北航有限元第4讲--等参元和高斯积分资料.ppt

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1、北航有限元第北航有限元第4 4讲讲-等参等参元和高斯积分元和高斯积分l实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单元的表达式比较困难（在整体坐标系下构造位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实上，形状不规整的单元和形状规整的单元（矩形单元、正六面体单元）可以建立一种映射关系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标系中的局部坐标一一对应。l等参单元等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。北京航空航天大学4.1 等参单元l简单杆系问题分析的新途径简单杆系问题分析的新途径l等参单

2、元定义的给出等参单元定义的给出l平面问题四边形等参单元计算公式平面问题四边形等参单元计算公式l三维问题六面体等参单元计算公式三维问题六面体等参单元计算公式l采用等参单元的优点采用等参单元的优点北京航空航天大学简单杆系问题分析之新途径途经1：在整体直角坐标系下进行单元分析（参看第3讲内容）途径2：建立局部自然坐标系进行单元分析北京航空航天大学直角坐标系直角坐标系(x,y,z)极坐标极坐标(r,)，2维维球坐标系球坐标系(r,)柱坐标系柱坐标系(,z)自然坐标系自然坐标系关于坐标系关于坐标系北京航空航天大学自然坐标系自然坐标系:选轨迹上任一点选轨迹上任一点O为原点为原点用用轨迹长度轨迹长度S 描写

3、质点位置描写质点位置OmS质点质点沿切线前进方向沿切线前进方向的单位矢量为的单位矢量为 切向单位矢量切向单位矢量(tangential unit vector)质点质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的的 单位矢量为单位矢量为法向单位矢量法向单位矢量(normal unit vector)北京航空航天大学l当点的运动轨迹已知时，通常采用自然法确定点的运动规律、速度、加速度。l在自然坐标系中表示质点速度，是非常简单的，因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量，而没有法向分量。北京航空航天大学新途径：建立局部自然坐标系进行单元分析坐标插值函数：局部自然坐标和整体直角坐标

4、可以建立一种映射关系节点条件：xixj北京航空航天大学单元内坐标由节点坐标插值表示局部坐标到物理坐标的变换北京航空航天大学单元位移函数：节点条件：北京航空航天大学观察：单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数是用自然坐标给出的，表达式很简单北京航空航天大学北京航空航天大学单元应变能：单元刚度矩阵单元刚度矩阵北京航空航天大学单元外力功等效节点力对于本例自然坐标系下的分析结果与整体直角坐标系下的分析结果完全相同。忽略单元间作用力北京航空航天大学等参单元定义的给出l等参单元：用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示出单元的几何坐标与位移的单元，称为等参单元。

5、l如果坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，如果坐标变换节点数少于位移插值的节点数，则称为亚参变换。l等参单元的插值函数用自然坐标给出。北京航空航天大学平面问题四边形等参单元的推导整体直角坐标整体直角坐标单元局部自然坐标（一般四边形）（规格化的矩形）映射坐标映射北京航空航天大学映射节点条件：构造插值函数北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学节点条件：位移函数北京航空航天大学同理可得：北京航空航天大学北京航空航天大学单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐标给出。北京航空航天大学?北京航空航天大学偏导数变换雅可比矩阵：北京航

6、空航天大学北京航空航天大学四边形等参单元形状要求不能有重节点不能出现内角大于180o的情况内角最好介于30o-150o之间（有限变形的情况）避免出现北京航空航天大学三维问题六面体等参单元的计算公式北京航空航天大学北京航空航天大学北京航空航天大学采用等参单元的优点l借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。l等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行，相关运算大大简化。l不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。北京航空航天大学4.2

7、数值积分l数值积分及其基本思想lNewton-cotes积分公式lGauss-Legendre积分公式l等参元中积分阶次的选择北京航空航天大学关于数值积分l计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵的元素时，往往涉及到复杂函数的定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分方法。l数值积分方法是一种近似的方法。一个函数的定积分可以通过n个结点的函数值的加权组合来表示北京航空航天大学数值积分的基本思想北京航空航天大学求积公式插值法至少具有n-1次代数精度北京航空航天大学Newton-cotes求积公式l如果n个结点 等距分布，则前面的插值型求积公式称为Newton-cotes求积公式。lNewton-cotes求积

8、公式具有n-1次代数精度l几个常用求积公式梯形公式，n=1Simpson公式，n=2北京航空航天大学Gauss-Legendre求积公式ln个插值结点非等距分布l结点和积分权系数可以查表北京航空航天大学l高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。l高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果被积分的函数是2n-1次多项式，用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。北京航空航天大学等参元高斯求积公式的一般形式北京航空航天大学等参元中积分阶次的选择l积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工作量。l积分阶次的选择必须保证积分的精度。（完全精确积分完全精确积分）l很多情况下，实际选取的高斯积分点数低于精确积分的要求，往往可以取得较完全精确积分更好的精度。（减缩积分减缩积分）北京航空航天大学线性单元完全精确积分 二次单元减缩积分北京航空航天大学结束结束