立体几何大题训练题(含答案)(共25页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上立体几何大题训练题一、解答题（共17题；共150分）1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，在四边形ABCD中，ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4. （1）证明：CD平面PAD； （2）求二面角B-PC-D的余弦值. 2.如图，在四棱锥 中， 平面 ，在四边形 中， ， ， ， ， ， . （1）证明： 平面 ； （2）求B点到平面 的距离 3.如图，在四棱锥 中，底面 为长方形， 底面 ， ， ， 为 的中点，F 为线段 上靠近B 点的三等分点. （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 4.如图，四

2、边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .（1）证明：平面 平面 ; （2）求 与平面 所成角的正弦值. 5.如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.（1）证明： 平面 ; （2）若点 在棱 上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离. 6.如图，在三角锥 中， , , 为 的中点.（1）证明： 平面 ; （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值. 7.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（12分） （1）证明：平面PAB平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角APBC的余弦

3、值 8.如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值. 9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1 ， A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值。 10.已知三棱柱 ，底面三角形 为正三角形，侧棱 底面 ， ， 为 的中点， 为 中点. （1）求证：直线 平面 ； （2）求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值. 11.如图，已知三棱柱ABC-A1B

4、1C1 ， 平面A1AC1C平面ABC，ABC=90.BAC=30，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点 （1）证明：EFBC （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 12.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（）证明：平面ACD平面ABC；（）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值13.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E是PD的中点（）证明：直线CE平面PAB；（）点M在棱P

5、C 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值14.如图，已知多面体ABCA1B1C1 ， A1A ， B1B ， C1C均垂直于平面ABC ， ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值15.如图所示多面体中，AD平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD3，AP3 ，PC （1）求证：EF/平面PDC； （2）若CDP120，求二面角ECPD的平面角的余弦值 16.如图，四棱锥 中，侧棱 垂直于底面 ， ， ， 为 的中点， 平行于

6、， 平行于面 ， . （1）求 的长； （2）求二面角 的余弦值. 17.如图，在斜三棱柱 中， 侧面 ， ， ， ， （）求证：平面 平面 ；（）若 为 中点，求二面角 的正切值答案解析部分一、解答题1.【答案】 （1）解：连接 ，由ABC= ，AB=4，BC=3， 则 ， 又因为CD= ，AD=2 ，所以 ，即 ，因为PA平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，因为 ，所以CD平面PAD； （2）解：以点D为坐标原点， 的延长线为x， 为y轴， 过点D与 平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图： 作 交 与点G，即 ， 所以 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ，则 ， ， ，设平面 的一个法向

7、量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ，即 ，设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ，令 ，则 ， ，即 ，由 ，所以二面角B-PC-D的余弦值为 .【解析】【分析】（1）连接 ，证出 ，利用线面垂直的性质定理可得 ，再利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以点D为坐标原点， 的延长线为x， 为y轴，过点D与 平行线为 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.2.【答案】 （1）解：在平面 中， ， ， ，则 ， 又 ， ，即 ，又 平面 ，则 ，又 ， 平面 . （2）解：在平面 中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M， 因为 ， ，

8、，则 ,又因为 ， ,所以 .所以 又 ，则 ，所以 ,在 中，.因为 ,则 面 ,所以 由 可知： ， , 所以 ，则 ，因此P点到平面 的距离为 .【解析】【分析】(1)在三角形 中，由勾股定理可证得 ，由 平面 ，可得 ，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；(2) 在平面 中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，因为 利用等体积转换即可求得距离.3.【答案】 （1）证明： ， 为线段 中点， . 平面 ， 平面 ， .又 底面 是长方形， .又 ， 平面 .平面 ， . 又 ， 平面 .（2）解：由题意，以 为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， . 所以 , ， ， ，设

9、平面 的法向量 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ， ，同理可求平面 的法向量 ， ， ，即平面 与平面 所成角的正弦值为 . 【解析】【分析】（1）通过 ， 可证明 平面 ，进而可得 ，结合 证明线面垂直.（2）以 为 轴建立空间直角坐标系，可求出平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值.4.【答案】 （1）解：由已知可得，BFPF ， BFEF ， 又 ，BF平面PEF.又 平面ABFD ， 平面PEF平面ABFD.（2）解：作PHEF ， 垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直

10、角坐标系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PEPF.可得 .则 为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为 ，则 .DP与平面ABFD所成角的正弦值为 .【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作 于H,由 得到 ,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是 ,在三角形中求其正弦值.5.【答案】 （1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点POACAB=BC=2 ，AC=4, ABC=90 连接BO则OB=OCPO2+BO2=PB2POOB，POOCOBOC=OPO平面ABC（2）过点C作CHOM交OM于点H又PO平面ABC

