯加点糖。W.Wallace(1768-1843)3 一缕书香一缕书香法布尔法布尔:牛顿二项式定理J.H.Fabre(1823-1915)3 一缕书香一缕书香 “自任国会议员以来，他学习并几乎精通了几何原本前6卷。他开始学习这门严密的学科，为的是提高他的能力，特别是逻辑和语言的能力。因此他酷爱几何原本，每次巡行，他总是随身携带它；直到能够轻而易举地证明前六卷中的所有命题为止。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳。”(1860年总统候选人简介)A.Lincohn(1809-186

33、5)3 一缕书香一缕书香托马斯托马斯霍布斯霍布斯（ThomasHobbes,15881679）40岁时才开始学习 几何。3 一缕书香一缕书香 美国著名爵士乐作曲家和演奏家亚提萧（ArtieShaw）数学学习以某种奇怪的方式给了我所知道的唯一实实在在的安全感，所以我感受到了在我整个生命里从未曾有过的那种精神上的快乐。数学史与中学数学教学数学史与中学数学教学&一座宝藏一座宝藏&一条进路一条进路&一缕书香一缕书香&一种视角一种视角&一一个领域个领域4 一种视角一种视角Furinghetti:将数学史用于数学教学的过程4 一种视角一种视角 设计发生教学法时影考虑的因素：l学生的学习（心理学领域）l概念

34、的历史（数学史领域）l数学教材l课程标准案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念例例 1 矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（埃及纸草书）例例 2 已知矩形面积为60，长比宽多7。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。例例 3 已知矩形面积为60，长比宽多7。长宽之和为17，问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。（巴比伦泥版）案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念序问题地区时间1长30英尺的梯子靠墙直立，当顶端沿墙下移6英尺时，底端离墙移动多远？巴比伦公元前1600-1800年2一根芦苇靠

35、墙直立，当顶端沿墙下移3英尺时，底端离墙移动9英尺。问芦苇有多长？巴比伦公元前100年3今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木长几何？中国公元1世纪4长20英尺的矛，靠塔直立。若将底端离墙外移12英尺，则尖端抵塔多高？意大利1202年5长25英尺的梯子，斜靠在墙上，顶端距墙角比底端距墙角远17英尺。问梯子顶端距墙角的距离为多少？美国1970年案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念例例 4 长为30英尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时，底端离墙滑动多远？例例 5 在例3中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列

36、出底端再一次滑动的距离所满足的方程。案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念例例 6如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走14米，然后转向西走1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念l（展示图片）现在大家看到的是 中世纪欧洲最伟大的一位数学家，他叫斐波纳契。他在1225年写成 一本书，叫花朵（听起来不 像数学书名）。在该书中，斐波 纳契提出了如下问题斐波纳契

37、案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念 例例7、如图2，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=10，BC=12。AD是底边BC上的高。在AB、AC上各求一点E、F，在BC上求两点G和H，使AEGHF是等边五边形。案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念l在教师的引导下，基于已有的知识和经验，学生从例2、3、5、6、7中分别得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念题次所建立的方程利用的知识1矩形面积2矩形面积3矩形面积4勾股定理5勾股定理6三角形的相似性7轴对称、三角形的相似性、勾股定理案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的

38、概念 练习练习1、两个正方形面积之和为1000。一个正方形边长是另一正方形边长的减去10。求这两个正方形的边长。（巴比伦泥版上的问题）练习练习2、在某公园内一块边长为50米的正方形空地上建造一个正方形鱼池，要求水池旁边有供人观赏行走的通道，且水池占地面积为空地面积的60%。请完成你的设计。案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念 本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。1、包含浓郁的历史文化气息，体现数学是人类的一种文化。让学生体会数学的悠久历史，数学与人类文明的密切相关性，数学文化的多元性。2、教学活动建立在学生已

39、有的知识经验基础之上，在引出新知识的同时也巩固了旧知识（如开平方、轴对称、勾股定理、图形的相似性等）。案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念l本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。3、增强学生的应用意识，让学生体会数学与现实生活的联系。4、使学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，感受一元二次方程作为一种数学模型的重要性。5、使学生经历数学知识的形成过程。案例案例1 一元二次方程的概念一元二次方程的概念6、利用背景知识以及古人的问题情境，激发学生的好奇心与学习兴趣，促进自主学习。7、使学生体会到不同数学知识之间的密切联系。8、创造学生的学习动机，为后面一元二次

40、方程解法的教学埋下了伏笔。案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用例例 1、古塔测高古塔测高如图所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，测得影长为11.3米。现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影长为0.2米。求塔高。案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用这个例子根据古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得光学中测量物体高度问题改编而成，原型为杭州西湖北岸宝石山上的保俶塔。教师在讲完这个例子后，可向学生介绍泰勒斯测量金字塔高度的故事，让学生明白，历史上人们对相似三角形性质的认识和应用很早，我们今天的方法早在两千五百多年前就以经为泰勒斯所用

41、。真是“太阳底下没有新鲜事”！案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用例例2、隔河测距隔河测距如图所示，在A和B两点之间有一条河。在BA延长线上取一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。测得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。求A、B之间的距离。案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用这个问题根据海伦Dioptra中的间接测量问题改编而成。比古塔测高问题稍为复杂一些，因为，根据相似三角形性质所得到的比例中，有两项含有未知数，不能直接求得AB。意大利HPM学者ChungIpFung等曾将与上述问题类似的问题与中国刘徽（3世纪）的海岛测高问题同用于教学设计，目的是让学生了解数学

