定积分的概念与性质-公开课资料讲解.pptx

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1、5.1定积分(jfn)的概念与性质 第五章第五章第一页，共26页。新课引入新课引入?我们以前学过一些图形面积我们以前学过一些图形面积的的计算，计算，请大家回想一下，你学过哪些图形的面请大家回想一下，你学过哪些图形的面积公式？积公式？正方形、矩形正方形、矩形(jxng)、三角形、梯形、三角形、梯形、圆圆、扇形等。、扇形等。规则规则(guz)图形图形第二页，共26页。?不规则图形(txng)的面积你会求吗？如山东省的面积、济南市的面积、大明湖的面积下图的面积(min j)你会求吗？同学们听说过曹冲称象的故事吗？古代没有那么大的秤，曹冲是怎样秤出大象(d xin)的体重的？我们可不可以把这个不规则的

2、图形分割以后一块一块地求？第三页，共26页。用两组互相(h xing)垂直的平行线分割这个图形：中间这些矩形的面积容易(rngy)求出，边界处的图形中有一条边为曲边，所以面积不容易(rngy)求.我们(w men)把边界处的图形叫作曲边梯形.第四页，共26页。由连续由连续(linx)曲曲线线所围的平面图形所围的平面图形(txng)(txng)称为曲边称为曲边梯形。梯形。与三条与三条(sn tio)直线直线如何求曲边梯形的面积？如何求曲边梯形的面积？用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积基本思路基本思路:第五页，共26页。如何如何(rh)才能使才能使 这种近似代取更精确？这

3、种近似代取更精确？当曲边梯形当曲边梯形(txng)的底边趋近于零时的底边趋近于零时,矩形面积无限矩形面积无限(wxin)地趋近于曲边梯形的面积地趋近于曲边梯形的面积求曲边梯形的具体方法求曲边梯形的具体方法:1.将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形2.在每个小在每个小曲边梯形的底边上作曲边梯形的底边上作一个矩形近似代取小的曲边一个矩形近似代取小的曲边梯形梯形第六页，共26页。1.曲边梯形曲边梯形(txng)的面积的面积(1)分割分割(fng)在区间(q jin)a,b 内,任意插入 n 1 个分点(2)近似近似把区间 a,b 分成 n 个小区间化整为零化整为零以直

4、代曲以直代曲第七页，共26页。(3)求和求和(qi h)(4)取极限取极限(jxin)令则2.变速变速(bin s)直线运动直线运动的路程的路程设某物体作直线运动,且求在 T1,T2 内物体所经过的路程 s.已知速度(1)分割分割将它分成在每个小段上物体经n 个小段过的路程为积零为积零为整整精确化精确化第八页，共26页。(2)近似近似(jn s)(3)求和求和(qi h)(4)取极限取极限(jxin)上述两个问题的共性:1 解决问题的方法步骤相同:“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”2 所求量极限结构式相同:乘积和式的极限乘积和式的极限令 抛去几何意义和物理意义，我们把具有这两个共性

5、的问题，用定积分来表示：第九页，共26页。5.1.2 定积分定积分(jfn)的定义的定义 任意(rny)插入n个把区间(q jin)a,b分成 n 个小总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数记怎样分法,f(x)在a,b记作分点区间令1 定义定义作乘积并作和也不论怎样取法,如果不论a,b上的定积分,即设函数第十页，共26页。其中(qzhng)积分(jfn)号;被积函数(hnsh);被积表达式被积表达式;积分变量积分变量;积分限积分限.注注(1)叫做f(x)的积分和.的定积分存在,若f(x)在a,b上的称f(x)在a,b上可积.(2)定积分的值与积分变量的记号无关,仅与f(x)和a,b 有关

6、.即(3)(4)是数值.是函数,a=b 时,第十一页，共26页。14 这是因为曲边梯形(txng)面积曲边梯形(txng)面积的负值定积分的几何(j h)意义 第十四页，共26页。15各部分(b fen)面积的代数和定积分(jfn)的几何意义 曲边梯形(txng)面积曲边梯形面积的负值第十五页，共26页。16例2解oxy例1 利用定积分利用定积分(jfn)的几何意的几何意义，计算义，计算解第十六页，共26页。17三、定积分(jfn)的性质性质(xngzh)1 性质(xngzh)2 性质3 注：值得注意的是不论a b c的相对位置如何上式总成立第十七页，共26页。18利用定积分的几何意义，可分别

7、求出利用定积分的几何意义，可分别求出解解例3第十八页，共26页。19三、定积分(jfn)的性质性质(xngzh)1 性质(xngzh)2 性质3 性质4 第十九页，共26页。20如果(rgu)在区间a b上 f(x)0 则 性质(xngzh)5 性质(xngzh)6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则 推论如果在区间a b上 f(x)g(x)则 第二十页，共26页。21 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分(jfn)区间a b上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为,由性质(xngzh)6 性质7(定积分(jfn)中值定理)积分中值公式 由介值定理 至少存在一点xa b 使两端乘以ba即得积分中值公式第二十一页，共26页。24例例4 4 求求解第二十四页，共26页。25 小结(xioji)：一、定积分(jfn)定义二、定积分(jfn)的性质第二十五页，共26页。同学(tng xu)们，再见！第二十六页，共26页。