11、 CH的长度为点C到平面POM的距离在COM中，CM= ，OC=2，OCM=45 OM= 【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.6.【答案】 （1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点POACAB=BC=2 ，AC=4, ABC=90 连接BO则OB=OCPO2+BO2=PB2POOB，POOCOBOC=OPO平面ABC（2）PO平面ABC，POOBAB=BC=2 O是AC的中点OBAC OB平面PAC如图所示以O为坐标原点， 为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz则P（0,0， ） A（,0，-2,0），C（0,2,0），B

12、（2,0,0）平面PAC法向量为 =（1,0,0）设M（x，2-x，0）平面PAC法向量为 =（1，），=（0，2， ）, = （x，4-x，0）则 即 即 得到 ，x=-4（舍），x= 即M PAM的法向量 记PC与平面PAM所成的角为 即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为 .【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.7.【答案】 （1）证明：BAP=CDP=90，PAAB，PDCD， ABCD，ABPD，又PAPD=P，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，

13、AB=CD，四边形ABCD为平行四边形， 由（1）知AB平面PAD，ABAD，则四边形ABCD为矩形，在APD中，由PA=PD，APD=90，可得PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD= 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ） ， ， 设平面PBC的一个法向量为 ，由 ，得 ，取y=1，得 AB平面PAD，AD平面PAD，ABAD，又PDPA，PAAB=A，PD平面PAB，则 为平面PAB的一个法向量， cos = = 由图可知，二面角APBC为钝角

14、，二面角APBC的余弦值为 【解析】【分析】（1.）由已知可得PAAB，PDCD，再由ABCD，得ABPD，利用线面垂直的判定可得AB平面PAD，进一步得到平面PAB平面PAD； （2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，得到ABAD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD= 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD平面PAB，得 为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APBC的余弦值8.【答案】 （1）解：由已

15、知得， 平面 ， 平面 ， 故 又 ，所以 平面 （2）由（1）知 由题设知 ，所以 ，故 ， 以 为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0）， （0，1，2），E（1，0，1）， ， 设平面EBC的法向量为 =（x，y，x），则即 所以可取 = .设平面 的法向量为 =（x，y，z），则即 所以可取 =（1，1，0）于是 所以，二面角 的正弦值为 【解析】【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。（2）建立空间直角坐标系，分别求出各个点的坐标以及对应的向量的坐标，构造出

16、法向量n由向量垂直的数量积为零，求出法向量n，同理求出平面 的法向量m，则两个平面垂直即为两个法向量垂直，利用数量积的运算公式即可求出两个法向量所成角的余弦值，从而求出该角的正弦值即为二面角 的正弦值。9.【答案】 （1）解：连结 .因为M ， E分别为 的中点，所以 ，且 .又因为N为 的中点，所以 .由题设知 ，可得 ，故 ，因此四边形MNDE为平行四边形， .又 平面 ，所以MN平面 .（2）解：建立空间直角坐标系，点N在底面投影为点F，设平面 的法向量为 由 取 得其中一个法向量 易知平面 的一个法向量为 所以二面角 的正弦值为 【解析】【分析】（1）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件

17、，用中点作中位线证线线平行，再利用线线相等结合平行四边形的定义证出四边形MNDE为平行四边形，再利用平行四边形的定义证出另一组线线平行，从而用线线平行结合线面平行的判定定理证出线面平行。（2）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角的正弦值。10.【答案】 （1）证明：取 中点为 ，连接 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， 则 ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ,令 ，则 ，即 ，所以 ，故直线 平面 （2）解：设平面 的法向量 ，则 【解析】【分析】先利用题中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系

18、，写出相关点的坐标；（1）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用两者垂直进行证明；（2）利用两个半平面的法向量的夹角进行求解.11.【答案】 （1）连接A1E ， 因为A1A=A1C ， E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC ， A1E 平面A1ACC1 ， 平面A1ACC1平面ABC=AC ， 所以，A1E平面ABC ， 则A1EBC.又因为A1FAB ， ABC=90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.（2）取BC中点G ， 连接EG ， GF ， 则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC ， 故AE1EG ， 所以平行四边形EGFA1为矩形

19、由（I）得BC平面EGFA1 ， 则平面A1BC平面EGFA1 ， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O ， 则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2 ，EG= .由于O为A1G的中点，故 ，所以 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 方法二：连接A1E ， 因为A1A=A1C ， E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC ， A1E 平面A1ACC1 ， 平面A1ACC1平面ABC=AC ， 所以，A1E平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC ， EA1为y ， z轴