42、文化的多元性。案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用 例例3、校园占地校园占地如图，有一所正方形的学校，西门和北门各开在西、北面围墙的正中间。在北门的正北方30米处有一颗大榕树。一个学生从西门出来，朝正西方走750米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校占地多少？案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用 这个问题是根据九章算术勾股章中的“邑方”问题改编而成的，原题为：“今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？”本问题比前面两个问题稍难，需通过开方求解。教师告诉学生，中国在汉代就有这类问题，汉代的测量技术已十分高超；中国古代的几何学与测量密切相

43、关。案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用例例4、勾股定理的推广（、勾股定理的推广（分组讨论，合作探究）我们知道，在直角三角形ABC三边上作三个正方形，则两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，这就是勾股定理。现在直角三角形ABC三边上任作两两相似的三个三角形BCD、ACE和ABF，如图所示。关于这三个三角形的面积，你能得到什么结论？给出你的证明。案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用KHGABCDEFFEDCBA案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用 这个问题要用到相似三角形的另一个性质，即面积之比等于相似比的平方。事实上，古代巴比伦人已经知道这个性质；而对于毕达

44、哥拉斯是如何发现勾股定理的，西方数学史家的其中一种推测也是基于这个性质：过直角三角形直角顶点向斜边引高线，得大小三个两两相似的直角三角形，它们的面积之比等于各自斜边平方之比，但两个小直角三角形面积之和等于大直角三角形面积，故它们的斜边平方之和等于大直角三角形斜边的平方。案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用例例5、爱琴文明的遗迹、爱琴文明的遗迹古希腊历史学家希罗多德（Herodotus,前5世纪）描述了毕达哥拉斯的故乡、萨莫斯岛上的一条约建于公元前530年、用于从爱琴海引水的穿山隧道，设计者为工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）。这个隧道后来被人遗忘，直到19世纪末，它才被考古工作者重

45、新发现。20世纪70年代，考古工作者对隧道进行了全面的发掘。隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米。两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘，最后在山底某处会合，考古发现，会合处误差极小。当时人们挖隧道所用的标准方法是在挖掘过程中在山的表面向下挖若干通风井，以确定所抵达的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古学家惊讶的是，该隧道挖掘过程中并未使用这一方法！人们不禁要问：欧帕里诺斯到底是用什么方法来确保两个工程队在彼此看不到的情况下沿同一条直线向里挖的？案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用在欧帕里诺斯600年后，希腊数学家海伦在一本介绍测量方法的小书Dioptra中给出一种在山两侧的两个已

46、知出口之间挖掘直线隧道的方法，人们相信：这正是欧帕里诺斯当年用过的方法。案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用练习题1、如图，过直角顶点C向斜边AB引垂线，D为垂足。于是直角三角形ADC、BDC、和ABC两两相似。你能利用相似三角形的性质证明勾股定理吗？案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用2、解九章算术问题：“今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深几何？”案例案例2 相似三角形的应用相似三角形的应用3、在一个勾5米，股12米的直角三角形空地上，要建一个正方形花坛，要求花坛的面积尽量大。请给出你的设计方法。（改编自九章算术勾股章“勾股容方”问题）案

47、例案例3 等比数列前等比数列前 n 项和项和上海市杨浦高级中学上海市杨浦高级中学方耀华老师方耀华老师等比数列的定义：等比数列的定义：等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：通项公式的推广通项公式的推广：设等比数列设等比数列 ，首项，首项 ，公比为，公比为 ，【知识回顾知识回顾】【问题问题】“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：件：借钱第一天，穷人还借钱第一天，穷人还1 1分钱；第二天，还分钱；第二天，还2 2分钱，分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的以后每天所

48、还的钱数都是前一天的2 2倍，倍，3030天后，互不相欠。天后，互不相欠。在在3030天中，第一天借给穷人天中，第一天借给穷人1 1万元，第二天借万元，第二天借给穷人给穷人2 2万元，第三天借给穷人万元，第三天借给穷人3 3万元，万元，以后每一天多借给穷人以后每一天多借给穷人1 1万元。万元。能不能答应富人以上的条件能不能答应富人以上的条件?【问题解析问题解析】穷人还钱总数富人借钱总数穷人还钱总数富人借钱总数？富人借钱总数富人借钱总数穷人还钱总数穷人还钱总数【问题解析问题解析】穷人还钱总数富人借钱总数穷人还钱总数富人借钱总数？富人借钱总数富人借钱总数穷人还钱总数穷人还钱总数【问题解析问题解析】

49、穷人还钱总数富人借钱总数穷人还钱总数富人借钱总数富人借钱总数富人借钱总数穷人还钱总数穷人还钱总数答：不能答应富人的条件。答：不能答应富人的条件。【问题小结问题小结】求等比数列求等比数列 前前3030项和项和等比数列前等比数列前 项和项和【公式探究公式探究】设等比数列设等比数列 ，首项，首项 ，公比为，公比为 ，其前，其前 对于一般的等比数列，它的前对于一般的等比数列，它的前 项和公式是什么？项和公式是什么？项和项和【公式探究公式探究】莱因得纸草书莱因得纸草书（1650B.C.）【公式探究公式探究】莱因得纸草书莱因得纸草书（1650B.C.）【公式探究公式探究】设等比数列设等比数列 ，首项，首项

50、 ，公比为，公比为 ，其前，其前 项和项和方程法：方程法：【公式探究公式探究】如果如果 是等比数列，是等比数列，几何原本几何原本EuclidEuclid(325B.C.265B.C.(325B.C.265B.C.)【公式探究公式探究】设等比数列设等比数列 ，首项，首项 ，公比为，公比为 ，其前，其前 项和项和合比定理：合比定理：【公式探究公式探究】设等比数列设等比数列 ，首项，首项 ，公比为，公比为 ，其前，其前 项和项和错位相减法：错位相减法：）个个构造常数列构造常数列【例题举隅例题举隅】例1两河流域泥版MS1844（约公元前2050年）上的问题：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多得