定积分的几何应用(体积))教学内容.ppt

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1、一、旋转体的体积一、旋转体的体积二、平行截面面积二、平行截面面积(min j)(min j)为已知的立体为已知的立体的体积的体积三、小结三、小结定积分定积分(jfn)的几何应用的几何应用-体积体积第一页，共26页。旋转体就是由一个平面图形饶这平面内旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体一条直线旋转一周而成的立体(lt)(lt)这直这直线叫做旋转轴线叫做旋转轴圆柱圆柱(yunzh)圆锥圆锥(yunzhu)圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积第二页，共26页。xyo旋转体的体积旋转体的体积(tj)为为第三页，共26页。解解第四页，共26页。星形线是内摆线星形线是内摆线(b

2、i xin)的一种的一种.点击点击(din j)图片任图片任意处意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆大圆(d yun)半径半径 Ra小圆半径小圆半径参数的几何意义参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动当小圆在圆内沿圆周滚动时时,小圆上的定点的轨迹为内摆线小圆上的定点的轨迹为内摆线)星形线星形线t或或第五页，共26页。第六页，共26页。例例2.计算计算(j sun)摆线摆线的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴,y 轴旋转轴旋转(xunzhun)而成的而成的立体体积立体体积.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转(xunzhun)而而成的体积为成的体积为利用对称性利用对称性利

3、用对称性利用对称性 第七页，共26页。绕绕 y 轴旋转轴旋转(xunzhun)而而成的体积为成的体积为注意注意(zh y)上下限上下限!第八页，共26页。注注:分部分部(fn b)积分积分(利用利用(lyng)“偶倍奇偶倍奇零零”)第九页，共26页。利用利用(lyng)这个公式，可知上例中这个公式，可知上例中补充补充(bchng)1.()柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法如果旋转体是由连续如果旋转体是由连续(linx)(linx)曲线曲线)(xfy=、直、直线线ax=、bx=及及x轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形绕形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为 第十页，共26页。偶函数

4、偶函数奇函数奇函数注：注：注：注：第十一页，共26页。解解解解(一一一一)体积体积(tj)元元素为素为第十二页，共26页。（二）利用坐标（二）利用坐标（二）利用坐标（二）利用坐标(zubio)(zubio)平移：平移：平移：平移：（）uv第十三页，共26页。补充补充(bchng)2.()柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法如果旋转体是由连续如果旋转体是由连续(linx)(linx)曲线曲线)(xfy=、直、直线线ax=、bx=及及x轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形绕形绕x=m(b)旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体(lt)(lt)，体积为，体积为 第十四页，共26页。二、平行二、平行(pngxng)截

5、面面积为已知的立截面面积为已知的立体的体积体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个一定轴的各个(gg)截面面积，那么，这个立体的体积也截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算可用定积分来计算.立体体积立体体积第十五页，共26页。解解:取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程(fngchng)为为截面截面(jimin)面积面积立体立体(lt)体积体积第十六页，共26页。思考思考:可否选择可否选择(xunz)y 作积分变作积分变量量?此时截面此时截面(jimin)面积函数是面积函数是什么什么?如何如何(rh)用定积分

6、表示体积用定积分表示体积?提示提示:第十七页，共26页。三、旋转体的侧面积三、旋转体的侧面积(min j)(min j)(补充补充)设平面设平面(pngmin)光滑光滑曲线曲线求求积分积分(jfn)后得旋转体的侧面积后得旋转体的侧面积 它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素取侧面积元素:第十八页，共26页。注：注：第十九页，共26页。侧面积侧面积(min j)元素元素若光滑曲线由参数若光滑曲线由参数(cnsh)方程方程给出给出,则它绕则它绕 x 轴旋转轴旋转(xunzhun)一周所得旋转一周所得旋转(xunzhun)体的体的注意注意:侧

7、面积为侧面积为的线性主部的线性主部.不是薄片侧面积不是薄片侧面积S 第二十页，共26页。旋转体的体积旋转体的体积(tj)(tj)平行平行(pngxng)(pngxng)截面面积为已知的立体的体截面面积为已知的立体的体积积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕垂直于坐标轴的直线绕垂直于坐标轴的直线(zhxin)(zhxin)旋转旋转一周一周旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)四、小结四、小结.第二十二页，共26页。解：解：交点交点(jiodin)立体立体(lt)体积体积思考思考(sko)与练习与练习.第二十三页，共26页。2.设设在在 x 0 时为连续时为连续(linx)的

8、非负函数的非负函数,且且 形绕直线形绕直线 xt 旋转一周旋转一周(y zhu)所成旋转体体积所成旋转体体积,证明证明(zhngmng):证证:利用柱壳法利用柱壳法故故第二十四页，共26页。3.设平面设平面(pngmin)图形图形 A 由由与与所确定所确定(qudng),求求图形图形 A 绕直线绕直线 x 2 旋转旋转(xunzhun)一周所得旋转一周所得旋转(xunzhun)体的体积体的体积.提示：提示：选选 x 为积分变量为积分变量.由柱壳法旋转体的体积为由柱壳法旋转体的体积为若选若选 y 为积分变量为积分变量,则则 第二十五页，共26页。4.求曲线求曲线(qxin)与与x x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形(txng)(txng)绕直线绕直线 y3 旋转旋转(xunzhun)得的旋转得的旋转(xunzhun)体体积体体积.(1994 考研考研)解解:利用对称性利用对称性,故旋转体体积为故旋转体体积为在第一象限在第一象限 3ABC21第二十六页，共26页。