20、的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz. 不妨设AC=4，则A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0).因此， ， 由 得 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线线垂直；（2） 通过线面垂直，找到直线与平面所成的角，结合余弦定理，求出相应的角即可.12.【答案】 （）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，ODABC是等边三角形，OBACABD与CBD中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDCBD，AD=CDACD是直角三角形，AC是斜边，ADC=90DO= ACDO2+BO2=AB2=BD2 BOD=90OBOD又DOAC=O，OB平

21、面ACD又OB平面ABC，平面ACD平面ABC（）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD ， hE 则 = 平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， = = =1点E是BD的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨设AB=2则O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E =（1，0，1）， = ， =（2，0，0）设平面ADE的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 = 同理可得：平面ACE的法向量为 =（0，1， ）cos = = = 二面角DAEC的余弦值为 【解析】【分析】（）如图所示，取AC的中点O，连接BO，ODABC是等边

22、三角形，可得OBAC由已知可得：ABDCBD，AD=CDACD是直角三角形，可得AC是斜边，ADC=90可得DO= AC利用DO2+BO2=AB2=BD2 可得OBOD利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明（）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD ， hE 则 = 根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点E是BD的中点建立如图所示的空间直角坐标系设AB=2利用法向量的夹角公式即可得出13.【答案】 （）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，BC AD，BCEF是平行四边形，可得

23、CEBF，BF平面PAB，CF平面PAB，直线CE平面PAB；（）解：四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E是PD的中点取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，PCO=60，直线BM与底面ABCD所成角为45，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2 ， BN= ，MN= ，作NQAB于Q，连接MQ，所以MQN就是二面角MABD的平面角，MQ= = ，二面角MABD的余弦值为： = 【解析】【分析】（）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE

24、BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可（）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角MABD的余弦值即可14.【答案】 解：（）由 得 ，所以 .故 .由 ， 得 ，由 得 ，由 ，得 ，所以 ，故 .因此 平面 .（）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .由 平面 得平面 平面 ，由 得 平面 ，所以 是 与平面 所成的角由 得 ，所以 ，故 .因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .【解析】【分析】（I）先证得AB1A1B1 ， AB1B1C1 ， 利用直线和平面垂直的判定可得AB1平面A1B1C1；（II）建立适当的空间坐标系，求出平面ABB1的法向

25、量，用空间向量求直线与平面的夹角即可得出线面角的大小15.【答案】 （1）证明：取 的中点为 ，连结 ， ， ， 分别为 、 的中点，且 ，又四边形 为平行四边形， ，且 ，且 ， 四边形 是平行四边形， 平面 ， 平面 ，平面 （2）解： 平面 ，四边形 为平行四边形， 点 ， 分别为 ， 的中点， ， ， ，解得 ，如图，以 为原点，在平面 内过 作 的垂线为x轴，为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量 ， ，4， ， ，3， ，则 ，取 ，得 ，平面 的一个法向量 ， 设二面角 的平面角为 ，则 二面角 的平面角的余弦值为 【解析】【分析】（

26、1）取 的中点为 ，连结 ， ，四边形 是平行四边形， ， 平面 （2）由余弦定理求出 ，以D为原点，在平面 内过 作 的垂线为 轴， 为 轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 的平面角的余弦值16.【答案】 （1）解：取 的中点 ，连接 、 ， 因为 平行于 ， 平行于 ，所以 平行于 ，所以 四点共面， 因为 平行于面 ，面 与面 交与 ，所以 平行于 ，所以 为平行四边形.所以 ， .（2）解：取 中点F，则 垂直于 ，因为 平行于 ，所以 垂直于 ，于是以 点为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系， 由 垂直于 ， 垂直于 ，平面 法向量为 ，通过计算得平面

27、 的法向量为 .经判断知二面角为钝角，于是其余弦为 .【解析】【分析】（1）取 的中点E，连接 、 ，由三角形中位线定理，以及线面平行的判定定理可得 平行于 ， 平行于 ，于是可得 为平行四边形，所以 ， ；（2）取 中点 ，则 垂直于 ，以A点为原点， 为 轴， 为 轴， 为z轴建立坐标系，平面 法向量为 ，利用向量垂直数量积为零，列方程组求得平面 法向量为 ，平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.17.【答案】 （）证明： ， ， ，由余弦定理可得： ， ， ，即 ， 又 面 ， 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ； （）由（）知，直线 、 、 两两垂直， 则以 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， ， ， 侧面 ， 平面 的一个法向量为 ， ， ， 二面角 为钝二面角， 二面角 的正切值为 . 【解析】【分析】（）根据勾股定理、线面垂直性质和线面垂直的判定定理可证得 平面 ，由面面垂直的判定定理可证得结论；（）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.专心-专注-专业