2.5.3立体几何复习(三)-空间角的求法.ppt

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1、立体几何复习空间角空间角作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形在三角形中计算中计算（一）异面直线所成的角（一）异面直线所成的角：范围是（范围是（0 0，/2/2.平移直线成相交直线平移直线成相交直线:(1)(1)利用中位线利用中位线,平行四边形平行四边形;(2)(2)利用线段成比例利用线段成比例;(3)(3)补形法补形法.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键关键在三角形中计算在三角形中计算作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键关键在三角形中计算在三角形中计算sABCEF 例例1.正四面体正四面体S-ABC中中,如如果果E、F分别是分别是SC、AB的的中点

2、中点,那么异面直线那么异面直线EF和和SA所成的角所成的角=_.G空间角空间角(线线角线线角,线面角线面角,二面角二面角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1空间角空间角(线线角线线角,线面角线面角,二面角二面角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1OFE空间角空间角(线线角

3、线线角,线面角线面角,二面角二面角)作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论结论在正方体在正方体AC1中，求中，求(1)直线直线A1B和和B1C所成的角所成的角;(2)直线直线D1B和和B1C所成的角所成的角ABDCA1B1D1C1EPABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=2，MN=，求求PA与与BC所成的角？所成的角？E (二二)直线与平面所成的角：直线与平面所成的角：范围是范围是00，/2./2.确定射影的方法确定射影的方法(找斜足和垂足找斜足和垂足):):(1)如如果果一一个个角角所所在在的的平平面面外外一一点点到到角角

4、的的两两边边距距离离相相等等，那那么么这这一一点点在在平平面面上上的的射射影影在在这这个个角角的的平平分分线线上上；如如果果一一条条直直线线与与一一个个角角的的两两边边的的夹夹角角相相等等，那那么么这这一一条条直直线线在在平平面面上上的的射射影影在在这这个个角角的的平分线上平分线上.(2)(2)两两个个平平面面相相互互垂垂直直，一一个个平平面面上上的的点点在在另另一一个个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上平面上的射影一定落在这两个平面的交线上.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算在三角形中计算(3)(3)利利用用某某些些特特殊殊三三棱棱锥锥的的有有关关性性质质，确

5、确定定顶顶点点在底面上的射影的位置：在底面上的射影的位置：a.a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心 b.b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心底面三角形的内心(或旁心或旁心)；c.c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射推出第三组也垂直），那么顶点

6、落在底面上的射影是底面三角形的垂心影是底面三角形的垂心.当点的射影位置不易确定时，可用等体积法当点的射影位置不易确定时，可用等体积法直接求垂线长直接求垂线长.ABCA1B1C1DABCSD（2）PAPA、PBPB、PCPC是是从从P P点点出出发发的的三三条条射射线线，每每两两条条射射线线的的夹夹角角均均为为 ，那那么么直直线线PCPC与与平平面面PABPAB所所成成角角的的余余弦弦值值是（是（）A.B.C.D.A.B.C.D.PACB0O例例 1：（1）直直 三三 棱棱 柱柱 ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1,BCA=,BCA=，点点D D1 1、F F1 1 分分 别别 是

7、是 A A1 1B B1 1、A A1 1C C1 1的的 中中 点点，BC=CA=CCBC=CA=CC1 1，则则BDBD1 1与与AFAF1 1所所成成角角的余弦值是（的余弦值是（）A.B.C.D.A.B.C.D.AC例例2：在正四面体在正四面体ABCDABCD中，中，E E、F F分别为分别为ADAD、BCBC 的中点的中点.（1 1）求）求CDCD与与AFAF所成的角的余弦值；所成的角的余弦值；（2 2）求直线）求直线CECE与平面与平面BCDBCD所成的角的正弦值所成的角的正弦值.ACDBEFGH思维点拨：思维点拨：准准确作出线线、确作出线线、线面角是关键，线面角是关键，熟记正四面体

8、熟记正四面体中的一些量对中的一些量对解题有帮助解题有帮助.(三三)二面角：二面角：范围是范围是00，.作作(找找)-证证-指出指出-算算-结论结论关键在三角形中计算在三角形中计算 棱上一点定义法棱上一点定义法：常取等腰三角形底边：常取等腰三角形底边(棱棱)中点中点.面上一点垂线法面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线面引垂线，再由垂足向棱作垂线 空间一点垂面法空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角截二面角得两条射线，这两条射线所成的角.斜面面积和射影面积的关

9、系公式斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积为原斜面面积,为射影面积为射影面积,为斜面与射影所成为斜面与射影所成二面角的平面角二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形这个公式对于斜面为三角形,任意多边任意多边形都成立形都成立.ABCOD当当二面角的二面角的平面角平面角不易作出时，可用面积法不易作出时，可用面积法直接求平面角的余弦值直接求平面角的余弦值.例例1.如图，四面体如图，四面体ABCD的棱的棱BD长为长为2，其余，其余各棱的长均是各棱的长均是 ,求二面角求二面角A-BD-C的大小。的大小。ABCDO（作）（作）（指出）（指出）（结论）（结论）作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结

10、结论论练练:正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中,求求:(1)二面角二面角A-BD-A1的正切值的正切值;(2)二面角二面角A1-AD-B的大小的大小.ABCDA1B1C1D1O解解:连结连结AC,AC,交交BDBD于于O,O,连结连结OAOA1 1由正方体的性质可知由正方体的性质可知,BDOA,BDAA,BDOA,BDAA1 1OAOA和和AAAA1 1是平面是平面AOAAOA1 1内两条相交直线内两条相交直线BDBD平面平面AOAAOA1 1BDOABDOA1 1AOAAOA1 1是二面角是二面角A-BD-AA-BD-A1 1的平面角的平面角.作作(找找)-证证(指出指出)-算算-结论

11、结论在正方体在正方体AC1中，中，E为为BC中点中点,(1)求证求证:D1B/平面平面C1DE;(2)求二面角求二面角C1-ED-C的正切值的正切值.ABDCA1B1D1C1EO在正方体在正方体AC1中，中，E为为BC中点中点,(1)求证求证:D1B/平面平面C1DE;(2)求二面角求二面角C1-ED-C的正切值的正切值.ABDCA1B1D1C1EH例例3：（：（1）如图所示的正方如图所示的正方体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，过顶点中，过顶点B B、D D、C C1 1作截面，则二面角作截面，则二面角B-DCB-DC1 1-C-C的正切值是的正切值是_.

12、_.OABCDA1B1C1D1COA（2）在一个在一个45450 0的的二面角的一个平面二面角的一个平面内有一条直线与二内有一条直线与二面角棱成面角棱成45450 0角，则角，则此直线与二面角的此直线与二面角的另一个面所成的角另一个面所成的角为为 （）A)300 B)450 C)600 D)900 NABCB1C1A1Q例例4：在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，BAC=90BAC=900 0，AB=BBAB=BB1 1=1=1，直线直线B B1 1C C与平面与平面ABCABC成成30300 0角，求二面角，求二面角角B-BB-B1 1C-AC-A的

13、正弦值。的正弦值。思维点拨：三三垂线定理法求垂线定理法求二面角二面角.例例5:如图，如图，ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体，是正方体，E E是是CCCC1 1的中点，的中点，求二面角求二面角B-BB-B1 1E-DE-D的正切值的正切值.BACDD1A1B1C1E分析：图中二面角的图中二面角的二个半平面分别为二个半平面分别为DEBDEB1 1所在的半平面所在的半平面和和BEBBEB1 1所在的半平所在的半平面，即正方体的右侧面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面，它们的交线即二面角的棱面角的棱B B1 1E.E.不难找不难找到到DCDC即为从其中的一即

14、为从其中的一个半平面出发，并且个半平面出发，并且垂直于另一个半平面垂直于另一个半平面的直线的直线.F例例6:如图，在平面角为如图，在平面角为60600 0的二面角的二面角 -l-l-内内有一点有一点P P，P P到平面到平面 、的距离分别为的距离分别为PC=2cm,PD=3cm,PC=2cm,PD=3cm,求垂足的连线求垂足的连线CDCD的长的长PEDCl分分析析：对于本题很多同学可能会这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则角CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，这么作辅助线看似简单，实际上在证明实际上在证明CEDCED为二面为二面角的平面角时会有一个很角的平面角时会

15、有一个很棘手的问题，就是要证明棘手的问题，就是要证明P P、D D、E E、C C四点共面四点共面.故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角.例例7：在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，中，ABCD为正方形，为正方形，PA平平面面ABCD，PAABa，E为为BC中点中点.(1)求平面求平面PDE与平面与平面PAB所成二面角的正切值大小；所成二面角的正切值大小；(2)求平面求平面PBA与平面与平面PDC所成二面角的正切值大小所成二面角的正切值大小.PADCBEFOPADCBMNQCDEA例例8：在 的二面角角 ,，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=1

16、0。求（1）直线AB与棱a所成的角的正弦值；（2）直线AB与平面所成的角的正弦值.例例 9：在在 棱棱 长长 为为 的的 正正 方方 体体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，E E、F F分分别别为为BCBC与与A A1 1D D1 1的的中中点点,（1 1）求求直直线线A A1 1C C与与DEDE所所成成的的角角；（2 2）求求直直线线ADAD与与平平面面B B1 1EDFEDF所所成成的的角角；(3)(3)求求面面B B1 1EDF EDF 与与 面面ABCDABCD所所成的角。成的角。POHM第（第（3 3）小题也可以应用面积射影法）小题也可以应用面积射影法.